吴军数学通识50讲

用代数的方式来解决几何的问题 这个想法确实很超前 即便现在已经习以为常 但第一个开拓者想想都觉得惊艳 笛卡尔这个名字不应该被埋没于中国教科书里。

吴军数学通识50讲

• 导论
  • 美国高中将数学分为8-10门课 再细分为ABC
    • 如果发现对自己很难只需要学A课程 就可以花更多的精力在其他功课上了
    • 比较喜欢这种教学 不然学不会死学 浪费时间而又丧失自信
  • 课程总览
    • 数学的线索
      • 怎样从猜想到推论再产生实际应用
    • 数的概念
      • 习惯使用抽象工具
        • 提升思维认知
    • 几何，代数
      • 提升认知
    • 微积分
      • 静态关系->动态规律 并应用到工作中
        • 概念 解题技巧其实并不重要
    • 数学的基础作用
• 数学的线索
  • 勾股定律vs毕达哥拉斯定理
    • 勾股定律只是发现了这样的规律 而毕达哥拉斯证明了 发现与证明存在一道鸿沟
    • 测量得出的规律与逻辑推理得出的结论是不同的
      • 测量可能会出错 而逻辑推理的结果可以被广泛使用
    • 事实证实与逻辑证明
      • 前者通过实验得出的结论可以在特定场合使用 没问题
      • 后者在验证范围内证实正确 但没有穷尽可能 但都不叫证明
        • 数学理论必须于要证明 并且没有例外
    • 数学结论的绝对性
      • 数学上的每一个定理都是基础 后人需要在这基础上往前走 而这个过程不能有丝毫缺陷 否则数学大厦就倒塌了 数学不相信测量
  • 数学的预见性
    • 通过反证法得出无理数的存在
      • 引出了数学与现实的矛盾
        • 想想是否我们的推导出错了？
          • 这种情况占大多数
        • 观察或者认知欺骗了我们
          • 颠覆认知！
        • 假设错了或者不够好
          • 通常不需要考虑？
      • 很多重大的发明发现都来自于上述矛盾
        • 案例：宇宙的质量是负数 暗能量的存在
    • 总结
      • 借助数学 而不依靠直觉或经验 就能一步步推导出正确的结论
      • 通过推论 改变我们对现实世界的看法 这就是数学的预见性
  • 数学思维
    • 08年金融危机次级贷
      • 首付和贷款付房贷 房贷从A银行那贷 首付从B银行贷 但B银行风险和利率都要高
      • B银行看风险高通过C公司买保险降低风险
      • D公司承担保险费用 包装成证券
        • 这叫做CDS 信用违约交换
      • 无数次包装后CDS高达50万亿美元
      • 而房价不可能一直涨 如果跌了 CDS违约 收账 但其实已经收不回来了
        • 贝尔发现了问题 在出事前做空股票 血赚
    • 我们可以从逻辑发现问题 或者遇见不得不做的事情
      • 如不进行资本输出 中国经济要增长 而又要别人买的起我们的东西
        • 这是不能两全的事情
    • 学会使用矛盾律 找找生活中不能两全的例子 想想有什么应对
      • 运动多久能减肥我不知道 但这件事情是必做的 否则是减不下去的
      • 学习能否有所成就我不知道 但不学只是原地踏步 一定没出息
  • 数学边界
    • 人要做自己擅长的事 有时候天赋真的很重要 数学上就是如此
    • 数学的理论为很多应用奠定了基石 要在理论之上做事 而不是凭空而来
    • 数学有其边界存在 不要试图逾越 但数学上找不到解可以从其他方向出发找到近似解
      • 有个差不多的解总比无解好一些
  • 黄金分割
    • 这是宇宙的一个常数 让人觉得一眼看过去这个比例的东西就是美的
    • 黄金分割被应用在生活的方方面面 如图画 雕塑 建筑 声音等
  • 数学应用
    • 应用案例
      • 投资股票选在0.618位置
      • 拍照中心也是
    • 优选法可能不是最优解 但是起码保证了这个决策不会很差 当你对某个事物一无所知的时候 就可以这么使用了 日常使用就认准38%的时间去想 剩下时间去做吧
  • 数列之趋势
    • 案例
      • 兔子繁殖 员工增长
      • 炒股 碳14测定
        • 衰减的等比数列
    • 少量数据得到的结论和大量数据得到的规律 可能完全是两码事 大量数据才更有说服力
    • 我们不仅关心当前这个数有多大 还关心未来它会变的多大
