jihe与hanshu的概念

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集合与函数的概念

• 1.集合
  • 集合的含义与表示
    • 含义
      • 一些元素（研究对象）组成的总体叫做集合，简称为集。
      • 集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性。
    • 表示
      • 表示方法
        • 列举法
        • 描述法
        • 图形法（Venn图法）
      • 常用的数集及其记法
        • 非负整数集（自然数集）N：全体非负整数组成的集合。
        • 正整数集N*（或N+）：所有正整数组成的集合。
        • 整数集Z：全体整数组成的集合。
        • 有理数集Q：全体有理数组成的集合。
        • 实数集R：全体实数组成的集合。
  • 集合间的基本关系
    • 子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。记作A⊆B（或B⊇A），读作”A含于B“（或”B包含A“）。
    • 相等：如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），则集合A与集合B相等。记作A=B。
    • 真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B,且x∉A,我们称集合A是集合B的真子集。记作A⊊B（或B⊋A），读作“A真含于B”（或“B真包含A”）。即：A⊆B,且A≠B，那么A⊊B。
    • 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集。
    • 【附】由n个元素组成的集合，它有2n个子集，2n-1个真子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。
    • 【附】发现与思考
      • 1.任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A。
      • 2.对于集合A、B、C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。
      • 3.对于集合A、B，如果A⊆B，且B⊆A，那么A=B。
  • 集合的基本运算
    • 并集
      • 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x丨x∈A，或x∈B}。
      • 运算性质
        • 1.A∪A=A
        • 2.A∪∅=A
        • 3.A∪B=B∪A
        • 4.A∪B∪C=A∪（B∪C）
        • 5.若A⊆B，则A∪B=B
        • 6.若A⊆B，A∪B=A，则A=B
    • 交集
      • 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B={x丨x∈A,且x∈B}。
      • 运算性质
        • 1.A∩A=A
        • 2.A∩∅=∅
        • 3.A∩B=B∩A
        • 4.A∩B∩C=A∩（B∩C）
        • 5.若A⊆B，则A∩B=A
        • 6.若A⊆B，A∩B=B，则A=B
    • 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
    • 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA={x丨x∈U，且x∉A}。
    • 运算性质
      • 1.∁U（A∪B）=（∁UA）∩（∁UB）
      • 2.∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB）
      • 3.∁U（A∪B∪C）=（∁UA）∩（∁UB）∩（∁UC）
      • 4.∁U（A∩B∩C）=（∁UA）∪（∁UB）∪（∁UC）
      • 5.∁U（∁UA）=A
      • 6.∁UU=∅，∁U∅=U
      • 7.（∁UA）∪A=U
      • 8.（∁UA）∩A=∅
  • 阅读与思考：集合中元素的个数（用card表示有限集合A、B中的元素个数）
    • 1.card（A∪B）=cardA+cardB-card（A∩B）
    • 2.card（A∩B）=cardA+cardB-card（A∪B）
• 3.函数的基本性质
  • 单调性与最大（小）值
    • 单调性（增减性）
      • 设函数f（x）的定义域为I
      • 如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。区间D叫做y=f(x)的单调增区间。
      • 如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。区间D叫做y=f(x)的单调减区间。
    • 最值
      • 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。
      • 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值。
  • 奇偶性
    • 偶函数
      • 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
      • 性质
        • 1.定义域关于原点对称。
        • 2.函数图像关于y轴对称。
        • 3.关于y轴对称的两边图像呈相反的单调性。
    • 奇函数
      • 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
      • 性质
        • 1.定义域关于原点对称。
        • 2.函数图像关于原点中心对称。
        • 3.关于原点对称的两边图像呈相同的单调性。
  • 【附】周期性
    • 对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的任意一 个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。
• 2.函数及其表示
  • 函数的概念
    • 一般地，我们有：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A⟶B为从集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x),x∈A。
    • 函数的三要素
      • 如果两个函数的定义域和对应关系完全 一致，我们就称这两个函数相等。
      • 定义域：自变量x的取值范围A叫做函数的定义域。
      • 对应关系
      • 值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域。
    • 区间的概念（设a、b是两个实数，而且a<b）
      • 闭区间：满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]。
      • 开区间：满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)。
      • 半开半闭区间：满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半 闭区间，分别表示为[a,b)，(a,b]。
      • • 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
        • 在图中，用实心点表示包括在区域内的端点，用空心点表示不包括在区域内的端点。
        • 实数集R可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负 无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。
  • 函数的表示法
    • 解析法
    • 图像法
    • 列表法
  • 映射
    • 概念：一般地，我们有：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称f：A⟶B为从集合A到集合B的一个映射。
    • 映射与函数的区别：函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”， 将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念。
  • 【附】函数的类型：正比例函数，一次函数，二次函数， 反比例函数，分段函数，周期函数等。