导图社区 线性代数
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线性代数
矩阵（表格）
概念
m×n个数排成的m行n列的表格
运算
数乘
乘法
转置
逆、转置、伴随这些运算可互换位置
矩阵运算
初等变换（m×n阶）
变法
(1) 用非零常数k乘某一行（列）
(2) 互换矩阵某两行（列）的位置
(3) 把某一行（列）的k倍加至另一行（列）
矩阵行变换，逆矩阵也是行变换 矩阵列变换，逆矩阵也是列变换
初等矩阵
定义
单位矩阵经过一次初等变换得到初等矩阵
实质
初等矩阵P左乘A所得P就是对A作了一次与P同样的行变换
初等矩阵P右乘A所得P就是对A作了一次与P同样的列变换
等价
逆矩阵、非奇异矩阵（n阶）
求法
用定义
反向构造AB＋kE＝0
(A|E)→行→(PA|PE)
证法
特征值
反证法
性质
一个矩阵的逆矩阵是唯一的
AB＝E，则BA＝E，A，B互为逆
公式
秩
矩阵中非零子式的最高阶数称为矩阵的秩记r(A) 注：（只需要在同阶子式中有一个非零即可，不需要全部）
计算
初等变换法
定义法
定理
经初等变换，矩阵的秩不变。
存在r阶子式行列式不等于0，且所有r＋1阶子式全为0，则矩阵的秩为r。
特殊矩阵（n×n）
伴随矩阵
对称矩阵
反对称矩阵
正交矩阵
几何意义
每一个列向量都是单位向量，且两两向量相互垂直（直角坐标系）
对角矩阵
阶梯矩阵
①如有零行，则零行在矩阵的底部 ②每个非零行的主元所在列的下面的元素都是0
行最简矩阵
①在阶梯矩阵的前提下，主元都是1 ②主元所在列的所有其他元素都是0
分块矩阵
正方运算
行列分块
（1）、
（2）、
（3）、
经典题型
特殊矩阵的n次方
r(A)=1
四阶矩阵的三次方也是斜对角线相乘
相似
找规律
试算A²或A³，找规律
A²＝kA A²＝kE
A＝kE＋B
矩阵化简 (正向带入或反推)
矩阵运算性质
可逆矩阵
E的替换
直接凑，不够的添E
A*A＝AA*＝|A|E的运用
矩阵
证明
逆矩阵
如矩阵A可逆，那么逆矩阵唯一
逆矩阵定义推论
初等矩阵的逆矩阵
秩的本质
空间变换后的维数。列张成的空间数
矩阵乘法和空间变换
n维向量
加法、数乘、内积
Schmidt正交化
线性表出（示）
判定
等价（≠矩阵等价）
r(Ⅰ)＝r(Ⅱ)＝r(Ⅰ,Ⅱ)
Ⅰ可以由Ⅱ线性表出且r(Ⅰ)＝r(Ⅱ)
极大无关组的包含关系
线性相关
n+1个n维向量
多数向量能用少数向量表示，则多数向量必相关
逆否命题推论
线性无关
恒等变换
阶梯向量组
极大线性无关组
从向量组中挑出最小的部分组
1. 挑出的部分组线性无关
2. 向量组中的任意一个向量可以用部分组线性表出
部分组是一个极大线性无关组
向量组的秩
矩阵的秩r(A)＝A的列秩＝A的行秩
矩阵中非零子式的最高阶数称为矩阵的秩记r(A) 注：（只需要有同阶子式中有一个非零即可，不需要全部）
整体/部分：向量个数的变化
延伸/缩短：向量维度的变化
推论
向量内积
正交
单位向量
证明题
证明α₁ α₂ ...无关
I. 定义法
1|
恒等变形
乘
尽可能多的乘出多个0，剩下一个k×α＝0
乘后和设合并消去多余的项(不同特征值的特征向量线性无关)
重组
2|
II. 秩
方向
III. 反证法
一般用于证明线性无关
①假设线性相关 ②根据假设写出线性相关表达式 ③将已知条件与假设成立的线性表达式联立 ④找到矛盾，证明线性无关
证明β能由α₁ α₂ ...线性表出
I.
II. 找出两个条件
III.
