导图社区 概率论
这是一篇关于概率论的思维导图，n重伯努利试验：将伯努利试验独立重复进行n次，每次P(A)=P，则A有可能发生0,1,2...n次，A恰好发生k次的概率为？
复盘的原则和误区的思维导图，复盘的时候需要不断的问自己问什么，深入挖掘问题深处的原因，不断探究问题的本质，切记停留问题表面，做无效复盘。
关于ROS2 二十一讲笔记的思维导图。包括使用本导图技巧、系统架构两个方面的内容阐述，感兴趣的伙伴快收藏起来学习吧，有不足的地方欢迎指正哦。
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概率论（余丙森）
第一章 随机事件及其概率
一、事件
1. 概念+3关系，4运算
（一）随机事件
随机试验
专门研究随机事件的试验
三个特点
试验前不知道其将发生什么结果
在相同条件下试验课大量重复进行
重复试验的结果是以随机方式出现
样本点
随机试验的每一个基本可能“结果”（不能再分的结果）
如：骰子：1,2,3,4，5,6
样本空间
Ω所有的样本点的集合，叫做样本空间（基本事件空间） “基本”事件，意味着不可再分
如二胎家庭的孩子性别的样本空间：
Ω1={两男，两女，一男一女}
Ω2={男男，女女，男女，女男}
由于样本空间的概念必须是基本事件组成的集合。而基本事件不可再分。 所以Ω2符合概念。因为第一种条件下，一男一女可以再分
随机事件
Ω的子集，就叫做随机事件，用A/B/C……大写字母表示
A事件"发生"↔ A中的某一样本点“出现”
不是指："A已经发生“或“A必然发生” 而是“对未来某一个现象的陈述”（未发生）
必然事件Ω，不可能事件Ø
（二）事件的关系及运算
事件的三种关系 （名称，自然语言，数学语言）
包含（于）
（1）A发生必然导致B发生
相等
（2）A和B相等（A包含于B且B包含于A）
互不相容
（7）A,B互斥（互不相容）
斥：排斥：A发生，B必不发生
↔ AB = ∅
A,B对立 Vs A,B互斥
A,B对立
A∪B = Ω 且 AB = ∅
A,B互斥
AB = ∅
事件的四种运算 （名称，自然语言，数学语言）
交
（4）A、B都发生
↔AB（“A∩B”）
并
（3）A、B至少有一个发生
↔ A∪B（“A+B")
差
（6）A发生但B不发生
↔ A-B 或
子主题
无负事件
三位一体？
证明？
补
（5）A不发生
对立事件
对立事件 Vs 互斥事件
对立：A∪B = Ω 且 AB = ∅
互斥：AB = ∅
2.运算律
（1）吸收律
若A包含于B，则
越交越小
越并越大
（2）分配率
（A∪B）∩ C = (A ∩ C）∪（B ∩ C）
（A ∩ B）∪ C = （A ∪ C）∩ （B ∪ C）
考法：从右往左考
（3）对偶律（摩根律）
一把变两把，颠倒交并符号
解释：A和B至少有一个发生的对立面 = A不发生且B不发生 A和B都发生的对立面 = A不发生或者B不发生
∩可以省略
（4）交换律
同运算，可颠倒先后事件： A∪B = B∪A；AB = BA；
（5）结合律
A∪B∪C = A∪（B∪C）
ABCD =(AB)(CD)
例题
例1.1
①分配率的逆用 ②交换律：先处理两个分配率 ③对立事件的概念,对立事件的交集 = ∅ ④吸收律：越交越小，越并越大 ⑤对立事件的概念
例1.2 Ai ,i = 1,2,3表示第i个产品是合格品
（1）“只有第一个产品是合格品”的事件
第一个合格且第二个不合格且第三个不合格 或第一个合格且 （第二个和第三个至少有一个合格的对立面） 或 第一个合格 - 第二个和第三个至少有一个合格 或 第一个合格- 第一个合格且（第二个和第三个至少有一个合格）
摩根定律
差运算的多种形式
（2）三个零件中，只有一个合格品
（第一个合格且第二个第三个不合格） ∪ （第二个合格且第一个第三个不合格）∪（第三个合格且第一个第二个不合格）
A，B互斥，则AC 和 BC互斥吗？
大的集合互斥，小的集合一定互斥
（3）最多只有两个合格品
至少有一个不合格品
第一个，第二个，第三个至少有一个不合格。即第一个不合格并第二个不合格并第三个不合格
1个不合格，2个不合格，3个不合格
