考研高数

再不看看这份思维导图就晚了!考研数学是一门很重要的学科，也是特别难的学科，有很多学生因为上大学时数学基础不好，就在考研时选择不会考数学的专业，现在有了这份思维导图就不用再担心啦!跟着这份思维导图轻松解决极限、积分、微分、空间解析几何、无穷级数等问题，喜欢的小伙伴可以点个赞哦!

高数

• 第一章.函数，极限，连续
  • 函数性态
    • 判断有界(三个结论)
      • f(x)在[a,b]连续
      • f(x)在(a,b)连续，且a右极限与b左极限均存在
      • f'(x)在有限区间(a,b)有界
    • 导函数或原函数的奇偶性与周期性
      • 导函数(3个)
      • 原函数(3个)
  • 极限概念
    • 无穷大量阶的比较
      • 函数(2组)
      • 数列(1组)
  • 函数极限计算
    • 0/0
      • 洛
      • 等价代换(3组)
      • 泰勒(8个)
    • ∞/∞
      • 洛
      • 同除最高次
      • 抓大头(保留最高次)
    • ∞－∞
      • 通分(有分数)
      • 有理化(有根式)
      • 倒代换，令x=1/t
      • 提最高次
      • 拉格朗日(同一函数的差)
    • 0*∞
      • 同除简单因式，转化为0/0或∞/∞
    • 0º与∞º
      • 一个公式
    • 1^∞
      • 两个公式
  • 已知极限反求参数
    • 已知分母极限为零推分子
    • 已知分子极限为零推分母(要求极限不为零)
  • 数列极限的计算
    • 数列未定式
      • 将n或1/n改写为x，转化为函数未定式
    • n项和的数列极限
      • 夹逼准则
      • 定积分定义
    • 通项Xn由递推公式Xn+1=f(Xn)给出
      • 单调有界定理
        • 先证有界性
        • 再证单调性
          • 做差
          • 做商(数列正项)
          • 求导Xn+1=f(Xn),令y=f(x)
            • f'(x)>0,f(x)递增
              • X1<X2，数列递增
              • X1>X2，数列递减
            • f'(x)<0,f(x)递减
              • 数列不单调
        • 令n→0limXn=a，题中数列等式两段取极限，求a
  • 无穷小量阶的比较
    • 即0/0型极限
      • =0，分子高阶，分子低阶
      • ≠0，同阶
      • =1，等价
  • 连续与间断点
    • 连续
      • 定义
      • 性质
      • 定理
        • 最值
        • 介值
        • 零点
    • 间断
      • 第一类
        • 可去
          • 左右极限相等
        • 跳跃
          • 左右极限不相等
      • 第二类
        • 无穷
          • tanx
        • 振荡
          • sin1/x
• 第二章.一元函数微分学
  • 导数与微分概念
  • 导数与微分的计算
    • 复合函数
      • 链式法则，由外到内
    • 隐函数
      • 代入求导
      • 公式法F(x,y)=0，dy/dx=–F'(x)/F'( y)
    • 反函数
      • x=φ(y)，由y=f(x)确定
        • dx/dy=1/f'( x)
        • d²x/dy²=–f''/f'³
    • 参数方程
      • y=f(x)由x=x(t), y=y(t)确定
        • dy/dx=y'(t)/x'( t)
        • d²y/dx²=(y"x'–y'x")/x'³
    • 分段函数
      • 分段点处
        • 导数定义
      • 其他点处
        • 求导公式
    • 高阶导数
      • 递推公式(3组)
        • 分式
        • ln
        • sin，cos
      • 莱布尼茨公式
      • 泰勒( x=0)
        • 利用8个常见函数的泰勒公式，得到f(x)本身的泰勒公式
        • 由泰勒公式系数的唯一性，知an=f^(n)(0)/n!，得f^(n)(0)=an*n!
