第六章统计学基础

统计学基础 第六章 统计指数的编制及运用 [项目概述] 统计指数是一种经济指数,在日常生活中, 我们经常听到或看到各种名词,例如,CPI 指数、深圳综合指数、上证180指数等,它 们都是统计指数的一种。..

推断统计

• 概述（看看就好）
  • 概率（1选择）
    • 含义
      • 概率是表明随机事件出现可能性大小的客观指标
    • 分类
      • 后验概率
        • 含义
          • 对随机事件进行n次观察，事件A出现次数m与观测次数n的比值
        • 特点
          • 当n趋近无穷，比值将稳定在常数P上，这一常数称作概率
          • P(A)=m/n
      • 先验概率
        • 含义
          • 随机事件包含的可能结果数(m) 除以可能结果总数(n)
        • 特点
          • 是理论推算的概率
          • P (A) =m/n
      • 当进行多次观测时，后验概率基本接近先验概率
    • 性质
      • 公理系统
        • 任一随机事件A的概率均为非负
        • 一定条件下必然事件的概率为1
        • 一定条件下不可能事件的概率为0
        • 逆定理不成立
      • 加法公理
        • P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A或B)
      • 乘法公理
        • P(AB)=P(A)*P(B)=P(A且B)
    • 随机取样的要求
      • 在总体中的每个个体都有相等的机会被选择
      • 返还取样
        • 如果选择不止一个个体,选择这个个体的概率与选择另一个个体的概率必须相同
  • 概率分布
    • 含义
      • 对随机变量取值的概率分布情况用函数进行描述
    • 分为
      • 按变量的连续性划分
        • 离散分布
        • 连续分布
      • 按函数的来源划分
        • 经验分布
        • 理论分布
      • 按描述数据的特征分为
        • 基本随机变量分布（原始数据的分布）
        • 抽样分布（样本统计量的分布）
          • 例如
            • 样本均值分布
              • 在总体中抽取无数个样本，求其平均值所形成的平均数分布
            • 样本方差分布
              • 在总体中抽取无数个样本，求其方差所形成的方差分布
• 常见分布
  • 正态分布（8选择，1简答）
    • 含义
      • 连续随机变量概率分布的一种,是实际应用最广泛的一种理论分布
    • 记作
      • 即N（总体平均数，总体方差）
    • 又称
      • 常态分布
      • 高斯分布
    • 特点
      • 1. 呈对称分布（对称不一定是正态）
      • 2. 在正态分布中,均值、中数、众数相等
      • 3. 正态曲线的形状
        • 像一口钟，两头小，中间大
        • 大部分的原始分数都集中分布在均值附近，极端值相对而言比较少
        • 中央点最高，曲线先向内弯后向外弯,拐点在±1个标准差处
        • 两端向靠近横轴处不断延伸，但始终不会与横轴相交
      • 4. 其形态
        • 会随随机变量的均值和标准差的变化而变化，是一族分布
        • 所有正态分布都可以经由Z分数转换成标准正态分布，其形态固定
      • 5. 正态曲线下面积为1分布下包含了所有数据
      • 6. 正态分布下各差异量数之间有固定比率
    • 图示
      • 曲线下方所占比例（记住）
    • 应用
      • 正态分布表的应用
        • 已知概率(P)可查Z分数
        • 已知Z分数可查概率(P)
        • 已知概率(P)或Z分数可查密度值(y)
      • 正态分布在研究中的应用
        • 化等级评定为测量数据
        • 确定测验题目的难易度
        • 按能力分组，确定人数
        • 测验分数的正态化
    • 牢记
      • Z=1.645，该点以下包含数据全体的95%
      • Z=2.33，该点以下包含数据全体的99%
      • Z=土1.96，两点之间包含数据全体的95%
      • Z=土2.58，两点之间包含数据全体的99%
  • 二项分布（1选择）
    • 含义
      • 试验仅有两种不同性质结果的概率分布
      • 也可以说是两个对立事件的概率分布
    • 又称
      • 贝努里试验
    • 须满足
      • 任何一次试验恰有两个结果
      • 共有n次试验,n是任一正整数
      • 各次试验各自独立
      • 某结果的概率在任一次试验中都是固定的
    • 特点
      • 二项分布是离散型分布
        • n为独立试验的次数，p为成功事件的概率，q=1-p
        • ①p=q时图形对称。
        • ②p≠q时呈偏态,若n很大,则二项分布接近于正态分布。
      • 若二项分布
        • 满足np且nq≥5
        • 则二项分布接近正态分布
          • • 记住，会用
          • n
            • 独立试验的次数
          • p
            • 成功事件的概率
          • q
            • 失败事件的概率
    • 应用
      • 问
        • 选择题/判断题，答对几道题认为不是出于猜测？
      • 答
