导图社区 高数
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高数
覆盖考研会考的高等数学和初等数学大部分考点、知识点、公式证明及其知识点联系，包括函数极限连续、连接导数值与函数值、函数的微分学、连接积分与导数等内容。
编辑于2023-01-14 14:53:37 云南- 数学二
- 解题思路
- 相似推荐
- 大纲
高数
第1章 函数 极限 连续
第1节 函数
题型一 复合函数
定义域是指X的取值范围
题型二 函数性态
奇偶性
特殊奇函数
奇函数
求导
偶函数
积分
原函数都是偶函数
偶函数
求导
奇函数
积分
仅有一个奇函数
有界性
定义
判定
（1）f(x)在(a,b)上连续，且f(a+)和f(b-)存在⇨f(x)在(a,b)上有界 （2）f′(x)在区间I(有限)上有界⇨f(x)在I上有界
周期性（x不变号）
变限积分周期性
单调性
复合函数
同增异减
对称性
函数VS数列
函数
收敛性
函数子序列 (本质是数列)
函数和数列单调、 有界、收敛的关系
f(x)和f(xn),xn关系
数列和函数极限的关系
函数极限
函数极限的理解：函数求极限时，无限趋近于0的无穷小量φ(x)，要满足lim φ(x)→0且φ(x)≠0
多元函数依然满足
极限存在的充要条件：它的任何子序列的极限都存在且相等
函数子序列收敛性
关系
数列极限
数列的理解：数列只是取到了点，但并不能覆盖函数区间
性质
数列
收敛性
=极限存在
数列子序列 （子数列）
Xn去除一部分元素但不破坏相对位置形成的新的数列
第2节极限
题型一 极限的概念性质及存在准则
保号性(前提极限存在)
极限定义
无穷小
定义
极限与无穷小的关系
无穷大
无界
运算规则
题型二 求极限
函数极限
基本不等式代换
积分代换
未定式
∞极限
抓大放小
常数的＋-一般可直接忽略
证明方法：通分上下同除式子里最大的
转∞为0
把所有变量构造成1/x，把1/x看着无穷小等价代换
洛必达
等价代换原则
加减
乘除
中值定理
泰勒展开
首选：算出结果不为零即正确
本质
在这个点对函数的模拟，只要展开精度足够就可以替代该函数
展开到分子分母同阶
指对函数123 正弦函数135 正弦对数隔一换 正弦指数有感叹
技巧：偶函数泰勒展开只有偶数项，奇函数展开只有奇数项
未知数ψ(x)在任何位置都可以使用泰勒展开，只要展开精度足够
等价代换 （一阶展开）
满足等价代换原则才能用
拉格朗日中值定理
当出现两个相同形式相减时
积分中值定理
导数定义
数列极限
夹逼定理
步骤
分形式
连乘
夹逼定理放缩(分主/次量级)
取ln
连加
夹逼定理放缩
分别取变化部分的最大和最小代入
单调有界准则
积分定义
夹逼定理和定积分定义
定积分定义
分子或分母同量级用定积分定义
分子比分母大一次
夹逼定理
变化部分是主体次量级，用夹逼定理
(把主体和变化部分分开)
递推关系定义的数列极限
具体函数
单调有界准则
1、有界性 2、单调性 3、设limX_n＝A带入等式两边 4、求出A
有界性(限制区间,方便求单调性)
数学归纳法
①基本不等式 ab、a＋1/a、e^x-1 ②基本放缩
单调性
分形式
预判
判断是用单调有界准则充分性(图中取g(x)＝x) 充分：x₁的取值不会导致x序列单调性改变 不充分：x₁的取值会导致 x序列单调性改变
f(x_n)单调递增，则数列单调
知道前两项：根据前两项判定单调性
不知道前两项：a、能求数列上下有界(直接的极限存在) b、只能知道一边有界(继续求单调性)
抽象函数
知道抽象函数的单调性
不知道抽象函数单调性
先斩后奏
极限已经知道
证明极限