A不合格且B,C合格，B不合格且A,C合格，C不合格且A,B合格，A,B不合格且C合格，A,C不合格且B合格，A,B,C不合格
二、概率
（一）概率的概念
1. 统计定义
2. 公理化定义（公认的定义）（1933年公认）
映射的形式
Ω映射为 [0,1]
A映射为P(A)
满足三条公理 则称P（A）为A发生的概率
（1）非负性
P(A) ≥ 0；
（2）规范性
P(Ω) = 1;
（3）可列可加性
设A1,A2,……An,……两两互不相容
3.公理化定义的性质
（1）0≤ P(A) ≤1， P(∅) = 0, P(Ω) = 1;
（2）A,B互斥，P(A∪B）= P(A)+P(B);
（3）求逆公式：P（A拔）= 1-P(A);
（4）减法公式：
为什么
因为
所以
奥~如果B在A的集合内，就能分别计算A,B的概率然后相减。 如果B不在A里的话，只能分别计算A, A和B的交集的概率然后相减
（5）加法公式：
P（A∪B） = P(A)+P(B)-P(AB);
推导思想：
将P(A∪B）写成两两互斥形式 在使用减法公式化简
对于并集的，可以转换成互斥的表示形式
为什么有些“多个事件进行运算后”的概率 = ”多个事件对应的概率“后的运算！
例1.4
“A,B,C全不发生”求概率
①减少伞（摩根定律/对偶律） ②去伞（求逆公式） ③化简（加法公式） ④求每一项数值（越交越小）
①减少伞（摩根定律） ②去伞（减法公式） ③去括号（分配率逆用） ④减少P中的事件（加法公式）
处理伞
多个伞变一个伞
减法公式
求逆公式
（二）古典与几何概型
预备：
1. 加法原理：
分类
2. 乘法原理：
分布
3. 排列： (阶乘公式） (具体数值计算方法）
从n个不同的元素中任取m个元素 (每次取一个，总共取m个），排成一列
（1）有放回：
n * n * n * n…… = n^m种取法
（2）无放回：
4. 组合 (阶乘公式） (具体数值计算方法）
从n个不同的元素中任取m个元素， 不考虑顺序 →称作从n个元素中去除m个元素的组合
1. 古典概型
（1）特征：
有限 等可能
（2）计算：
例1.5
4个次品，6个正品，从中取3个。 求至少有一个次品的概率
法一
正算（分情况一步步来）
法二
反算（求逆公式倒一下）
法三？
错在哪里了？
分子多算了。
2. 几何概型
（1）特征
无限等可能
补例：
向[0,1]随机地投一点
(1)点恰好落在x=1/2处的概率为
(2)点落在（0,1）内的概率为
概率=0,1并不意味着其事件是不可能事件/必然事件 因为在一维几何概型中，一个点的长度为0
例1.7
子主 题
将边长为1的正方形放到坐标系中，
画符合条件的方程的直线/曲线分割面积
定积分的几何应用
（三）条件概率 与 乘法公式
1. 条件概率
（1）定义： （自然语言） （记作） （计算公式）
事件A发生的条件下，B发生的概率， 称为条件概率，记为P(B|A)， 当P(A)>0,时， 规定：P(B|A)=P(AB)/P(A)。
注：以前的无条件概率，本质也是条件概率 推到过程：
注2：P(AB）VS P(B|A)
P(AB)
A,B都发生的概率
P(B|A)
A发生的条件下，B发生的概率
第二次射击是第一次命中的概率记为？ 用Ai表示第i次命中，i=1,2
P(B|A) =
法一 （啥时候用？)
公式法 若P(A)>0， P(B|A)= P(AB)/P(A)
进行公式化简、推导的时候
法二 （啥时候用？）
缩减法
将样本空间缩减成A，直接计算
知道具体数值进行计算的时候
例1.8
解？
解：令Ai表示第i次取到红球，i=1,2
法一（公式法）
求概率时，一定要先思考样本空间是多少，再思考样本点是多少。 样本空间若不放回，就会变少
法二（缩减样本空间法）
直接将条件用上，缩减样本空间，然后 直接计算要求的事件概率
（3）性质
①基本性质
②求逆公式？
要证明条件概率的方法：写条件概率公式
③加法公式？
和“无条件“概率的加法公式相同，只不过要加上条件
注：怎么看待P(C|B|A)？
无意义
④减法公式？
同样只需要无条件概率的减法公式+条件标志即可
2. 乘法公式（链式结构）
公式：
P(AB) =?
