相似三角形

这是一篇关于相似三角形的思维导图，包括相似三角形的性质、相似的定义、表示方法、相似比和判定等内容。

相似

• 图形的相似
  • 定义：形状相同的图形
    • 相似符号：∽
  • 性质：
    • 1. 相似具有传递性
    • 2. 对应角相等，对应线段成比例
  • 判定
• 平行线分线段成比例定理(基本事实）
  • 三条平行线截两条直线，所得对应线段比相等
  • 相关推论：
    • 平行于三角形边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例。
• 相似三角形
  • 判定
    • 1. AA
    • 2. 判定三角形相似的预备定理——平行
    • 3. 三边对应成比例
    • 4. 两边夹一角
    • 5. HL：斜边与直角边对应成比例
      • 用于Rt▲
  • 性质
    • 对应线段的比=相似比
      • 对应高
      • 对应中线
      • 对应角平分线
    • 周长比=相似比
    • 面积比=相似比²
    • 传递性
    • 对应角相等
• 与圆的相关定理
  • 相交弦定理
  • 切割线定理
    • 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB。 证明：连接AT， BT。 ∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)； ∴ △PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似)； ∴PB：PT=PT：AP 即：PT²=PB·PA。
  • 割线定理
    • 已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线 求证：PA·PB=PC·PD 证明：连接AD、BC ∵∠A和∠C都对弧BD ∴由圆周角定理，得∠DAP=∠BCP 又∵∠P=∠P ∴△ADP∽△CBP（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。） ∴AP:CP=DP:BP 即AP·BP=CP·DP
• 相似图形典型类型
  • （一）“A”字型及变形
  • （二）“8”字形及变形
  • （三）子母型
  • （四）一线三等角型
  • （五）背靠背型（射影定理）
• 位似
  • 定义
    • 三要素
      • 相似
      • 对应点连线交于一点
      • 对应边共线或平行
      • 三个条件必须同时满足
  • 性质
    • 1. 相似
    • 2. 对应点连线交于一点
    • 3. 对应边共线或平行
    • 4. 对应点到位似中心的距离等于相似比
  • 判断位似图形的方法
    • 定义
    • 找三组对应点连线，找位似中心
  • 应用
    • 作位似图形
      • 若给一点求它的位似对应点，则有两种情况
        • 同侧
        • 异侧
• 两个三角形的面积比： 1.两三角形相似，则面积比=相似比² 2.两个三角形同底或等底，面积比=高的比 3.两个三角形同高和等高，面积比=底的比
• 如何找位似中心？ 找两组对应点连线，交点既是
• 证明：连AC、BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。【圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.】 ∴△EAC∽△EDB ∴EA∶ED=EC∶EB，EA·EB=EC·ED 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。
• 1、三垂直型相似也有很多种类型，只要两个直角三角形三边分别互相垂直，这两个直角三角形就一定相似。 2、如图所示是最常见的一种，它既可以看作子母型相似的特殊情形，也可以看作一线三等角的特殊情形。 3、图中所示的三个三角形都彼此相似，在书写对应关系时建议按照角的大小顺序书写，以避免出错。
• 比例的基本性质
  • 更比
    • 两个外项或两个内项互换位置（一内一外不能换）
    • 如图
  • 合比
    • 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
    • 应用：等式的基本性质
  • 等比
    • 如果a：b=c：d那么ad=bc
  • 设K法
• 相似比=比例尺——相似图形对应线段的比