      • 所以我们必须要进步 还要比同龄人更快
  • 数列级数之传销骗局
    • 传销发展下线
      • 假设会费是A 一个人发展K个下线 每个直接下线的分钱百分比是p 第二级是p^2 依次类推
      • 那么一个人拿到的钱是 A*K*p + A*(K*p)^2 + A*(K*p)^3 + A*(K*p)^4 + …
        • 设r=k*p 如果r大于1 那么是会有无穷的钱
        • 比如分成是20% 每人发展5个下线就行
          • 但越往后越难 理论上可行 实际上不可行
    • 社交标题党
      • 文章转发也类似 第一批读者是A0 转发百分比为p 平均有K个受众 受众打开比例是q
        • 那么第二批读者有A0*p*K*q个
        • 设pKq为r 第三批就是A0*r^2 以此类推
          • r>1则霸屏 r越接近1 效果越好
      • 回过头来 标题党只是吸引了第一批读者 而如果有了上当的感觉 更加不会转发
        • 所以提高转发率p才是核心 即 这篇文章是真正有价值的
    • 核裂变
      • 中子撞上原子裂变成更多中子和原子释放能量 重复撞击形成链式反应 就会释放大量能量
        • 假设原子数量为A0 第二批是A0*r 第三批是A0*r^2
      • 所以原子纯度高 体积要大 这样更容易产生撞击 即提高了r的比例
    • 总结
      • 类似的事情我们都可以用A*r+A*r^2...来计算下最终的结果是发散的还是收敛的 或者怎样提高r的比例 标题党案例最好体现级数的应用了
  • 数列级数之利息
    • 关于贷款
      • 等额本金偿付
        • 每个月还的本金相同
          • 120w 一年还 每月还10w 但利息是慢慢变少的 比如年利息是6% 月利息是0.5 第一个月还 10w+6000 第二个月还10w+5500....
      • 等额本息偿付
        • 将贷款的利息和本金加起来除以还款期数
          • 这样每月还的钱是相等的
        • 注意点是 每月利息是变少的只不过平均算了而已
          • 利息略高一些 但头几个月月供会小一些
    • 国库债券
      • 如果之前买了 央行加息 那其实就是亏了 否则就是赚了
    • 总结
      • 了解利率的计算 一句话 还了钱 利息肯定比原来少了 不要傻傻的被P2P给骗了 上面的例子 一年利息人家直接算成120*6%=7.2w 钱白白给他们了
        • 当然不网贷才是真理
• 数的概念
  • 鸡兔同笼
    • 中国古代数学解决的是一个个的具体的问题 而不是系统的解法 这相比于欧洲和阿拉伯来说就要差一些了 因为具体问题一变 人就无从下手了
    • 从鸡兔同笼的解法 中国和美国 一个是使用聪明办法 一个是使用列表穷举
      • 两者都有弊端 前者解题快 题目一变可能无法得出答案了
      • 后者列表 下手容易 学生能够感受到数的变化 而如果答案变大 这种方法也不太管用了
    • 而方程就是这样一个能解决具体问题的工具 不用方程 之前提到的鸡蛋问题还真不好解
    • 这就是一种将具体问题抽象成模型的办法 可以解决生活中的很多问题
      • 比如JMM模型 实际并不存在 但让人更容易理解java多线程问题
  • 三次方程
    • 先有引理再有定理 引理能够解决具体问题 但换成其他问题就不行了 定理才是某类问题的通解 所以每一个定理的诞生都耗费了无数的心血 值得我们敬仰
    • 数学是一个工具 我们不应纠结于解题技巧 而要学习概念与概念之间的联系 从中把现实问题转化为数学问题 这是思维上的提升 而技巧一旦离开某个题目就变得毫无意义了
  • 虚数
    • 明明是现实生活中的问题 也有现实的解 但却需要借助一座虚拟的桥梁来解决这个问题
    • 虚数的作用
      • 弥补数学上逻辑的漏洞 有了虚数 所有一元N次方程都有解
      • 作为工具使用 飞行 航海都会用到
      • 应用在量子力学 相对论 流体力学等
    • 未来我们遇到的问题会非常复杂 但可以利用一种虚幻模型来解决具体的问题
      • 而人也正是因为构想出不存在事物而凝聚起来的 如宗教 图腾 梦想等
      • 当你能够接受虚拟概念的能力不断提高 你的认知也在不断提升
  • 无穷大
    • 无穷大不是一个数 它反映的是一种动态的趋势 研究这种趋势增长的快慢是很有意义的
    • 计算机算法 N^2 10000N N