P(A)P(B|A)
A:初试通过，B：复试通过 初复试都通过的概率 = 初试通过，且初试通过的条件下复试通过
P(ABC) =
P(A)P(BC|A) = P(A)P(B
P(AB)P(C|AB) , [P(AB) > 0] =P(A) P(B|A) P(C|AB)
P(ABC...Z) =
（四）全概率公式 与 贝叶斯公式
1. 完备事件组
定义？
设A1,A2,A3...An两两互斥，且A1∪A2∪A3...∪An = Ω。 则称 A1,A2,A3...An为Ω的一个“完备事件组”（或“划分”）
理解？
就是将样本空间划分成n份，每一份是一个事件。这n份合称样本空间的完备事件组（划分）
A与A的补是？
完备事件组
2. 全概率公式：（要会推导）
若P(B)不好求，则？
将P(B) = P(BΩ),Ω划分成完备事件组
→由于完备事件组两两互斥，所以加法公式更简单。
→得到全概率公式
什么时候用？
一个随机试验如果可以分成两个阶段， 第一个阶段有多种可能结果， 让求第二个阶段的概率。
例1.10
由全概率公式
由古典概型
由生活中的常识（抓阄）
第一个人抓到黄球的概率是20/50 第二个人…… 同样是 20/50 第n个人 …… 同样是 20/50
3. 贝叶斯公式 (公式是啥？）
例1.11
三、事件的独立性、贝努力概型
（一）独立性
不独立的标志
、不独立
独立的标志和推导公式？
一般条件下，P(B|A)≠P(B)
1. 定义
事件A,B独立 ↔
P(B|A)=P(B), P(A)>0
P(AB)=P(A)P(B)'
直观上： A的发生对B没有影响
2. 结论
（1）下列四对事件：
A与B，A与A`，A`与B，A`与B`; 一对独立，另外三对也独立
（2）与任意事件独立是？
概率为0和1的事件
（3）P(A)>0,P(B)>0.
A,B两事件独立和互斥的关系？
A,B独立必然不互斥，互斥必然不独立
A,B独立和互斥的结论的推导公式？
A,B独立 ↔
P(AB) = P(A)P(B)
A,B互斥↔
AB = ∅ → P(AB) = 0
互斥→没有交集→没有影响→独立的想法对吗？
错， 互斥 ——排斥，像吸铁石一样，接进不了是有影响的 独立 ——可以接近，也可以不接近，无影响
（4）
A,B,C相互独立 ↔
A,B,C两两独立 且 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
例1.12
A,B,C两两独立 ↔
P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(AC)=P(A)P(C)
例1.14
无变量重叠，则随便做运算，都仍然相互独立
A,B,C相互独立，如何快速判断A,B,C运算之后的时间仍然相互独立？
只要没有变量重复，就仍然独立
（二）伯努利概型
1. 伯努利试验
只有两个结果A和A`的试验
2. 独立重复试验
各次试验结果独立
3. n重伯努利试验
将伯努利试验独立重复进行n次， 每次P(A)=P，则A有可能发生0,1,2...n次， A恰好发生k次的概率为：？
4. 有截止的伯努利试验
伯努利试验第n次试验恰好是A第k次发生的概率为？
讲了 三种概型 六大公式
三大概型
1.
古典概型
2.
几何概型
3.
伯努利概型
六大公式
P(A`)= 1-P(A)
P(A-B) = P(AB`) = P(A)-P(AB)
加法公式
P(A∪B) = P(A) +P(B)- P(AB)
P(A∪B∪C) = P(A)++ P(C) - P(AB)--P(BC)+P(ABC)
4.
乘法公式
P(AB) = P(B)P(A|B) , P(B) > 0
P(AB) = P(A)P(B|A), P(A) > 0
5.
全概率公式
6.
贝叶斯公式
伯努利概型公式
第二章 一维随机变量及其分布
考试大纲
理解随机变量的概念
理解分布函数F(x)=P{X≤x}(-∞<x<+∞)的概念及性质
会计算与随机变量相联系的事件的概率
理解离散型随机变量及其概率分布的概念
掌握 xx分布及其应用
0-1分布
二项分布 B(n,p)
几何分布
超几何分布
泊松（Poisson)分布P(λ)
了解（数三掌握）泊松定理的
结论
应用条件
会用泊松分布近似表示二项分布
概率密度
理解连续型随机变量及其概率密度的概念
掌握xxx分布，及其应用
均匀分布U(a,b)
正态分布N(μ,σ^2)
指数分布E(λ)
会求随机变量函数的分布
一、 随机变量及其分布函数
在老师的课堂中：r.v. = 随机变量
variable random
（一） 随机变量
1. 定义：
取值有随机性的变量
数学上指
定义在Ω上的单值实值函数X=X(ω)，ω∈Ω，ω为样本点。
注
X = X(ω) X是实数 ω 未必位为数
引入随机变量的原因
