导图社区 第一章 行列式
行列式思维导图,包括行列式的定义、性质、计算三部分内容,适用于考前复习,也可以综合其他资料使用。
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行列式
二阶、三阶行列式
二阶行列式
aij
i→行标
j→列标
对角线
主对角线
从左往右划
次对角线
从右往左
行列式的值
主对角线相乘减去次对角线相乘
例题
三阶行列式
计算方式
主减次
三元一次方程式的解
排列、逆序与对换
排列与逆序数
排列定义
排列的数字必须是连着的
例如:4532是排列、2476不是排列
1234……这个叫自然序列
逆序数(tao)
一个n级排列中逆序的总数称为逆序数
逆序:1324中,3和2为一个逆序数
奇排列
逆序数为奇数
偶排列
逆序数为偶数
例如:6372451/(0103226),则逆序数为14
每个数前面比它大的有几个
对换
排列中某两个数对调
两个数对换为对换一次
任意一个排列经过一次对换后,其奇偶性改变
对换后逆序数增加1个或2m+1个
任一n级排列都可以通过对换与n级自然序列互变
从排列到自然排列的变化次数的奇偶性,就是排列的的奇偶性
一定是要变到自然排列,其他的都不行
n(n>1)个数共有n!个n级排序,其中奇偶排列各占一半
n阶行列式的定义
取自不同行不同列才算行列式中的项
共有n!个项
符号的确定
将行标自行排列
不排列行标
直接将行标的逆序和列标的逆序加起来作为(-1)的幂
特殊行列式
上三角行列式
非零元素集中在主对角线上
所得值为主对角线上各元素的乘积
下三角行列式
非零元素集中在主对角线下
对角行列式
除主对角线上侧的元素,其他元素全为零
如果行列式有一行(列)的元素全为0,则该行列式等于0
行列式的性质
转置行列式
行列调换
性质一
行列式与它的转置行列式的值是相同的
此性质说明行列式中行和列的具有相同的地位
性质二
交换行列式中任意两行(列),行列式的符号改变
推论:行列式中有两行(列)相同,则行列式的值为零
将相同的两项对换,则D=-D,2D=0,所以D=0
性质三
行列式中某一行(列)的所有元素同乘以k,等于以k乘以该行列式
推论:行列式中的某一行公因数可以提出来
性质四
行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则该行列式的值为零
将公因数提出,则为性质二的推论
D=-KD
性质五
性质六
利用以上性质,将行列式化作上三角或下三角行列式
做题方法
①若行列式上侧有0,或0多,则凑上三角行列式
②每行第一个非零元素最好是1(调换列或行),要凑的方向上数越小越好
记得换行和列时,符号改变
r=行:c=列
行列式按行(列)展开
定义一
余子式
代数余子式
如果行列式中某一行或列中只有一个不为零的元素,则行列式的值等于此元素乘以此元素的代数余子式
按行(列)展开定理
定理二
行列式计算方法
子主题
克莱姆法则
齐次方程组:常数项为零
常数项为bn
非齐次方程组:常数项不为零
只适用于方程个数与未知量个数相等
定理2 行列式的值不为零时,方程组有唯一零解或只有零解;为零时,方程组有非零解。
D=0 有非零解;D≠0有唯一零解