      • 如果能够提升量级如平方变成了线性 那么远比提高几倍要来划算的多
    • 不能以有限的经验去得出无限的结论 或者说 这种假设只能在特定场景下使用
  • 无穷小
    • 它也是一种趋势 无限接近于0 但不等于0
    • 极限
  • 无穷大与无穷小
    • 他们之间也可以进行运算
      • 如果两者相乘 那么那么如果无穷大变化趋势更快 结果就是无穷大 相除也是同理
    • 其实不用局限于大小 而是关注趋势
      • 对比不同趋势的快慢 在来引导我们做事
      • 比如个人收入增长小于房价增长
        • 那就要想办法提高收入 而不是想着快速买房 因为你还是买不起
  • 复盘
    • 穷人缺乏的不是想象力 而是没有经验和理论支撑的胡思乱想
    • 世界是动态的 短暂的机遇叫做投机 大趋势下的机会是不容易错过的 借助这个趋势成长赚钱将会超乎想象
    • 做聪明的人而不是精明的人 后者会盯住眼前的利益 前者会看到长期利益
    • 虚拟或抽象的概念可以解决现实生活中的问题 要多运用
    • 没有人靠攒钱发财 重心还是要放在提升自己的能力上
    • 当世界的规律与我们的直觉不一致时 就要借助逻辑分析
    • 生活场景多用比喻 专业场合就需要专业术语
    • 尊重一些理性的对手 正是因为他们不同的意见 才能让我们进步
    • 研究科学获得荣誉 钻研技术获得财富
      • 你要想好自己要成为哪一种人？
• 几何学
  • 发展
    • 从懵懂的感性认知
      • 到可量化的感性认知
        • 最后总结规律记录并传播开去
    • 我们学习就是这样开始 懵懂的以为学会了
      • 但其实并没有 我们要用自己的语言或者借助度量单位来描述
        • 最终总结经验并记录下来
    • 科学的发展需要的充分条件
      • 对物质生活要求很低 大部分时间用于理性的思考和辩论
      • 没有强权的政治 不同人间有多元的问题角度和看法 相互启发
  • 公理体系
    • 通过10条公理 不断在其基础上证明发现定理 逻辑缜密 让人信服
    • 除了那些客观的 被验证的道理和结论 不要加过多的主观假设
      • 假设很有可能是错的 但我们容易陷入这样的误区中而无法自拔
  • 非欧几何
    • 细节上差10%或者1% 做出来的东西就可能和人不一样
      • 认真仔细真的是一件很难的事情
    • 作为人，基本的设定没问题，活出自己的精彩是对社会的贡献。
  • 解析几何
    • 用代数的方式来解决几何的问题 这个想法确实很超前 即便现在已经习以为常 但第一个开拓者想想都觉得惊艳 笛卡尔这个名字不应该被埋没于中国教科书里
    • 也是一个通过虚构的工具来解决现实问题的好案例
  • 几何与法律
    • 通过公理化系统建立起一个知识体系，体现出人类创造思想的最高水平
    • 自然法的启示
      • 寻找那些不证自明 天然的东西 将其衍生开去 可以指导我们做事
      • 一切动物都被赋予繁殖的权利
        • 那么不应该滥杀和剥夺动物繁殖 导致他们灭绝
    • 解放黑人宣言
      • 直角都相等 人为什么不能平等？
      • 听起来有点扯 但是好的体系应该建立在公平和正义的基础上 否则衍生开去就是剥削和压迫
    • 公司管理
      • 创始人需要建立做事原则和价值观
        • 这样遇到某些事情的时候不会矛盾处理
        • 比如员工第一还是客户第一？
• 代数学
  • 函数：从静态到动态
    • 函数可以让我们以简单的规律 不断的代入不同变量 最终描绘出那样的趋势
    • 善于运用函数 可以很方便的帮我们解决现实中的问题 凡事不要想当然
  • 函数：公式与因果
    • 圆柱体的提及与圆的半径与高度有关 这两点都是100%的相关性
    • 但相关性不代表决定性 你不能说体积越大的圆柱 半径一定越大 可能是高度很大
    • 在现实中 某件事物可能有着上亿种变量 而这时候把相关变量误解为因果是很危险的 只有排除掉那些其他干扰 才能得出正确结果
  • 向量：方向比努力重要
    • 如果有很多力 但合力如果不是往一个方向的 那其实就被消耗掉了
    • 所以做事不是看聚集几个牛人或同做几件厉害的事
      • 而是确定在这个方向聚焦用力
  • 向量：理解不同维度
    • 余弦竟可用在文本分类 招人上
      • 具体是汇总关键词计算夹角 匹配公司需要的人 做初步筛选
  • 矩阵