A不一定要带入最终结果，一般用A=f(A)带入 步骤;1、写出|f(x)-f(A)|直接凑φ(x)|x-A| 2、根据x的有界性对φ(x)进行放缩
数学归纳法
证明：单调性、有界性
归结原则
连接函数与数列之间的桥梁
题型三 确定极限式中参数
转化为求极限
题型四 无穷小量阶的比较
第3节 连续
题型一 讨论连续性及间断点的类型
连续性
连续函数的和差积商仍为连续函数
基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续
连续的定义
间断点
一类：可去、跳跃 二类：无穷、震荡
1、找出所有无定义点 2、求这些点的极限
左右极限有区别，就要分左极限和右极限
一般需要考虑左右极限的函数
题型
与极限结合的间断点判定问题
1、把x当做一个实数通过等价代换，去掉极限号得到f(x) 2、讨论f(x)的间断性(1/x、lnx) 注：x的范围要标注明确，可以画图的更不容易错
a为常数时将其看作a个1ⁿ相加
题型二 介质定理、最值定理及零点定理的证明题
闭区间上连续函数的性质
有界性
最值性
介值定理
推论
①找一个具体值介于[m,M]之间 ②存在f(ε)=这个值
使用
多点值相加
零点定理
证明零点只有一个
可导：求导 不可导：根据函数分析单调性
证明题
未给出导数相关信息，移项构造函数F(x)
证明F(x)既有大于0的点，又有小于0的点
两个点结合图像找
给出了导数相关信息
连接导数值与函数值
中值定理 (闭区连续开区可导)
罗尔定理
拉格朗日余项的泰勒公式
闭区间上的拉格朗日
1、f(b)-f(a) 在[a,b]上用 2、f(b)同时f(a)=0 在[a,b]上用
柯西中值定理
费马定理
在可导且取得极值的点导数为0
泰勒公式
带皮亚诺余项 （点n阶可导）
拉格朗日余项 （区间n＋1阶可导）
第2章 一元函数的微分学
第1节 导数与微分
题型一 导数的概念
导数存在
导数定义
可导条件的充分必要证明
导函数连续
判定不可导点
用导数定义判定
可疑点
结论
可导条件翻译
n阶导函数存在：n-1阶导连续，n阶导不一定连续(极限值不等于函数值) 注：不确定某点n阶导是否连续时，求这个点n阶导数值，要用导数定义
点 ➱ 点 区间 ➱ 区间
①
②
③
处处可导，但导数在0点不连续
④
题型二 导数的几何意义
题型三 导数与微分的计算
链导法
内外层均可导，x^(1/2)0点不可导
导数定义
参数方程求导 (带入时注意t和x)
二阶导数公式
极坐标系求导
变限积分求导
被积函数中没有上下限
直接求导
被积函数中有上下限
a. 提出不含积分变量的部分
b. 换元
能直接换元的形式：ax±bt 不能直接换元的，凑成可换元的形式
换元时出现1/x，0点变成无定义点，这一点的函数值要用原来的函数求，导数值要用定义求
求导公式
复合函数f(g(x))求导
公式
1、
内外导数有任何一个不存在都不能用
2、求f(g(x))的表达式
内外导数不存在，复合函数导数可能存在
反函数求导
分段函数求导
在分段点处要用定义讨论导数值(函数连续的点导数值不一定存在)
对数函数求导法
化为对数方便求导的两边取对数
高阶导数
求具体点的
泰勒展开
求表达式
代公式
求y'、y''，归纳n阶导数yⁿ
注
求导公式适用于：1、定义域内2、函数连续3、函数可导
单调性VS一阶导 凹凸性VS二阶导
单调性VS一阶导
单调性
凹凸性VS二阶导
第2节 导数的应用
题型一 函数的单调性及极值
极值充分条件
区分驻点
驻点：导数值为0的点
可导函数，在极值点处必是驻点 但驻点不一定是极值点
第一充分条件：x_0点处左右导数异号
第二充分条件：x_0点处一阶导数为0，二阶导数不为0
第三充分条件：前N-1阶导数为0，第N阶导数不为0