        • 先算平均数和标准差，再算平均数+标准差×Z分数求得答对题数。
• 样本分布
  • 正态分布及渐近线正态分布（5选择）
    • 样本均值的分布
      • 总体为正态,方差已知,为正态分布
      • 总体非正态,方差已知，样本足够大(n>30），为正态分布
      • 这两种情况
        • 均值为
        • 标准误为
        • 记住，会用
      • • 平均数的平均数
      • • 平均数的标准差
        • 又称
          • 标准误
        • 估计了随机性所造成的样本与总体平均数之间的标准差量
    • 样本方差及标准差的分布
      • 样本足够大（n>30），为正态分布
      • 这时
        • 均值为
        • 标准误为
        • 记住，会用
      • • 标准差的均值
      • • 方差的均值
      • • 标准差的标准差
  • t分布（2选择）
    • 样本均值的分布
      • 总体为正态,方差未知，分布为t分布
      • 总体非正态，方差未知,但是样本足够大(n>30 ），近似为t分布
      • 这两种情况
        • 均值为
        • 标准误为
          • • 自由度，为样本数-1
        • 记住，会用
    • 特点
      • 左右对称、峰态较高狭,形状随自由度的变化而变化的一族分布
      • 形状
        • 以均值为0左右对称，左侧t<0，右侧t>0
      • 取值
        • [+∞,-∞]
      • 变化（选择）
        • n→+∞时，t分布为正态分布，方差为1
        • 其中
          • 若df=n-1>30时
            • t分布接近正态分布，方差大于1，随df增大，方差渐趋于1
          • 若df=n-1<30时
            • t分布与正态分布相差较大,随df减小，方差变大。分布中间变低、尾部变高。
  • • 3选择
    • 含义
      • 正态总体中抽取无限个数量为n的随机变量,这些变量的平方和或者标准分数的平方和的分布
    • 形状
      • 呈正偏态的一族分布
      • 属于连续型分布(有些离散型分布也近似卡方分布）
    • 取值
      • 均为正值
    • 变化
      • n或n-1越小，分布越偏斜
      • df→+∞时，为正态分布
    • 其他
      • 卡方分布的和也是卡方分布，即卡方分布具有可加性
      • df>2时
        • • 记住
        • 平均数=自由度，方差=2×自由度
      • 一般情况下,df值均大于2
  • F分布（1选择）
    • 从两个正态分布总体中随机抽取容量为n1,n2两个样本,计算卡方值,每个随机变量除以对应的自由度d1f与df2之比,称为F比率,这无限多个F值的分布即为F分布
    • 公式
      • • 记住，会用
      • 若两样本取自同一总体，此时可将上式化简为(方差齐性检验)
      • • 记住，会用
    • 特点
      • 形状
        • 正偏态的一族分布
      • 取值
        • F值总为正值（方差之比）
      • 变化
        • F分布随着分子分母的自由度的增加而渐趋于正态分布
      • 其他
        • 分子自由度为1时,分母自由度为任意值
        • 都有
          • • 记住
          • F值与t值分母自由度相等
  • 样本平均数分布定理
    • 中心极限定理
      • 样本容量n大于30或趋于无穷大时，样本平均数的分布趋近于正态分布
    • 大数定律
      • 样本容量n越大,样本平均数与总体平均数
        • 接近的可能性越大
        • 标准误越小
• 抽样原理及方法（6选择）
  • 抽样原理
    • 随机性原则
      • 每个个体被选取的概率相等
      • 进行返回取样,以保证每个个体每次被抽取的概率不变
    • 最大允许抽样误差d
      • 样本均值与总体均值之间的差异若超过最大允许抽样误差（d）,则说明已经不是来自总体的一个样本了
      • 公式
        • • 记住，会用
  • 抽样方法
    • 简单随机取样法
      • 包括
        • 抽签法、数字法
      • 适合
        • 总体数目较小、个体差异较小时用
      • 评价
        • 优
          • 最能体现随机化原则，但大规模费时费力
        • 缺
          • 大规模费时费力
    • 等距取样法
      • 又称
        • 系统抽样，机械抽样
      • 适合
        • 总体数目庞大时用
      • 评价
        • 优
          • 抽样方法简单,样本代表性较强
        • 缺
          • 总体具有某一种周期性变化时可能忽略已有信息
    • 分层随机取样法
      • 要求
        • 层内尽量同质，层间尽量异质,个体差异较大时用
      • 包括
        • 按各层人数比例分配
          • 人数多的层多分配，人数少的层少分配
        • 最佳分配
          • 标准差大的层多分配，标准差小的人少分配
    • 多段随机取样法
      • 如两阶段随机取样,总体容量很大时用
  • 样本容量
    • 样本容量与总体没有固定的数量关系
    • 一般来说,样本容量越大，产生的误差越小;
    • 若总体差异很大，则需要增大样本容量以减少抽样误差
    • 在已知置信区间和置信水平的前提下，可以计算或找到对应的样本量大小