  • 导数应用之切线与法线
    • 直角坐标
      • 切线方程
        • y-y0=(x-x0)f'(x0)
      • 法线方程
        • y-y0=-(x-x0)/f'(x0)
    • 参数方程
      • f'(x0)=y'(t)/x'(t)|t-t0
    • 极坐标r=r(θ)
      • 转化为参数方程x=r(θ)*cosθ，y=r(θ)*sinθ
        • f'(x)=y'(θ)/x'(θ)|θ-θ0
  • 导数应用之渐近线
    • 水平
      • x→∞limf(x)=c
    • 垂直
      • x→x0limf(x)=∞，其中x0为分母为零或lnx为零的点
    • 斜
      • 斜率
        • x→∞lim(y/x)=a
      • 截距
        • x→∞lim(y-ax)=b
    • Tip：若同一侧有水平渐近线，则无斜渐近线
  • 导数应用之曲率
    • 曲率
    • 曲率半径
      • R=1/k
  • 导数应用之极值与最值
    • 充分条件1
      • f(x)在x0连续，一阶导在x0的左右去心邻域异号
    • 充分条件2
      • 一阶导=0，二阶导≠0，则二阶导＞0，极小值；二阶导＜0，极大值
    • 充分条件3
      • 前n-1阶导=0，n阶导≠0（n为偶，＞2），则二阶导＞0，极小值；二阶导＜0，极大值
  • 导数应用之凹凸性与拐点
    • 充分条件1
      • f(x)在x0连续，二阶导在x0的左右去心邻域异号
    • 充分条件2
      • 二阶导=0，三阶导≠0
    • 充分条件3
      • 前n-1阶导=0，n阶导≠0（n为奇，＞3）
  • 导数应用之证明不等式
    • 法一:单调性
      • 化简，构造辅助函数
      • 求导，得到单调区间
      • 带入端点证明不等式
    • 法二:拉格朗日(同一函数的差)
  • 导数应用之方程的根
    • 化简构造辅助函数
    • 求导得到单调区间
    • 代入端点，利用零点定理
    • 含参数的，先分离参数
  • 微分中值定理的证明题
    • 证明含有ξ一个点的等式
      • 法一:零点定理 (构造辅助函数过程中没有用到积分)
        • 化简构造辅助函数
        • 代入端点，利用零点定理
      • 法二:罗尔中值定理
        • 化简构造辅助函数
          • 直接法(3大类)(最后一类分3小类)
          • 原函数法
            • 将ξ改为x，化简为容易积分的形式
            • 积分去掉导数符号
            • 移项构造辅助函数，为了简单，c取0
        • 代入端点，利用罗尔中值定理
    • 证明含有ξ，η两个点的等式
      • 不要求ξ≠η
        • 先对f(x)拉格朗日
        • 再对f(x)，g(x)用柯西
      • 要求ξ≠η
        • 分区间[a,c]，[c,b]用两次拉格朗日
    • 证明含有高阶导数的等式或不等式
      • 泰勒公式，x0取端点/中点/极值点
• 第三章.一元函数积分学
  • 定积分概念
  • 不定积分的计算
    • 分段函数
      • 分区间求原函数
      • 由原函数可导必连续，连续函数左极限=右极限，得c1,c2......的关系（此处一定要注意：记得求c，不同段不是一个c）
    • 有理函数
      • 其中P，Q为多项式
        • 法一：分母因式分解，分子待定系数（基本用不上）
        • 法二：分子拆项（用的多）
        • 法三：倒代换，令x=1/t
    • 无理函数
      • 法一：三角代换
        • 令x=asint
        • 令x=atant
        • 令x=asect
      • 法二：根式代换
        • （ax+b）^(1/n)=t
        • [(ax+b)/(cx+d)]^(1/n)=t
        • (ax+b)^(1/m)与(ax+b)^(1/n)，令(ax+b)^(1/l)，l为m，n的最小公倍数
    • 指数有理式
      • 指数代换
        • 令e^x=t或a^x=t
    • 三角有理式
      • 法一：三角公式
      • 法二：万能代换
        • 令tan(x/2)=t，则x=2arctant dx=2/(1+t²)，sinx=2t/(1+t²)，cosx=(1-t²)/(1+t²)
    • 被积函数含有对数函数，反三角函数
      • 法一：分部积分
        • 把对数函数，反三角函数看作u，另外一个凑微分，看作v
      • 法二：整体代换
        • 令对数函数，反三角函数=t
  • 定积分的计算