N为偶数是极值，N为奇数不是极值
题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率
拐点充分条件
第一充分条件：f''(x)在x_0点处左右异号
第二充分条件：x_0点处二阶导数为0，三阶导数不为0
第三充分条件：前N-1阶导数为0，第N阶导数不为0
N为奇数是拐点，N为偶数不是拐点
渐进线
斜渐近线
将f(x)化为y＝f(x)＝ax＋b＋α(x)，其中α(x)→0，渐进线：y＝ax＋b
一般
题型三 方程根的存在性及个数
抽象证明
罗尔定理推论
f(x)在区间上，N阶导数不为零，则方程f(x)在区间I上最多有N个实根
条件：fⁿ(x)≠0说明最多有n个根
罗尔定理
多项式零点定理
f(x)＝axⁿ＋...＋b的n次多项式最多有n个零点
多项式重根
多项式驻点个数
步骤
1、n次多项式有最多n个零点，f′(x)是n-1次多项式，则驻点个数≤n-1 2、根据多项式定理，重根点f′(x)也为0，得到具体驻点 3、根据罗尔定理，f(x)有n个零点，f′(x)至少有n-1个零点，f′(x)零点个数≥n-1
具体函数
一般方法：求极值、单调性、画图像
在单调区间内带值找异号点
不用单调性：纯代值找到零点
只能说明函数的最少零点个数
讨论带参数函数的零点问题
将参数和关于x的函数分开成两部分 注：函数部分要化简成方便求导讨论函数性态的形式
参数方程求零点
根据导数画图讨论讨论函数形态
题型四 证明函数不等式
常用方法
单调性
预处理：变形构造方便求导等式 1、移项构造F(x)讨论单调性 取几个点大概估计函数图像 2、取对数构造
★求二阶导时及时挑出方便求导的部分
取对数原理
y=g(x)>0，F=ln(y)=ln(g(x))，F'=y'/y=g'(x)/g(x) F'的单调新和y一致
最大最小值、拉格朗日中值定理、泰勒公式、凹凸性
证明a,b关系的不等式
a. 令其中一个变量为x
b. 将两个变量分开，一个在左一个在右
c. 提取出不等式中a,b的通用可代换形式，如a/b
题型五 微/积分中值定理有关的证明题
解题思路
注：在F(x)无定义点要保证F(x)连续，才可以用中值定理
化简式子
含一个f′变量
将变量移到一边
含两个f′变量
两个变量分别移到两边
画图 (及时封装再画图)
①尽量标准地画出满足题目要求的图像辅助分析 ②已知点标明，已知点之间连接一些辅助线找突破口
要找图中f′(ε)＝0的点
①找f(x)在ε左右两边两个为0的点
②找f'(x)函数两个异号点
从图像中找单调性相反区间
分类型
高阶
不等式
f'''(x)以上
泰勒公式
f''(x)
泰勒公式
不同点展开后消元
关键：在不同点展开产生不同ε变量 这些ε变量无法消去就要考虑拉格朗日
多项式拟合
找到一个具体的满足不等式的点
拉格朗日（首选尝试）
构造F找[a,c,b] 封装了F就是对F讨论
a,b：端点 c ：函数值不为0的点(使用的是函数值，考虑知道函数值的点)
等式
f''(x)
利用平方和差拆分
多项式拟合
①构造多项式项数与f(x)阶数相同的g(x)，使得g(x)满足f(x)相关的所有条件 ②令F(x)=f(x)-g(x)，会使得带入所有题设条件F(x)都等于0 ③用这些点多次使用罗尔定理证明结论
拉格朗日
三个点拉三次
一次构造
直接积分两次找到原函数
二次构造
1、对关于f′′(x)等式积分，构造关于f′(x)的原函数T(x) 2、T(x)带入一具体点，观察另一个η点需要满足的等式 3、写出关于T(η)的等式 4、再对关于f′(x)的T(x)等式进行积分得到关于f(x)的原函数F(x) 5、证明T(η)成立
泰勒公式
f'''(x)以上
