向量

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。

向量

• 向量组
  • 线性相关（齐次）
    • 在向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m-1 个向量线性表示
    • 向量组a1,a2,…am线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A的秩小于向量个数 m；向量组线性无关的充要条件是 R( A）= m
    • 小关大关，大无小无
    • 设向量组A：a1,a2,…am线性无关，而向量组B: a1,a2,…am,b线性相关，则向量b 必能由向量组 A 线性表示，且表达式是唯一的。
    • 如果向量组 A 是向量组 B 的一部分，这时称 A 组是 B 组的部分组。
    • 一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关。
    • 含零向量的向量组必线性相关。
    • 一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。
  • 线性表示（非齐次）
    • 向量组等价：A 与 B 能相互线性表示
    • 向量 b 能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A=（a1,a2,…am)的秩等于矩阵B=（a1,a2,…am，b)的秩。
    • 向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A=（a1,a2,…am)的秩等于矩阵(A,B)=（a1,a2,…am,b1,b2,…,bl)的秩，即R（A）=R（A，B）
    • 向量组A与向量组B等价的充要条件是：R（A）=R（B）=R（A，B）
    • 向量组B能由向量组A线性表示，则R（B）<=R（A）
    • 向量组B能由向量组A 线性表示⇔ 有矩阵 K，使 B=AK⇔ 方程 AX=B 有解。<=>R(A)= (A,B )
  • 向量组的秩
    • 最大无关组：线性无关，且一般不唯一
      • 向量组和自己的最大无关组等价
      • 向量组 A 的任一向量都能由向量组 A0 线性表示，那么向量组 A0 便是向量组 A 的一个最大无关组。
    • 最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩
  • 线性方程组的解的结构
    • 齐次线性方程组（向量方程 Ax=0）
      • 若x=§1,x=§2为解，则 x =
      • 若x=§1为解，k为实数则 x =
      • 齐次线性方程所有解所组成的集合S的最大无关组S0，任一解都可由最大无关组S0线性表示。
      • 最大无关组 S0 的任何线性组合x=k1§1+k2§2+…+kt §t都是方程的解，也称为通解
      • 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。
    • 非齐次线性方程组（向量方程 Ax=b）
      • 设 x =η1及 x =η2 都是 Ax=b 的解，则 x= η1-η2为对应的齐次方程组 Ax=0的解。
      • 设 x =η 是方程 Ax=b 的解， x = ξ 是方程 Ax=0 的解，则 x=ξ+η 仍是方程Ax=b 的解。
      • 若求得 Ax=b 的一个解η* ，则 Ax=b的任一解总可表示为x= ξ+ η* 。
      • 方程Ax=b 的任一解总可表示为方程Ax=0的通解η*
• 一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关。
• 含零向量的向量组必线性相关。
• 要求齐次线性方程组的通解，只需求出它的基础解系。
  • 向量空间
    • 基，维数
      • 若把向量空间 V 看作向量组，则 V 的基就是向量组的最大无关组，V 的维数就是向量组的秩。
      • 基变换公式（b1 , b2,b3 ) =( a1, a2, a3) P
        • 过渡矩阵P=Ａ逆Ｂ
    • 坐标
      • 自然基
      • 坐标变换公式