考研高数

再不看看这份思维导图就晚了!考研数学是一门很重要的学科，也是特别难的学科，有很多学生因为上大学时数学基础不好，就在考研时选择不会考数学的专业，现在有了这份思维导图就不用再担心啦!跟着这份思维导图轻松解决极限、积分、微分、空间解析几何、无穷级数等问题，喜欢的小伙伴可以点个赞哦!

高数

第一章.函数，极限，连续

函数性态

判断有界(三个结论)

f(x)在[a,b]连续

f(x)在(a,b)连续，且a右极限与b左极限均存在

f'(x)在有限区间(a,b)有界

导函数或原函数的奇偶性与周期性

导函数(3个)

原函数(3个)

极限概念

无穷大量阶的比较

函数(2组)

数列(1组)

函数极限计算

0/0

洛

等价代换(3组)

泰勒(8个)

∞/∞

洛

同除最高次

抓大头(保留最高次)

∞－∞

通分(有分数)

有理化(有根式)

倒代换，令x=1/t

提最高次

拉格朗日(同一函数的差)

0*∞

同除简单因式，转化为0/0或∞/∞

0º与∞º

一个公式

1^∞

两个公式

已知极限反求参数

已知分母极限为零推分子

已知分子极限为零推分母(要求极限不为零)

数列极限的计算

数列未定式

将n或1/n改写为x，转化为函数未定式

n项和的数列极限

夹逼准则

定积分定义

通项Xn由递推公式Xn+1=f(Xn)给出

单调有界定理

先证有界性

再证单调性

做差

做商(数列正项)

求导Xn+1=f(Xn),令y=f(x)

f'(x)>0,f(x)递增

X1<X2，数列递增

X1>X2，数列递减

f'(x)<0,f(x)递减

数列不单调

令n→0limXn=a，题中数列等式两段取极限，求a

无穷小量阶的比较

即0/0型极限

=0，分子高阶，分子低阶

≠0，同阶

=1，等价

连续与间断点

连续

定义

性质

定理

最值

介值

零点

间断

第一类

可去

左右极限相等

跳跃

左右极限不相等

第二类

无穷

tanx

振荡

sin1/x

第二章.一元函数微分学

导数与微分概念

导数与微分的计算

复合函数

链式法则，由外到内

隐函数

代入求导

公式法F(x,y)=0，dy/dx=–F'(x)/F'( y)

反函数

x=φ(y)，由y=f(x)确定

dx/dy=1/f'( x)

d²x/dy²=–f''/f'³

参数方程

y=f(x)由x=x(t), y=y(t)确定

dy/dx=y'(t)/x'( t)

d²y/dx²=(y"x'–y'x")/x'³

分段函数

分段点处

导数定义

其他点处

求导公式

高阶导数

递推公式(3组)

分式

ln

sin，cos

莱布尼茨公式

泰勒( x=0)

利用8个常见函数的泰勒公式，得到f(x)本身的泰勒公式

由泰勒公式系数的唯一性，知an=f^(n)(0)/n!，得f^(n)(0)=an*n!

导数应用之切线与法线

直角坐标

切线方程

y-y0=(x-x0)f'(x0)

法线方程

y-y0=-(x-x0)/f'(x0)

参数方程

f'(x0)=y'(t)/x'(t)|t-t0

极坐标r=r(θ)

转化为参数方程x=r(θ)*cosθ，y=r(θ)*sinθ

f'(x)=y'(θ)/x'(θ)|θ-θ0

导数应用之渐近线

水平

x→∞limf(x)=c

垂直

x→x0limf(x)=∞，其中x0为分母为零或lnx为零的点

斜

斜率

x→∞lim(y/x)=a

截距

x→∞lim(y-ax)=b

Tip：若同一侧有水平渐近线，则无斜渐近线

导数应用之曲率

曲率

曲率半径

R=1/k

导数应用之极值与最值

充分条件1

f(x)在x0连续，一阶导在x0的左右去心邻域异号

充分条件2

一阶导=0，二阶导≠0，则二阶导＞0，极小值；二阶导＜0，极大值

充分条件3

前n-1阶导=0，n阶导≠0（n为偶，＞2），则二阶导＞0，极小值；二阶导＜0，极大值

导数应用之凹凸性与拐点

充分条件1

f(x)在x0连续，二阶导在x0的左右去心邻域异号

充分条件2

二阶导=0，三阶导≠0

充分条件3

前n-1阶导=0，n阶导≠0（n为奇，＞3）

导数应用之证明不等式

法一:单调性

化简，构造辅助函数

求导，得到单调区间

带入端点证明不等式

法二:拉格朗日(同一函数的差)