    • 矩阵的原型就是单个的向量相乘
      • 但现实问题是复杂的 为了解决批处理的情况 矩阵由此而生
      • 对于那种几百维的运算 矩阵比单个计算好很多 也很直观
• 微积分
  • 微分
    • 往哪个方向努力？只要算出梯度 沿着最陡的方向努力 收益最大
  • 微分之奇点
    • 导数反映的是某点的变化速率
    • 由此有以下结论
      • 若函数可导 则必定连续 若连续 不一定可导
      • 导数大于0 则原函数增加 导数越大增长越快
      • 导数在某点不连续 则原函数该点不可导 可能是出现了尖尖点
    • 案例分析
      • 
      • 第一段销售速率是固定的
      • 第二段则突然下滑 变成负的了 之后慢慢增长
      • 之后两段又出现了不可导的情况 说明发生了某些意外波动 而连续的才是最好的
    • 王老吉的滞后效应
      • 打了广告 反响很好 但是生产滞后了
        • 但现实是复杂的 不确定广告打的效果如何 只能慢慢增加产量 这样就出现了不可导的点 这种现象真的很常见啊 万一效果不好 供给就过剩了
  • 积分
    • 从微观去看宏观变化 它存在滞后效应
    • 就像一个飞轮一样
      • 开始加速 速度也不会马上起来 但是积累到一定时间 会转的飞快
      • 而人总是想着开始努力就有效果 但这其实也存在滞后效应 你得接受它
      • 所以我们常说的 不要急功近利 慢慢来才会看到成效是有道理的
  • 最大最小值
    • 对函数求导 为0点可能是最大最小值
      • 但不能忽略两个点
        • 0值右边可能还是大于0
        • 可能存在多个极值 需要对比大小找到最大值
  • 微积分的发明
    • 很多人都醉心于从零到一的发现，但是真正伟大的发明需要走完从0到N的全过程，这中间有很长的路，任何时候进入相关的领域都不晚 机会永远存在啊
• 概率 统计 博弈
  • 概率
    • 自然中的随机性很难确定 但是我们可以借助随机实验发现背后的规律
  • 如何理解随机性
    • 试验次数不足 容易出现偶然性和随意性
      • 只有大量实验 才能确保随机性的规律是准确的
    • 越是小概率事件 越是要确保试验的次数比理想的多
      • 所以正确的方法论是提高概率 而不是提高次数
      • 这也变相证明了为什么不要去赌 因为从概率上来讲 你真正能获得的超额收益远小于投入的成本
  • 泊松分布
    • 由于随机性 准备资源的时候要多考虑冗余 在现实世界 没有冗余的系统是不能用的
    • 有时候直觉会欺骗我们 涉及到概率方面的问题 不能想当然
    • 池子越大 越能抵抗随机性
      • 拿保险公司举例 大的保险公司因为投保的人多 每个人只要稍微投一点就行 再加上有再保险的操作 如果有意外基本都能获得理赔 而对于小公司则不一定了 池子太小 可能理赔不了
  • 高斯分布
    • 带随机性的实验 需要有95%的置信度 否则就是不靠谱的
      • 案例分析
        • 
        • 重合部分占65% 那么只能有35%的概率说是二班比一班好
          • 置信度就是35%
        • 而为了提高置信度 也就是要缩小重合面积 那就要减少标准差
          • 标准差为1的情况
            • 
            • 这时候置信度达95% 很靠谱！
          • 而为了减少标准差 需要增大样本
            • 
            • 蓝色是大样本的情况
    • 股市的风险远高于人的想象 要小心谨慎啊！
    • 投资的时候必须要考虑风险而不能只考虑回报
    • 对股市要有敬畏 不要稍微赚点钱就觉得自己是股神了
      • 认清自己的能力 就这点
  • 条件概率与贝叶斯公式
    • 本身概率
      • 没有限制条件下 该事情发生的概率
    • 条件概率
      • 是指某件发生的事的概率在某个限制条件下发生的概率 通常来说这与本身概率是不同的
    • 贝叶斯公式
      • 公式
        • P(X,Y)=P(Y|X)*P(X) x和y同时发生的概率 等于 x条件下 y发生的概率 乘以 x发生的概率 P(X,Y)=P(X|Y)*P(Y) x和y同时发生的概率 等于 y条件下 x发生的概率 乘以 y发生的概率 两种相等 P(X|Y)*P(Y)=P(Y|X)*P(X) 因此 贝叶斯公式就是 P(X|Y)=P(Y|X)*P(X) / P(Y) 如果等号左边的事情发生概率更难求 那么就通过先求右边的结果 最终得到该事件发生的概率 即 y条件下x发生的概率 = x条件下y发生的概率 * x发生的概率 /y发生的概率