IV. 反证法
一般用于证明不能线性表出
①假设能线性表出 ②根据假设写出线性表出表达式 ③把线性表出表达式带入到已知条件中 ④找出矛盾，得到不能线性表出结论
V. 秩
线性相关的本质
一组向量中至少有一个是多余的，没有对空间作出贡献
有多个向量，并且可以移除其中一个而不减小张成空间
线性方程组
矩阵形式
有解
唯一解
∞解
线性无关解的个数：最多（n-r(A)+1）个
无解
增广矩阵快速判别法：某一行，系数全为零，而增广项不为0
阶梯形
有解判定
解的结构
有非零解
基础解系
线性无关解的个数：n-r(A)
注：解的个数与向量的维度并无直接关系，一般与向量的个数有关。 但向量的个数大于向量的维度时，会影响向量组的秩。
有只零解
向量形式
解的性质
除法
A(α₁＋α₂)＝2b
减法
A(2α₁-α₂)＝2Aα₁-Aα₂＝b
特解(Ax=b的解)、 通解(Ax=0的解)
自由变量(求所有x)
每次给一个自由变量赋值为1，其余自由变量赋值为0（共需赋值n-r(A)次）
特解
给每个自由变量都赋值为0
PUA(求单个x)
令每个自由变量为不同未知数
公共解、同解
公共解
解α即是方程组(I)的解，α也是方程组(II)的解
题型
两个方程组的公共解
两个基础解系的公共解
齐次方程组解(Ⅰ)＝齐次方程组解(Ⅱ)
①求解x,y ②取x或y作为公共解
同解
解α是(I)的解，则α必是(II)的解；反过来，α是(II)的解，则α必是(I)的解
两个方向都要验证
Ax=0的解是Bx=0的解→r(A)≥r(B)
ABx＝0和Bx＝0解的关系
Bx＝0的解必是ABx＝0的解→r(B)≥r(AB)
解方程组
已知方程组
同解变换(行变换)，讨论参数 某一行提出参数时要讨论是否为0
抽象方程组
秩、解的结构、推理分析
方程组应用
设出未知矩阵，通过给定条件，求解未知矩阵
解方程组的本质
Ax=b解有无穷多个，但线性无关的解最多有（n-r(A)+1）个
特征值和特征方程（n阶）
λ是矩阵A的特征值，α是矩阵A对应于特征值r的特征向量 注：λ大小不会改变；α方向不会改变，大小可以改变
特征值和特征向量与相似的关系
特征多项式不是值，而是这个多项式的根
化简：找两个＋-运算得0的行/列
特征向量
在保证秩符合特征多项式无关解个数的情况下， 让多余行直接置0
注：特征向量表示的是方向，缩放特征向量不会对特征值产生影响 ∴在二次型中对向量进行单位化对角矩阵不变
特征值特例（记）
常见公式（记）
连接矩阵与特征值
f(A)＝0➱f(λ)＝0
可确定λ的可取集合，但不能确定λ重数
当λ=0
同一特征值的特征向量之间相互加加减减不为零时，也还是这个特征值的特征向量
不同特征值的特征的向量线性无关
k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
言外之意：k重特征值可以没有k个线性无关的特征向量 逆否命题：有K个无关的特征向量至少是K重特征值
N阶矩阵一定有N个特征值
相似~（必等价）
性质（必要条件）
同一个特征值的无关特征向量个数相同
证明（不）相似
可相似对角化
不可相似对角化
不相似
1. 四个性质（必要条件）
2.
3. 同一特征值的无关特征向量个数不相同则不相似
可对角化
第一步：A是实对称矩阵
第二步：A有n个不同的特征值
第三步：A有n个线性无关的特征向量
第四步：
第五步：
运算性质
已知一个的特征向量求另一个的特征向量
实对称矩阵隐含的信息（元素都是实数）
必与对角矩阵相似
不同特征值的特征向量必相互正交
可用正交矩阵对角化
K重特征值必有K个线性无关的特征向量
特征值必是实数
特征值和特征方程
特征值和特征向量的几何涵义
矩阵(A)表示
二次型的秩
r(f)=r(A)=p+q
规范型
系数只有0，1，-1
标准形
惯性定理
正(P)、负(Q)惯性指数
合同
Pa=Pb，Qa=Qb
合同必等价但不一定相似（除非是正交变换），与相似无关
r(A)＝r(B)
化标准型
配方法
一次一个字母
注：①只要保证变换是一个可逆的线性变换即可 ②凑的时候，一般是把a₁,b₂,c₃先提出括号再凑括号里面
正交变换法
结合实对称矩阵做题
特征向量组就是C
坐标变换(x=Cy)
二次型经坐标变换，其正负惯性指数是唯一确定的
任何一个二次型都可以配方法或正交变换化二次型为标准型
坐标变换行列式|C|不得零
正定
充要条件
特征值全大于0
正惯性指数p=n
顺序主子式全大于0
从左上角取n阶矩阵
证明A正定步骤
(1) 检验是A对称
(2) 证明正定
必要条件
结论
首选配方法，可以通过一次配方得到 但正交变换可能需要两次代换
遇到x相乘关系，可考虑直接令y=x
二次型
合同实质
同一个对象，在不同坐标系中的表现
行列式（数）
不同行标不同列标元素乘积的代数之和
排列
n个数所构成的一个有序数组，表示n阶排列
逆序
一个大的数排在小的数前面，称为逆序
逆序数
一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序逆序数
奇偶排列
奇排列（-1）
逆序数为奇数
偶排列（+1）
逆序数为偶数
余子式
划去a_ij所在的第i行、第j列，剩下的元素构成的n-1阶行列式称为a_ij的余子式，记M_ij
代数余子式
称(-1)^(i+j)*M_ij为a_ij的代数余子式，记为A_ij
经转置行列式的值不变，即
某行(列)所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和
某行(列)有公因数k，可把k提到行列式外。特别地，某行元素全为0，则行列式的值为0
行(列)互换行列式变号。特别地，两行相等，行列式值为0;两行成比例，行列式值为0
某行(列)的k倍加至另一行，行列式的值不变
矩阵的初等变换
展开式
任意一行(列)元素与另外一行(列)元素代数余子式乘积之和为0 (不存在行乘列)
A_ij与元素a_ij的大小正负无关
数字型
三角化法
公式法
递推法
常用技巧
直接按行（列）展开
把第i行（列）的k_i倍加到第1行（列）
爪型
每行（列）都加到第1行（列）
逐行（列）相加减
条带型
每一行加到第一行
0多的直接展开
抽象型
用行列式性质
用矩阵性质
E恒等变形 (化＋为×)
左右开弓
构造∶Ax＝0 说明∶存在x不全为0➱
设A可逆，用A-1找矛盾
A. 构造∶AB＝0➱r(A)＋r(B)≤n 说明∶r(B)≠0 ➱
B. r(AB)≤min(r(A),r(B))
0是A的特征值
应用
伴随矩阵求逆法
线性相关（无关）判定可逆的证明
克拉默法则
特征值计算
二次型正定判定
重要公式
上三角
下三角(＞3阶)
拉普拉斯变换
方阵（n阶矩阵）的行列式
范德蒙行列式
二阶三阶对角线法
行列式
行列式的本质