泰勒公式
低阶
题型
等式
题型一
只有一个f′(ε)
首选：一阶、可将二阶封装成一阶
方法：构造辅助函数用罗尔定理 化为F=0再构造，因为要用罗尔定理
分析法（还原法）
微分方程
题型二
必须要有f′(ε)和f′(η)，否则就是题型一
在相同区间[a,b]上用两次中值定理（拉格朗日中值定理和柯西中值定理）
1、将ε和η分别写到等式两边 2、分别对两边使用中值定理(中值定理根据等式形式确定) 3、将两个中值定理用相同中介连接起来
2.1、单个f′(ε)考虑拉格朗日 ε与f′(ε)乘除考虑换成除法用柯西 ε、f(ε)、f′(ε)相乘再加减，考虑构造F(x)用拉格朗日
分析：1、将连续区间上取一点c，分为两个子区间 2、在两个子区间上分别使用拉格朗日中值定理，代入要证明的结论 3、找出f(c)关系式
划分子区间：采用逆推法
在两个子区间分别用拉格朗日后带入到F中，之后分析出f(c)关系式
验证：把f(c)的关系式带去题设看是否成立 注：找f(c)时，将等式右边全移到左边进行化简观察
求解：1、证明f(c)关系式成立 2、在c划分的两个区间上再次使用两次拉格朗日，代入要证明的结论 3、把f(c)关系式代入证明结论成立
题型三
用带拉格朗日余项的泰勒公式，其中x₀点选题目中提供的数值函数值信息多的点
一样多的点分别使用，再加两个式子合并成一个
解题：1、写出带拉格朗日余项的泰勒关系式 2、①已知点带入式子中②对比结论带入能凑出结论的点 3、结论带ℓ绝对值ℓ的：带入后的多个等式联合求解(消去多余项) 4、结论不带ℓ绝对值ℓ的：直接讨论
a±b＝c±d a±b≤ℓa±bℓ≤ℓcℓ+ℓdℓ
题型四
结合定积分
常用方法
变上限积分 (一般用于有单调性的)
将积分上限设为x，化为变上限积分不等式， 用单调性证明，化为证明函数不等式问题
积分中值定理
核心思想：去积分号 一般积分区域相同时使用
拆分积分区间
定积分不等式性质
变量代换
将不同区间化到相同区间
核心思想：合并积分区间 一般积在分区间不相同时使用
解题思路
题目中包含单调性等信息
函数已知条件不多，像是证明一个普适性定理
思路：1、观察结论中有祖孙几代 2、用已知定理构造等式f(x)将祖孙几代连接起来(牛顿莱布尼兹公式、拉格朗日中值定理、分部积分、泰勒公式) 3、3.1、对照结论样式，对构造的等式求定积分∫f(x) 3.2、将构造的等式代入 4、根据结论形式，对已知等式进行拼凑 注：泰勒公式中f(ε)的ε不是常数，是随着x变化的
分部积分： ①直接将结论的定积分部分使用分部积分 ②积分时设置合适的积分函数，使得分部积分前项导入值为0
柯西积分不等式 包含[∫f(x)]²或∫f²(x)
连接积分与导数
牛顿莱布尼兹公式(变上限积分)
积分中值定理
推广的积分中值定理
分部积分(被积函数有一端为0的)
柯西积分不等式
第3章 一元函数积分学
第1节 不定积分
题型一 计算不定积分
三角函数积分
凑微分一般规律
不符合一般规律
万能公式
特殊
有理函数积分
1. 分母能写成乘积形式
对分母
●将分母写为乘积形式
对分子
观察法
●在分子上加项减项或凑分母导数(加项减项先销分母上难的)
待定系数法
●按照分母的阶数降一阶
2. 分母不能写成乘积形式
1、对分子进行拆解，产生分母的导数 2、将等式拆成(分母导数/分母、常数/分母)两项 3、分别计算两项
∫常数/分母dx
将分母改写为[(ax＋b)²±c²]
基本方法
换元积分
三角函数代换
无理函数代换
万能代换
倒代换t＝1/x
出现头重脚轻(分母次数比分子高很多)时，可以考虑使用倒带换
分部积分
凑微分
可积分的常见形式
题型二 不定积分杂例
题型
求分段函数的原函数
