考研数学总结

这是一篇关于考研数学总结的思维导图，包括线代、概率论、已完成、加强练习、后续理解等内容，逻辑清晰。

考研数学试题总结

• 高数
  • 常用不等式
    • a+b ≥ 2*(ab)^0.5 a^2+b^2 ≥ 2*ab x/(x+1) ≤ ln(x+1) ≤ x
  • 讨论非分式极限时，慎用极限的等价替换
  • 条件极值求法
    • 1、拉格朗日乘数法 2、A=fxx(), B=fxy(), C=fyy() 注意考虑边界
  • 拐点的充要条件
    • 极值：范围内大于等于或小于等于，不要求函数连续 x为拐点 <=> f'(x)为极值点
  • 直线的表示：平面的线性组合
  • 定积分极限存在
    • 瑕积分：1/n的低阶无穷小 无穷积分：1/n的高阶无穷小 (lnx)^k << x
  • 求解定积分： 积分 y dx
    • 1、求解y的表达式 2、通过分部积分变换为y'的积分表达式，求解y'的表达式
  • 积分表达式求导
    • 表达式内不能含有求导项(求导项在上下限中)
  • 点火公式
  • 积分常用手法
    • 变量替换 分部积分 对称变换
    • 1/(e^x+1)+1/(e^(-x)+1) = (e^x+e^(-x)+2)/(e^x+e^(-x)+2) = 1
  • 双纽线等特殊曲线围成面积的积分表达式
    • 双纽线
    • 摆线
    • 星形线
  • 重积分物理应用
    • 弧长
      • (Fx, Fy) = (cosα, sinα) dL(cosα, sinα) = (dy, dx)
    • 形心
      • x坐标 = (积分 x dΩ) / (积分 dΩ) y, z坐标同理
    • 质心
      • x坐标 = (积分 x*ρdΩ) / (积分 ρdΩ) y, z坐标同理
    • 引力
      • 质点：(x0, y0, z0), dF = GMm/r^2 = GMρdv/r^2 D = [(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2]^0.5 Fx = 积分 引力在x正半轴上的分量 = 积分 [(x-x0)/D]*GMρ/D^2 dv Fy, Fz同理
    • 转动惯量
      • 绕x轴的转动惯量，dI = mr^2 I = 积分 (y^2+z^2)*ρdv y轴, z轴同理
  • 坐标轴积分 -> 极坐标积分
    • 圆坐标 x = r*cosθ y = r*sinθ dxdy -> rdθdr
    • 椭圆极坐标 x = a*rcosθ y = b*rsinθ
    • x = r*cosθ*sinα y = r*sinθ*sinα z = r*cosα dxdydz -> r^2*sinαdαdθdr
    • dxdydz -> rdθdrdz
  • 曲线积分 -> 坐标轴积分(参数积分)
    • 曲线积分变量(x,y,z) x=x y=g(x) z=h(x) 代入曲线积分即可得到坐标轴积分 x=f(t) y=g(t) z=h(t) 代入曲线积分即可得到参数积分
  • 曲面积分 -> 坐标平面积分
    • (Fx, Fy, Fz) = C0*(cosα, cosβ, cosγ), | (cosα, cosβ, cosγ) |=1 dS*(cosα, cosβ, cosγ) = (dydz, dzdx, dxdy) 正向：题目给定，(Fx, Fy, Fz)方向题目规定
  • 曲线积分 -> 曲面积分
    • 格林公式
      • 积分 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 积分 αP(x, y)/αy dydx + αQ(x, y)/αx dxdy = 积分 -[αP(x, y)/αy + αQ(x, y)/αx] dxdy
    • 路径无关积分
      • -[αP(x, y)/αy + αQ(x, y)/αx] = 0时，积分结果与路径无关
    • 斯托克斯公式
      • 积分 P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = 积分 αP/αy dydx + αP/αz dzdx + αQ/αx dxdy + αP/αz dzdy + αR/αx dxdz + αR/αy dydz = 积分 (-αQ/αy + αR/αy)dydz +(-αR/αx + αP/αz)dzdx +(-αP/αy + αQ/αx)dxdy = 积分 G1dydz +G2dzdx +G3dxdy = 积分 (cosαG1 + cosβG2 + cosγG3)dS 其中(Fx, Fy, Fz) = C0*(cosα, cosβ, cosγ), | (cosα, cosβ, cosγ) |=1，方向由题目给定
    • 正向：右手螺旋
  • 曲面积分 -> 体积分
    • 高斯公式
      • 1、被积函数可导 2、体由一个或多个曲面围成
    • 正向：由内而外
  • 梯度、散度和旋度
    • 梯度
      • 函数增长最快的方向 (Fx, Fy, Fz)
    • 散度
      • 向量场中一个点的发散强度 向量场E = F*i + G*j + H*k 散度 = div E = αF/αx +αG/αy +αH/αz
    • 旋度
      • 向量场中一个点的旋转程度 向量场E = F*i + G*j + H*k 旋度 = (αH/αy-αG/αz)*i + (αF/αx-αH/αz)*j + (αG/αx-αF/αy)*k