导数应用之方程的根

化简构造辅助函数

求导得到单调区间

代入端点，利用零点定理

含参数的，先分离参数

微分中值定理的证明题

证明含有ξ一个点的等式

法一:零点定理 (构造辅助函数过程中没有用到积分)

化简构造辅助函数

代入端点，利用零点定理

法二:罗尔中值定理

化简构造辅助函数

直接法(3大类)(最后一类分3小类)

原函数法

将ξ改为x，化简为容易积分的形式

积分去掉导数符号

移项构造辅助函数，为了简单，c取0

代入端点，利用罗尔中值定理

证明含有ξ，η两个点的等式

不要求ξ≠η

先对f(x)拉格朗日

再对f(x)，g(x)用柯西

要求ξ≠η

分区间[a,c]，[c,b]用两次拉格朗日

证明含有高阶导数的等式或不等式

泰勒公式，x0取端点/中点/极值点

第三章.一元函数积分学

定积分概念

不定积分的计算

分段函数

分区间求原函数

由原函数可导必连续，连续函数左极限=右极限，得c1,c2......的关系（此处一定要注意：记得求c，不同段不是一个c）

有理函数

其中P，Q为多项式

法一：分母因式分解，分子待定系数（基本用不上）

法二：分子拆项（用的多）

法三：倒代换，令x=1/t

无理函数

法一：三角代换

令x=asint

令x=atant

令x=asect

法二：根式代换

（ax+b）^(1/n)=t

[(ax+b)/(cx+d)]^(1/n)=t

(ax+b)^(1/m)与(ax+b)^(1/n)，令(ax+b)^(1/l)，l为m，n的最小公倍数

指数有理式

指数代换

令e^x=t或a^x=t

三角有理式

法一：三角公式

法二：万能代换

令tan(x/2)=t，则x=2arctant dx=2/(1+t²)，sinx=2t/(1+t²)，cosx=(1-t²)/(1+t²)

被积函数含有对数函数，反三角函数

法一：分部积分

把对数函数，反三角函数看作u，另外一个凑微分，看作v

法二：整体代换

令对数函数，反三角函数=t

定积分的计算

分段函数

利用区间可加拆开

对称区间

奇偶性

周期函数

周期性

f(x)以T为周期，从任何点开始积分，积满一个周期，就等于0到T的积分

被积函数含有变限积分函数，抽象函数的倒数

法一：分部积分，将变限积分函数看作u，另一个凑微分，看作v

法二：交换积分次序（二重积分）

形如∫a到b,f(x)/(f(x)+g(x))的积分

区间再现换元法

反常积分的计算

暇点在内部，利用区间可加拆开

反常积分敛散性的判定

法一：定义法（计算）不推荐

法二：比较判别法

无穷积分

瑕积分

变限积分函数

定积分应用之求面积

定积分应用之求体积

定积分应用之求弧长

定积分应用之求侧面积

定积分应用之物理应用

证明含有积分的等式或不等式

单调性，微分中值定理，综合定积分性质，计算方法

第四章.多元函数微分学

多元函数概念

全微分定义：

求多元复合函数的偏导数与全微分

链式法则

求多元隐函数的偏导数与全微分

法一：带入求导

法二：公式法

法三：全微分（几乎不用）

变量代换化简偏微分方程

求无条件极值

第一步：求驻点：

第二步：AC-B²

＞0

A＞0，极小值

A＜0，极大值

＜0

不是极值

=0

无法判定（用定义）

求条件极值(边界最值)

法一：拉格朗日乘数法

令L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，则 消λ，得（x0,y0）,最后比较

法二：解φ（x，y），得y=y(x),代入f（x,y）,转化为一元函数极值

求闭区域上的最值

求内部驻点

求边界最值（条件极值）

最后比较

第八章.多元函数积分学

空间解析几何

向量

数量积(点乘)