f(x)连续必有原函数→F(x)＝∫a xf(t)dt→F(x)可导→F(x)连续
不定积分与定积分的关系
第2节 定积分/变限积分
题型一 定积分的概念、性质及几何意义
积分＋极限
使用积分中值定理/推广的积分中值定理
提出来的部分可以估计具体值
先算定积分，再求极限
题型二 定积分计算
区间再现公式
三角函数定积分
常用形式
利用数学性质
平移对称性
积分函数关于x＝a对称，且积分区域关于x＝a对称
圆的几何意义
合并积分函数
积分上下限差额相同的，可换元合并到同一期间
基本方法
牛顿莱布尼兹公式
连接不定积分与定积分的桥梁
利用周期性和奇偶性
点火公式
题型
带绝对值的函数求积分
积分边界为常数
1、将非积分变量x看作常数C 2、将积分区域化为[下界一下,下界,C,上界,上界以上] 3、分别讨论[下界以下,下界]，[下界,C,上界]，[下界,上界以上]去掉绝对值，变成变限积分
抽象函数求定积分
积分区间拆分
1、积分区间可拆性，拆成两部分 2、其中一部分使用换元得到相同区间 3、积分区间相同可合并积分函数
题型三 变上限定积分函数及其应用
已知函数f(x)求变上限函数F(x)，求出来的F(x)要保证连续
题型四 积分不等式
比较定积分大小
相同区间
●比较被积函数大小 ●利用单调性结合基本不等式放缩 ●两函数相减讨论单调性
化出相同点比较不同点
特殊方法：带一个点比较大小（默认区间上函数关系恒大恒小）
不相同区间
●拆分积分区间 ●变量代换统一积分区间
不定积分与定积分对比
不定积分
意义：描述一个函数是否存在原函数F(x) F′(x)＝f(x)在任意一点都成立
原函数存在定理
充分：①连续函数一定存在原函数且一个原函数可以表示为 →②F′(x)＝f(x)→③F(x)一定连续
含有第一类间断点，函数必没有原函数
定积分、变限积分(面)
意义：描述一个函数与坐标轴围成的面积
祖孙三代
定积分存在定理
闭区间上连续必可积
闭区间上有界，且只有有限个间断点
积分公式
第3节 反常积分
题型一 反常积分的敛散性
方法
比较判别法
定义
直接求出原函数，通过取极限求值
比较判别法的极限形式
判别敛散性关系
①证明敛散性：构造λ≠0或λ＝0都可以(阶数不准确) ②根据敛散性求参数：必须构造λ＝A(包括0)
判别敛散性
无穷区间：由大的决定 无界函数：由小的决定
题型二 反常积分的计算
换元＋分步
若部分极限不存在，则求出全部原函数再取极限
第4节 定积分应用
题型一 几何应用
体积
y＝r sinθ
面积
弧长
侧面积
曲率
参数方程
本质是：在直角坐标系下使用换元
注：换元时上下限要带入去求，不一定是t的取值范围
注
二重积分的积分函数不能代换 因为：代换就意味换元，内层积分上下限也要换
积分函数的选择
积分函数的选择原则： 1、根据积分变量d▉来确定 2、积分函数是否需要随着▉的变化而变化 3、若两者有关，则积分函数就是f[▉]形式
题型二 物理应用
细杆质心 形心坐标
引力
压力
变力做功
牛顿第二定律
合力
第4章 常微分方程
题型一 微分方程求解
一阶
常规
可分离变量
齐次方程
线性方程
特殊
x,y对调
将导数写成dy/dx形式
将所有的dy/dx转换为dx/dy，然后化简
变量代换
一开始就无从下手
一般代换
找出u和u′ (将y和y′全部替换为u和u′)
常见
将方程换成关于u,x的微分方程
高级代换 (欧拉方程)
全微分求解
凑两个全微分相等
高阶可降阶
为了产生dp和dy
常系数非齐次微分方程
定理
齐次方程的解＝1*非齐次方程组的解-1*非齐次方程组的解
非齐次方程组的解＝非齐次方程组的解±齐次方程组的解
非齐次方程组的通解＝C₁*齐次方程组无关的解1＋C₂*齐次方程组无关的解2＋1*非齐次方程组的特解