  • 方向导数
    • 任意方向的偏导 方向导数最大值方向为梯度方向
  • 级数收敛
    • 1/n为界限
    • 莱布尼兹公式
  • 级数的和函数
    • 函数等价于级数 Σ f = 积分 Σ (f)' Σ f = (Σ 积分 f)' 注意：若分母项中含有x，则x=0需单独讨论
    • 常见级数
    • 1、对级数展开式与和函数之间的关系的的理解 2、收敛域变换
  • 傅里叶级数
    • 周期为2pi时， 非间断点： an*pi=积分 cosnx*f(x) dx bn*pi=积分 sinnx*f(x) dx 间断点： 取左右极限的均值 周期为2T时，x=pi*(t/T)即可
  • 常微分
    • 常见形式
      • f(y, y')=0 f(y', y'')=0 变量替换：p=y'
    • 全微分与积分因子法
    • 特征根法
      • 通解
        • 特征根λ0的重数为k，则存在通解：e^λ0*g(x), g(x)为(k-1)阶多项式
      • 特解
        • 等式右端 = e^ax * p(x) p(x)为m阶多项式
          • 特解 = e^ax * P(x) *x^k P(x)为m阶多项式 k为a作为特征根的重数
        • 等式右端 =e^ax * [p(x)*cosbx+q(x)*sinbx] p(x)为m阶多项式, q(x)为n阶多项式
          • 特解 = e^ax * [Q(x)*cosbx+P(x)*sinbx] *x^k Q(x), P(x)为max(m, n)阶多项式 k为a+bi作为特征根的重数
    • 欧拉方程
      • 变量替换：x=e^t
  • 补充
    • 奇偶函数包含其恒等于0的情况 单调有界定理 a^lnb=e^(lna*lnb)=b^lna
• 线代
  • 三元二次方程图形判断
    • 例：x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+x+y+z+C0=0图形判断 先将2次项化为x^2+y^2+z^2化为标准型 然后通过配方将标准型+x+y+z化为完全平方项
  • 向量组α, β能否互表
    • 1、对矩阵(α, β)进行行变换 2、进行判定
  • (α, x)^2 = x^T(α*α^T)x
• 概率论
  • A&B = A的互斥&B的互斥 <=> A与B互斥
  • 分布函数的连续性
    • 分布函数连续 <=> 随机变量的任意取值的概率为0
  • 判断函数F是否能作为分布函数的依据
    • 1、单调不减 2、自变量取-∞时，F取0，自变量取+∞时，F取1
  • 求概率密度函数或分布函数
    • 1、分布函数法 2、卷积公式 讨论分布函数时可能需要根据自变量的定义域分类讨论
  • 独立性与线性相关性
    • 独立：F(x, y)=Fx*Fy | f(x, y) = f(x)*f(y) 相关：cov(X, Y)≠0(特指线性相关) 独立 => 不相关，不相关 ≠> 独立
  • COV(X, Y) = E(XY) - EXEY 若X, Y相互独立，则D(X+Y) = DX+DY
  • 二维正态分布的概率密度函数
  • 三大分布
    • 卡方分布
      • Xi~N(0, 1)且相互独立, Σ Xi^2~~x^2(Σ 1)
      • E=n，D=2n 可加性：X~x^2(n), Y~x^2(m), X, Y相互独立, 则X+Y~x^2(n+m)
    • t分布
      • X~N(0, 1), Y~x^2(n), X, Y相互独立, 则X/(Y/n)^0.5~t(n)
    • F分布
      • X~x^2(n), Y~x^2(m), X, Y相互独立, 则(X/n)/(Y/m)~F(n, m)
      • E=m/(m-2)，D=... X~F(n, m)，则1/X~F(m, n) X~t(n)，则X^2~F(1, n)
  • 伽马函数
    • Γ(α) = (α-1)!
  • X的均值与X的样本方差
    • 样本方差分母为n-1，因为样本方差使用的均值来自样本，两者并不独立 X的均值与X的样本方差相互独立
  • 参数估计
    • 假设检验的两类错误
      • 第一类错误：原假设正确，因实验结果而拒绝原假设 第二类错误：原假设错误，因实验结果而接受原假设
    • 区间估计
      • 置信度α：拒绝的概率 α = 原假设正确&拒绝的概率+原假设错误&拒绝的概率 概率密度函数在置信区间上的积分为1-α
      • 双侧
        • [a, b]
      • 单侧
        • 置信上限：(-∞, b] 置信下限：(a, +∞]
    • 矩估计
      • k阶原点矩：E(X^k) k阶中心矩：E((X-EX)^k)
    • 极大似然估计
      • 依据：认定已发生的事件为概率最大的事件 设待估计参数为θ，L(p, θ)为已发生事件的概率表达式 由依据可知L(p, θ)取得当前最大值，分类讨论 L(p, θ)随θ单增，则θ取自身所能取到的最大值 L(p, θ)随θ单减，则θ取自身所能取到的最小值 L(p, θ)随θ先增后减，则θ取d L(p, θ) / dθ =0时的值 L(p, θ)不随θ变化而变化，则θ可取自身所能取到的所有值
      • 补充：当假设所有结果都发生时的参数估计结果等于矩估计结果
    • 无偏估计：θ=E(X) 一致估计：切比雪夫不等式 无偏估计 强于 一致估计
• 已完成
• 加强练习
• 后续理解