    • 分段函数
      • 利用区间可加拆开
    • 对称区间
      • 奇偶性
    • 周期函数
      • 周期性
        • f(x)以T为周期，从任何点开始积分，积满一个周期，就等于0到T的积分
    • 被积函数含有变限积分函数，抽象函数的倒数
      • 法一：分部积分，将变限积分函数看作u，另一个凑微分，看作v
      • 法二：交换积分次序（二重积分）
    • 形如∫a到b,f(x)/(f(x)+g(x))的积分
      • 区间再现换元法
  • 反常积分的计算
    • 暇点在内部，利用区间可加拆开
  • 反常积分敛散性的判定
    • 法一：定义法（计算）不推荐
    • 法二：比较判别法
      • 无穷积分
      • 瑕积分
  • 变限积分函数
  • 定积分应用之求面积
  • 定积分应用之求体积
  • 定积分应用之求弧长
  • 定积分应用之求侧面积
  • 定积分应用之物理应用
  • 证明含有积分的等式或不等式
    • 单调性，微分中值定理，综合定积分性质，计算方法
• 第四章.多元函数微分学
  • 多元函数概念
    • 全微分定义：
  • 求多元复合函数的偏导数与全微分
    • 链式法则
  • 求多元隐函数的偏导数与全微分
    • 法一：带入求导
    • 法二：公式法
    • 法三：全微分（几乎不用）
  • 变量代换化简偏微分方程
  • 求无条件极值
    • 第一步：求驻点：
    • 第二步：AC-B²
      • ＞0
        • A＞0，极小值
        • A＜0，极大值
      • ＜0
        • 不是极值
      • =0
        • 无法判定（用定义）
  • 求条件极值(边界最值)
    • 法一：拉格朗日乘数法
      • 令L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，则 消λ，得（x0,y0）,最后比较
    • 法二：解φ（x，y），得y=y(x),代入f（x,y）,转化为一元函数极值
  • 求闭区域上的最值
    • 求内部驻点
    • 求边界最值（条件极值）
    • 最后比较
• 第八章.多元函数积分学
  • 空间解析几何
    • 向量
      • 数量积(点乘)
      • 向量积(叉乘)
      • 混合积
    • 平面与直线
      • 平面
        • 平面方程
          • 点法式
          • 一般式
          • 截距式
        • 点到平面的距离
      • 直线
        • 直线方程
          • 点向式
          • 参数式
          • 一般式
        • 点到直线的距离
      • 平面，直线的位置关系(平行，垂直，夹角)
        • 利用平面的法向量n，直线的方向向量s
    • 曲面与曲线
      • 曲面
        • 曲面方程
          • 一般式
          • 显式
        • 旋转曲面
        • 常见的二次曲面
          • 球面
          • 椭球面
          • 圆柱面
          • 圆锥面
          • 单叶双曲面
          • 双叶双曲面
          • 旋转抛物面
      • 曲线
        • 曲线方程
          • 参数式
          • 一般式
    • 多元函数微分学的几何应用
      • 曲面的切平面与法线
        • 一般式
          • 法向量
          • 切平面
        • 显式
          • 法向量
          • 切平面
      • 曲线的切线与法平面
        • 参数式
          • 切向量
          • 法平面
        • 一般式
          • 切向量
          • 法平面
    • 方向导数与梯度，散度，旋度
      • 方向导数
      • 梯度
  • 三重积分
    • 三重积分概念
    • 直角坐标
    • 柱坐标变换
    • 球坐标变换
    • 奇偶性
    • 轮换对成性
    • 形心公式
  • 第一类曲线积分
  • 第二类曲线积分
  • 第一类曲面积分
  • 第二类曲面积分
  • 多元函数积分学得物理应用
• 第七章.无穷级数
  • 数项级数敛散性的判定
    • 正项级数
      • 法一：比较判别法
        • 一般形式（放缩找对象）
        • 极限形式（等价找对象）
        • 比较对象
          • P级数
          • 等比级数
      • 法二：比值判别法(n!)
