勾股定理的16种证明方法（1）

勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，您知道定理却不知如何计算，本篇导图来拯救您

勾股定理的16种证明方法

• • 证法一（邹元治证明）：
    • • 以a、b为直角边，以c 为斜边做四个全等的三角形，按 下图所示相拼，使 A、E、B三点共线，B、F 、C 三点共线，C、G、D三点共线。
      • ∵Rt△HAE≌Rt△EBF
      • ∴∠AHE=∠BEF
      • ∵∠AHE+∠AEH=90°
      • ∴∠BEF+∠AEH=90°
      • ∵A、E、B共线
      • ∴∠HEF=90°，四边形EFGH为正方形
      • 由于上图中的四个直角三角形全 等，易得四边形ABCD为正方形
      • ∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积
      • ∴(a+b)²=4•（1/2）•ab+c²，整理得a²+b²=c²
• • 证法二（课本的证明）：
    • 如上图所示两个边长为a+ b的正方形面积相等，
    • 所以a²+b²+4•（1/2）•ab=c²+4•（1/ 2）•ab，故a²+b²=c²。
• • 证法三（赵爽弦图证明）：
    • 以a、b为直 角边，以c为斜边做 四个全等的三角形，按下图所示相拼。
    • 易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形
    • BCD和四边形EFGH都是正方形
    • ∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积
    • ∴c²=4·（1/2）·ab+（b-a）²，整理得a²+b²=c²
• • 证法四（总统证明）：
    • 如下图所示。
    • 易得△CDE为等腰直角三角形
    • ∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积
    • ∴1/2·（a+b）•（a+b） =2•（1/2）•ab+（1/2）•c²， 整理得a²+b²=c²
• • 证法五（梅文鼎证明）：
    • 以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图 所示相拼，使DEF在同一 直线上，过C点作CI垂直于DF,交DF于I点。
    • 易得四边形ABEG、四边形C BDI、四边形FG HI都为正方形。
    • ∴多边形EGHCB 的面积=正方形ABEG的面积-两个直角三角形的面积
    • 且多边形EGHCB的面积=正方形CBDI的面积+正方形 FGHI的面积- 两个直角三角形的面积
    • ∴正方形ABEG的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积
    • ∴c²=a²+b²
• • 证法六（项明达证明）：
  • 以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形，做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼，使E、A、C在同一条直线上。
  • 过Q点作QP⊥AC，交AC于P点
  • 分别过F、B作QP的垂线段，交点分别为M、N
  • 易得四边形ABQF为正方形
  • 利用全等三角形的判定定理角角边（AAS）可得
  • △AEF≌△QMF≌△BNQ，此时问题转化为梅文鼎证明。
• • 证法七（欧几里得证明）：
    • 在直角边为a、b，斜边为c的直角三角形中，分别以a、b、c为边作正方形，如下图所示。连接FB和CD，过C点作CN⊥DE交DE于E点，交AB于M点。
    • ∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD，∴△FAB≌△CAD（SAS）
    • 而△FAB的面积=△CAD的面积=（½）•ac sin（90°+∠CAB）=（½）a²
    • ∵△CAD与矩形AMND等底等高
    • ∴矩形AMND的面积为△CAD面积的两倍，即a²
    • 同理可得矩形BMNE的面积为b²
    • ∵正方形ADEB的面积=矩形AMND的面积+矩形BMNE的面积
    • ∴c²=a²+b²
• • 证法八（相似三角形性质证明）：
    • 如下图所示，在直角三角形ABC中，AC=b，BC=a，AB=c,∠ACB=90°，过C点作CD垂直于AB，交AB于D点。
    • ∵∠BDC=∠BCA=90°，∠B=∠B
    • ∴△BDC∽△BCA
    • ∴BD∶BC=BC∶BA
    • ∴BC²=BD•BA
    • 同理可得AC²=AD•AB
    • ∴BC²+AC²=BD•BA+AD•AB=(BD+AD)•AB=AB²,即a²+b²=c²
• • 证法九（杨作玫证明）：
    • 做两个全等的直角三角形，设它们的两直角边分别为a、b（b>a）斜边长为c，再做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼。过A点作AG⊥AC，交DF于G点，AG交DE于H点。过B作BI⊥AG，垂足为I点。过E点作EJ与CB的延长线垂直，垂足为J点，EJ交AG于K点,交DB于L点。
    • ∵∠BAE=90°∠GAC=90°∴∠EAK=∠BAC
    • ∵GA⊥AC,BC⊥AC
    • ∴GA∥BC
    • ∵EJ⊥BC
    • ∴EJ⊥GA
    • ∴∠EKA=∠C=90°而AE=AB=c
    • ∴△EAK≌△BAC（AAS）
    • ∴EK=a，KA=b
    • 由作法易得四边形BCAI为矩形
    • ∴AI=a,KI=b-a
    • ∵△BAC≌△EDF
    • ∴△EAK≌△EDF
    • ∴∠FED=∠KEA
    • ∴∠FEK=90°
    • ∴四边形EFGK为正方形，同时四边形DGIB为直角梯形
    • 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
    • c²=S1+S2+S3+S4+S5 ①
    • ∵S8+S3+S4=½[b+(b-a)]•[a+(b-a)]
    • =b²-½ab ，S5=S8+S9
    • ∴S3+S4=b²-½ab-S8=b²-S1-S8②
    • 把②代入①得
    • c²=S1+S2+b²-S1-S8+S8+S9
    • =b²+S2+S9
    • =b²+a²
• • 证法十（李锐证明）：
    • 设直角三角形两直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c。做三个边长分别为a、b、c的正方形，按下图相拼，使AEG三点共线，过Q点作GM⊥AG,交点为M,用数字表示面积的编号。
    • ∵∠TBE=∠ABH=90°
    • ∴∠TBH=∠EBA
    • ∵∠T=∠BEA=90°，BT=BE=b
    • ∴△HBT≌△ABE（ASA）
    • ∴HT=AE=a，GH=GT-HT=b-a
    • ∵∠GHF+∠BHT=90°，∠TBH+∠BHT=90°
    • ∴∠GHF=∠TBH=∠DBC
    • ∵BD=BE-ED=b-a，
    • ∠G=∠BDC=90°
    • ∴△GHF≌△DBC（ASA），S7=S2
    • 由∠BAQ=∠BEA=90°,可知∠ABE=∠QAM
    • ∵AB=AQ=c
    • ∴△ABE≌△QAM（AAS）
    • ∴△QAM≌△HBT，S5=S8
    • 同时有AR=AE=QM=a，且∠QFM与∠ACR分别为∠GHF与∠DBC的余角
    • ∴∠QFM=∠ACR
    • ∵∠R=∠FMQ=90°
    • ∴△FMQ≌△CRA（AAS），S4=S6
    • ∵c²=S1+S2+S3+S4+S5,
    • a²=S1+S6,b²=S3+S7+S8
    • S7=S2,S8=S5,S4=S6
    • ∴a²+b²=S1+S6+S3+S7+S8=S1+S4+S3+S2+S5=c²