勾股定理的16种证明方法（2）

勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，您知道这些定理却不知如何计算，本篇导图来拯救您

勾股定理的16种证明方法

• • 证法十一（利用切割线定理证明）：
    • 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=b，AB=c，BC=a，以B为圆心，a为半径画圆，AB交圆与D点，AB的延长线交圆于E点。
    • 根据切割线定理（从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项）可得：AC²=AD•AE
    • ∴b²=(c-a)(c+a)=c²-a²
    • ∴a²+b²=c²
• • 证法十二（利用多列米定理证明）：
    • 在直角三角形ABC中，设BC=a，AC=b，斜边AB=c，过A点作AD∥CB,过B点作BD∥CA,则四边形ACBD为矩形，矩形ACBD内接于唯一的一个圆。
    • 根据多米列定理（圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和）可得：
    • AB•DC=DB•AC+AD•CB
    • ∵AB=DC=c,DB=AC=b，AD=CB=a
    • ∴c²=b²+a²
• • 证法十三（作直角三角形的内切圆证明）：
    • 在Rt△ABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。作Rt△ABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F，如下图所示，设圆O的半径为r。
    • ∵AB=AF＋BF,CB=BD＋CD,AC=AE＋CE
    • ∴AC+CB-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)=CE+CD=2r,即a+b-c=2r
    • ∴a+b=2r+c
    • (a+b)²=(2r+c)²
    • a²+b²+2ab=4(r²+rc)+c²
    • ∵S△ABC=½ab
    • ∴4S△ABC=2ab
    • ∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=½cr+½ar+½br=½(a+b+c)r=½(2r+c+c)r=r²+rc
    • ∴4(r²+rc)=2ab
    • ∴a²+b²+2ab=2ab+c²
    • ∴a²+b²=c²
• • 证法十四（利用反证法证明）：
    • 在Rt△ABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。过C点作CD⊥AB，垂足为D点，如下图所示。
    • 假设a²+b²≠c²，即AC²+BC²≠AB²
    • 则由AB²=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD知
    • AC²≠AB·AD或BC²≠AB·BD
    • 即AD∶AC≠AC∶AB或BD∶BC≠BC∶AB
    • 在△ADC和△ACB中
    • ∵∠A=∠A
    • ∴若AD∶AC≠AC∶AB，则∠ADC≠∠ACB
    • 在△CBD和△ACB中
    • ∵∠B=∠B
    • ∴若BD∶BC≠BC∶AB，则∠CDB≠∠ACB
    • ∵∠ACB=90°
    • ∴∠ADC≠90°，∠CDB≠90°
    • 这与CD⊥AB矛盾，所以假设不成立
    • ∴a²+b²=c²
• • 证法十五（辛卜松证明）：
    • 直角三角形以a、b为直角边，以c为斜边。作边长为a+b的正方形。
    • 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为
    • (a+b)²=a²+b²+2ab
    • 把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为
    • (a+b)²=4x½ab+c²=2ab+c²
    • ∴a²+b²+2ab=2ab+c²
    • ∴a²+b²=c²
• • 证法十六（陈杰证明）：
    • 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c。做两个边长分别为a、b的正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号，如下图所示。
    • 在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c
    • ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a
    • ∴ DM = EM―ED = (b+a)―a = b
    • 又∵ ∠CMD = 90°，CM = a， ∠AED = 90°， AE = b
    • ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC(SAS)
    • ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c
    • ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180°， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90°
    • ∴ ∠ADC = 90°
    • ∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则四边形ABCD是一个边长为c的正方形
    • ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90°
    • ∴ ∠BAF=∠DAE。连结FB，在ΔABF和ΔADE中
    • ∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE
    • ∴ ΔABF ≌ ΔADE(SAS)
    • ∴ ∠AFB = ∠AED = 90°，BF = DE = a
    • ∴ 点B、F、G、H在一条直线上
    • 在RtΔABF和RtΔBCG中，
    • ∵ AB = BC = c，BF = CG = a，
    • ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG (HL)
    • ∵c²=S₂+S₃+S₄+S₅， b²=S₁+S₂+S₆， a²=S₃+S₇，S₁=S₅=S₄=S₆+S₇，
    • ∴a²+b²=S₃+S₇+S₁+S₂+S₆=S₂+S₃+S₁+(S₆+S₇)=S₂+S₃+S₄+S₅ =c²
    • ∴ a²+b²=c²