高等数学集合知识点

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高等数学集合知识点

• 集合是由一些确定对象构成的无序整体。
  • 如：{1, 2, 3}，表示一个包含1、2、3三个元素的集合。
  • 如：{a, b, c}，表示一个包含a、b、c三个元素的集合。
• 集合的表示方法
  • 枚举法
    • 将集合中的元素一一列举出来。
      • 如：{1, 2, 3}。
  • 描述法
    • 使用描述性语言来说明集合中的元素的性质或特征。
      • 如：{x x 是偶数}，表示包含所有偶数的集合。
• 集合间的关系
  • 包含关系（子集）：一个集合的所有元素都属于另一个集合。
    • 如：{1, 2} 是 {1, 2, 3} 的子集。
  • 相等关系：两个集合的元素完全相同。
    • 如：{1, 2, 3} = {3, 2, 1}。
• 集合的运算
  • 交集：包含属于所有给定集合的公有元素。
    • 如：{1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}。
  • 并集：包含属于任意给定集合的所有元素。
    • 如：{1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}。
  • 差集：包含属于第一个集合而不属于第二个集合的元素。
    • 如：{1, 2, 3} - {2, 3, 4} = {1}。
  • 补集：全集与给定集合的差集。
    • 如：全集 U = {1, 2, 3, 4, 5}，{1, 2} 的补集为 U - {1, 2} = {3, 4, 5}。
• 集合的属性和运算规律
  • 空集：不包含任何元素的集合，记作 Φ。
  • 幂集：一个集合的所有子集所构成的集合。
    • 如：{1, 2, 3} 的幂集为 {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}。
  • 运算结合律、交换律、分配率等规律，在集合间的运算中同样适用。
• 集合运算的 Laws
  • 交换律
    • A ∪ B = B ∪ A
    • A ∩ B = B ∩ A
  • 结合律
    • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
    • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • 分配律
    • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
    • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
  • 吸收律
    • A ∪ (A ∩ B) = A
    • A ∩ (A ∪ B) = A