通解
求解步骤
1. 求特征根
2. 求齐次通解y
3. 求非齐次特解y* (y*是众多特解中的一个)
4. 求非齐次特解(y*)未知参数
5. 非齐次通解＝y＋y*
将未知数带入，即得到不同的特解
注
阶：代表方程中出现的未知数导数的最高阶数
N阶方程的解最多包含N个未知数
题型
知道通解，求微分方程
常系数线性微分方程
左边：根据特征根列特征方程求解 右边：将非齐次的特解带入
非常系数线性微分方程
1. 将通解求导
几个未知数求几阶
2. 根据导数方程组消去未知常数
参数方程定义的微分方程
①联立关于x和y参数方程消去参数t ②再求解方程
题型二 综合题
题型三 应用题
注
y＝f(x)也可以看作x＝ψ(y)
两者是等价的，只是表述方式不同
选择未知量
把要求的y＝f(x)的x,y作为未知量
用题目给出的其他中介函数的x,y作为未知量，求出y＝f(x)
第5章 多元函数微分学
第1节 重极线 连续 偏导数 全微分(概念、理论)
题型一 讨论连续性、可导性、可微性
可微性
几何意义：(x₀,y₀)点可以近似看作z=A(x-x ₀)+B(y-y₀)＋z₀平面
只要存在任意的A和B使得等式成立就可微
偏导数
定义
二阶偏导
定义
偏导数随着y的变化而变化，但还都是平行于xoz平面切线的斜率
累次极限
极限
方法
存在
A. 利用极限性质（四则运算法则，夹逼定理）
B. 消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）
分母中有无理式时
C. 利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量
|b|＝|a||b| 、|a±b|≤|a|＋|b|
不存在
沿两个不同路径极限不同
预判
分子幂次＞分母幂次：一般为0 分子幂次＜分母幂次：一般为无穷 分子幂次＝分母幂次：一般为不存在
为0证明
①f(x)→0⇔|f(x)|→0 ②夹逼定理
极限与无穷小的关系
证明
⑥
反例
①
③④
②
⑤
⑨
第2节 偏导数与全微分的计算
题型一 求一点处的偏导数与全微分
全微分运算法则
变量关系树
题型二 求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分
链式求导法带值原则
题型三 含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分
题型
u=f(x,y)变量替换
已知抽象函数偏导数关系式求函数
①求出偏导数，带入偏导数关系式 ②化简成微分方程，求解出原函数
难题
一个函数概念⇔函数微分等式
→
两边直接求偏导，化为微分函数等式
←
设函数F，构造微分等式的一边，通过微分等式代换，得出这个函数概念
题型四 隐函数的偏导数与全微分
全微分形式不变性
对同一层的自变量进行全微分是等价的 对自变量和中间变量的全微分是等价的
方法
把所有关系式用全微分形式不变性展开，合并后会得到：只有关于自变量的全微分
方法
求多个偏导数
不需要函数关系
难题
一个抽象隐函数⇔函数微分等式关系
①根据条件找出抽象函数内层关系 ②根据内层关系，对隐函数求偏导 ③证明充要性
第3节 极限与最值
题型一 求无条件极值
充分条件
题型二 求最大最小值
步骤
1. 求函数可疑的无条件极值点，判断是否在区域D内部(在区域D内部的作为备选点)
2. 求区域D边界上的最大最小值
区域边界还有定义域限制: 定义域端点需要单独带入
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法化简
消去λ
