定积分及其应用

这是一篇关于定积分及其应用的思维导图

高数

• 第六章.定积分及其应用
  • 定积分的概念和性质
    • 可积条件
      • 函数f(x)在[a,b]上连续→f(x)在[a,b]上可积（可积函数必有界）
      • 函数f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点→f(x)在[a,b]上可积
      • 函数f(x)在[a,b]上可积→f(x)在[a,b]上有界
    • 几何意义
      • 曲边梯形的有向面积
    • 基本性质
      • 性质一
        • 和差的积分，等于积分的和差
      • 性质二
        • 被积函数的常熟因子可以提到分号外
      • 性质三
        • 区间可加性
          • 对 a<c<b，有
          • 实际上，当积分存在时，可加性对任意 a,b,c 都是成立的
      • 性质四
        • 如果在 [a, b] 上 f(x)≡1，有
        • 推广到被积函数为常函数的情形
      • 性质五
        • 保序性
          • 若 f(x) 在 [a, b] 上可积，且 f(x) ≥ 0
        • 推论1
          • 若存在 f(x) ≤ g(x)，结合 g(x) - f(x) ≥ 0，则有
        • 推论2
          • 函数积分的绝对值会小于等于函数绝对值的积分，有
      • 性质六
        • 定积分估值公式
          • 设 m 和 M 分别是 f(x) 在 [a, b] 上的最小值和最大值
      • 性质七
        • 定积分中值定理
          • 如果函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，则在区间 [a, b] 上至少存在一点 ξ
  • 微积分基本公式
    • 牛顿-莱布尼茨公式
  • 定积分的换元积分与分部积分法
    • 换元积分法
      • 第一换元法（凑微分法）
      • 第二换元法
  • 定积分应用
    • 定积分的元素法
    • 平面图形的面积
      • 例题
    • 立体体积
      • 绕X轴旋转
      • 绕Y轴旋转
    • 平面曲线的弧长
      • 直角坐标情形
      • 参数方程情形
    • 定积分在经济与物理学中的应用
  • 反常积分
    • 反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）
    • 无限区间上的反常积分
    • 无界函数的反常积分
• 制作人：罗琼瑶