      • 法三：根值判别法(n次方)
      • 法四：积分判别法
        • 用于P级数
        • 用于P级数推广
    • 交错级数
      • 法一：莱布尼茨判别法
      • 法二：拆项
    • 任意项级数
      • 绝对收敛与条件收敛三条性质
  • 求幂级数的收敛半径与收敛域
    • 法一：阿贝尔定理
      • 一点收敛，内部绝对收敛
      • 一点发散，外部一定发散
      • 端点可能绝对收敛，条件收敛，发散
    • 法二：比值定理(n!)
    • 法三：根值定理(n次方)
  • 幂级数求和
    • 利用常见函数的幂级数
      • 先求收敛域
      • 再化简或逐项求导(有分母)，逐项积分(没有分母)， 转化为8个常见函数的幂级数
    • 综合微分方程
      • x^(2n)或x^(3n)缺项极严重的，求导
  • 幂级数展开
    • 有理函数
      • 第一步：分母因式分解(拆项)
      • 化简为1/(1+a(x-x0))
      • 利用1/(1+x)或1/(1-x)展开
    • 对数函数
      • 第一步：化简为ln[1+a(x-x0)]
      • 第二步：利用ln(1+x)展开
    • 反三角函数
  • 无穷级数的证明题
  • 傅里叶级数
    • 狄利克雷收敛定理
• 第六章.常微分方程
  • 一阶微分方程
    • 可分离变量dy/dx=f(x)g(x)
    • 一阶齐次dy/dx=f(y/x)
    • 一阶线性
      • 齐次 y'+ P(x)y=0
      • 非齐次y'+ P(x)y= Q(x)
    • 伯努利方程
      • 其中z是关于x的一阶线性非齐次
    • 全微分方程
      • 法一：原函数法
      • 法二：第二类曲线积分
  • 二阶常系数线性微分方程 y"+py'+ q1y=f(x)
    • 解的性质与结构
      • 齐次方程的通解
        • ｙ齐通＝c1y1+c2y2，y1,y2线性无关
      • 非齐次方程的通解
        • y非齐通=c1y1+c2y2+y*
      • 叠加原理
    • 已知微分方程的解反求微分方程的解
      • 第一步：齐次方程的解→特征根→特征方程→齐次方程
      • 第二步：将y*代入方程→f(x)→非齐次方程
    • 解二阶常系数线性微分方程
      • 齐次
      • 非齐次
        • 先求齐次方程的通解
        • 再求非齐次方程的特解
        • 齐通+特解=非齐次通解
  • 高阶常系数线性微分方程
  • 可降阶的微分方程
    • y"=f(x,y') 缺y
    • y"=f(y,y') 缺x
  • 欧拉方程
  • 变量代换求解二阶变系数线性微分方程
  • 微分方程的综合题
    • 综合导数的几何意义
    • 综合定积分的几何意义
    • 综合变限积分
    • 综合重积分
• 第五章.二重积分
  • 二重积分概念
  • 交换积分次序
    • 直角坐标 x↔y
    • 直角坐标与极坐标（x,y）↔(r,θ)
    • 极坐标 r↔θ
  • 二重积分的计算
    • 分段函数
      • 利用区域可加拆开
    • 对称区域
      • D关于x轴或y轴对称
        • 奇偶性
      • D关于y=x对称
        • 轮换对称性
    • 积分区域为圆域或被积函数含有f(x^2+y^2)或f(y/x)
    • Tip：含有x^2+y^2的一般用极坐标
  • 证明含有二重积分的等式或不等式
    • 讲义P59考前看一下
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