消去λ，再去求其他的变量(消λ首先要考虑λ是否为零) ①当λ＝0时，解出x,y,z关系带入约束方程 ②当λ≠0时，消去λ，解出x,y,z关系带入约束方程
利用对称性
方程具有轮换对称性 注：不严谨，容易丢解
利用齐次性解λ
求解方程组是同次幂方程组
化条件，为无条件
减少条件个数
化条件为无条件
将条件直接代入方程，消去一个变量
化两个条件为一个条件
可以消去一个条件和一个变量，但要保证剩下的条件和函数中都没有消去的这个变量
转化为极坐标 (条件方便用极坐标表示)
①把条件写成极坐标形式 ②把极坐标形式的条件代入方程中 ③得到关于θ的函数
注：代换时注意r y＝rcosx,y＝rsinx
3. 带入上两步求出的所有备选点比较出最大最小值
应用题
设变量考虑优先级
1、首先考虑f(x,y,z)简单 2、其次考虑ψ(x,y,z)简单 才会使得F(x,y,z,λ)＝f(x,y,z)＋λψ(x,y,z)简单
第6章 二重积分
题型一 计算二重积分
圆的几何意义
对称性和奇偶性
一般
关于X轴和Y轴
x带入-x函数不变→关于y轴对称 y带入-y函数不变→关于X轴对称
关于y＝x对称
偶对称
x和y交换函数不变→关于y＝x偶对称
奇对称
x和y交换函数变成原来的负→关于y＝x奇对称
关于原点对称
x带入-x，同时y带入-y函数不变→关于原点对称
平移(只平移积分函数)
奇偶性的平移
对称性的平移
1、对积分函数加加减减(保证积分函数不变) 2、凑出关于积分区域对称的积分函数 3、根据对称特性化简积分函数再计算
积分的平移
带入积分区域和积分函数：积分区域和积分函数都平移
本质是把立体图形搬一个位置
变量对称性
一般当D是关于y＝x对称区域的一半时使用 且f(x,y)有轮换对称性
轮换对称性
用参数方程给出的二重积分
先在直角坐标系下算出内层积分，再代入参数方程(本质就是换元) 注：内层积分上下限要用y(t)，要和积分变量y区分开
拆分积分区域
不好计算的积分区域可以用两个好计算的积分区域相减
用定积分形式合并区间后，再化为累次积分计算
计算注意事项
好算的先拆开计算
外层于与内层无关的，外层可以先算
二重积分与累次积分本质
二重积分换元
对内层积分换元，把外层积分变量当做常数
计算避坑
积分坐标选择
优先看积分区域
适合极坐标
∫dθ∫dr
∫dr∫dθ
适合直角坐标
题型二 累次积分交换次序及计算
题型三 与二重积分有关的综合题
一般思想
将二重积分化为累次积分，再求出内层积分化为定积分
内层积分
牛顿莱布尼兹公式
分部积分公式
交换积分次序/外层积分可先算
题型四 与二重积分有关的不等式问题
把积分相乘看作累次积分，化为二重积分并进行合并
思路方向
利用性质：对称性(转换过来的二重积分区域都关于y＝x对称)
基础知识
提高计算能力
计算不跳步骤
标准书写，工整书写，哪怕在草稿纸上演算
每一步尽量写出来，尽可能不跳步骤，即便在草稿纸上演算
每做一题，回查一步
回查的时候用眼睛看，从下面的式子返回到上面的式子，口算即可
几秒钟即可回查一步
常用知识
常用不等式
证明方法
第二数学归纳法
①验证N=1和N=2时，命题fn都成立 ②假设N＜K时，命题fn成立 ③证明N=K时，命题fn成立
反证法
①设与待证结论相反的假设 ②用假设推理出与题设矛盾 ③从而下结论说假设不成立，与假设相反的结论成立
几何知识
椭圆
椭圆面积
表达式：
球体
圆锥
数列
等比数列前n项和
三角函数
基本图像
极坐标
心形线
双扭线
螺旋线
未知曲线
非常见图
a.描点法
b.图像变换
c.导数工具
d.直角坐标系观点
参数坐标系
外摆线
内摆线
直角坐标系
直角坐标系到极坐标系的转化
三角函数图像
arccos(cosx)=x要满足x∈[0,π]（x定义域）