向量积(叉乘)

混合积

平面与直线

平面

平面方程

点法式

一般式

截距式

点到平面的距离

直线

直线方程

点向式

参数式

一般式

点到直线的距离

平面，直线的位置关系(平行，垂直，夹角)

利用平面的法向量n，直线的方向向量s

曲面与曲线

曲面

曲面方程

一般式

显式

旋转曲面

常见的二次曲面

球面

椭球面

圆柱面

圆锥面

单叶双曲面

双叶双曲面

旋转抛物面

曲线

曲线方程

参数式

一般式

多元函数微分学的几何应用

曲面的切平面与法线

一般式

法向量

切平面

显式

法向量

切平面

曲线的切线与法平面

参数式

切向量

法平面

一般式

切向量

法平面

方向导数与梯度，散度，旋度

方向导数

梯度

三重积分

三重积分概念

直角坐标

柱坐标变换

球坐标变换

奇偶性

轮换对成性

形心公式

第一类曲线积分

第二类曲线积分

第一类曲面积分

第二类曲面积分

多元函数积分学得物理应用

第七章.无穷级数

数项级数敛散性的判定

正项级数

法一：比较判别法

一般形式（放缩找对象）

极限形式（等价找对象）

比较对象

P级数

等比级数

法二：比值判别法(n!)

法三：根值判别法(n次方)

法四：积分判别法

用于P级数

用于P级数推广

交错级数

法一：莱布尼茨判别法

法二：拆项

任意项级数

绝对收敛与条件收敛三条性质

求幂级数的收敛半径与收敛域

法一：阿贝尔定理

一点收敛，内部绝对收敛

一点发散，外部一定发散

端点可能绝对收敛，条件收敛，发散

法二：比值定理(n!)

法三：根值定理(n次方)

幂级数求和

利用常见函数的幂级数

先求收敛域

再化简或逐项求导(有分母)，逐项积分(没有分母)， 转化为8个常见函数的幂级数

综合微分方程

x^(2n)或x^(3n)缺项极严重的，求导

幂级数展开

有理函数

第一步：分母因式分解(拆项)

化简为1/(1+a(x-x0))

利用1/(1+x)或1/(1-x)展开

对数函数

第一步：化简为ln[1+a(x-x0)]

第二步：利用ln(1+x)展开

反三角函数

无穷级数的证明题

傅里叶级数

狄利克雷收敛定理

第六章.常微分方程

一阶微分方程

可分离变量dy/dx=f(x)g(x)

一阶齐次dy/dx=f(y/x)

一阶线性

齐次 y'+ P(x)y=0

非齐次y'+ P(x)y= Q(x)

伯努利方程

其中z是关于x的一阶线性非齐次

全微分方程

法一：原函数法

法二：第二类曲线积分

二阶常系数线性微分方程 y"+py'+ q1y=f(x)

解的性质与结构

齐次方程的通解

ｙ齐通＝c1y1+c2y2，y1,y2线性无关

非齐次方程的通解

y非齐通=c1y1+c2y2+y*

叠加原理

已知微分方程的解反求微分方程的解

第一步：齐次方程的解→特征根→特征方程→齐次方程

第二步：将y*代入方程→f(x)→非齐次方程

解二阶常系数线性微分方程

齐次

非齐次

先求齐次方程的通解

再求非齐次方程的特解

齐通+特解=非齐次通解

高阶常系数线性微分方程

可降阶的微分方程

y"=f(x,y') 缺y

y"=f(y,y') 缺x

欧拉方程

变量代换求解二阶变系数线性微分方程

微分方程的综合题

综合导数的几何意义

综合定积分的几何意义

综合变限积分

综合重积分

第五章.二重积分

二重积分概念

交换积分次序

直角坐标 x↔y

直角坐标与极坐标（x,y）↔(r,θ)

极坐标 r↔θ

二重积分的计算

分段函数

利用区域可加拆开

对称区域

D关于x轴或y轴对称

奇偶性

D关于y=x对称

轮换对称性

积分区域为圆域或被积函数含有f(x^2+y^2)或f(y/x)

Tip：含有x^2+y^2的一般用极坐标

证明含有二重积分的等式或不等式

讲义P59考前看一下

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