        • 案例
          • 已知一种病在人群中发病的概率为 0.1%，病人去医院检查，检查结果有 90% 的概率是正确的（也就是说，如果一个人真的患了病，医院检查结果告诉他，他有 90% 的概率患病，10% 的概率不患病；如果一个人没有患病，医院检查结果告诉他，他有 10% 的概率患病，90% 的概率不患病），那么给定一个检查结果告诉我患病，那么我事实上真的患病的概率是多少？ 设发病的条件概率是 P(X) 没发病就是P(1-X)记作 P(X') 同理 检查有病的条件概率是 P(Y) 没病是P(Y') 其中 发病的概率 P(X)=0.001 P(X')=0.999 患病下 检查有病的概率是0.9 即 P(Y|X)=0.9 而没发病但检查有病的概率是 P(Y|X')=0.1 反过来 如果检查有病 再患病 即我们要求的是 P(X|Y)是多少？ 我们缺少P(Y) 即患病情况下检查有病的概率【P(X,Y)】+没病情况下检查有病的概率【P(X',Y)】 加起来就是总概率 P(Y)=P(Y|X)*P(X)+P(Y|X')*P(X')=0.9*0.001+0.1*0.999=0.1008 最终得到 P(X|Y)=P(Y|X)*P(X) / P(Y)= 0.9*0.001/0.1008=0.0089 小于百分之一
      • 某件事情发生的概率 要在特定条件下看 而不是想当然
        • 行星撞地球？大概率不会发生
          • 但某个文明操控了行星的轨迹 就很有可能了 加了人为限制条件
      • 解决难题的时候 常常需要架起一座或者几座桥梁 就如同虚数的应用
        • 机器翻译依靠贝叶斯公式 就转化成了数学问题
  • 概率公理化
    • 为什么觉得概率论不美？因为不能用数学语言描述某个公理 使其拓展为概率论大厦
    • 所幸柯尔莫哥洛夫补上了这一点
      • 三个公理
        • 公理一：任何事件的概率是在0和1之间（包含0与1）的一个实数。 公理二：样本空间的概率为1，比如掷骰子，那么从1点朝上，到6点朝上加在一起构成样本空间，这六种情况放到一起的概率为1。 公理三：如果两个随机事件A和B是互斥的，也就是说A发生的话B一定不会发生，那么，这件事发生的概率，就是A单独发生的概率，加上B单独发生的概率。这也被称为互斥事件的加法法则。很好理解，比如掷骰子一点朝上和两点朝上显然是互斥事件，一点或两点任意一种情况发生的概率，就等于只有一点朝上的概率，加上只有两点朝上的概率
  • 大数据
    • 没用好的原因是啥？
      • 如何选定关联变量 体现了人的智慧
      • 低估了数据的稀疏性 样本太小
      • 因果关系没搞明白
    • 如何用好数据
      • 1. 设立研究目标，比如，我们利用数据来证实什么假说，或者得到什么样的相关性。
      • 2. 设计实验，选取数据。这些数据需要能够方便量化处理。比如，你要识别图像，就需要将图像信息数字化，便于计算机处理。
      • 3. 根据实验方案进行统计和实验，分析方差。
      • 4. 通过分析进一步了解数据，提出新假说。
      • 5. 使用研究结果。包括将统计结果用于产品，也包括报告给别人。
  • 零和博弈
    • 多考虑风险而不是收益
    • 把握好出手的时间 出手太早是炮灰 太晚则没了机会
  • 非零和博弈
    • 无条件给人第一次机会 如果背叛 则不会再给机会
    • 智猪博弈
      • 鼓励小企业跟随大企业走 以降低成本
• 数学的基础
  • 数学与哲学
    • 笛卡尔
      • 实验得出结果 但这可能只是表象 再加上符合逻辑的数学方法 最终得到结果
    • 莱布尼兹
      • 相对的因果时空观
      • 离散的世界观
    • 数学是基础 为了掌握做事的方法 可以多些角度看待问题
    • 哲学
      • 暂时不敢说什么结论 只能说和数学相通 可能看待问题的角度与高度会不同
  • 数学与自然科学
    • 某些学科+数学 将会产生极其强大的作用
    • 推广开去 多种其他学科结合 会发挥出怎样的魔力呢?
  • 数学与逻辑学
    • 同一律
      • 一件事物只能是其本身 切勿偷换概念造成误解
    • 矛盾律
      • 很多时候我们讲的是二象性 即事物的两个方面 这并不违反矛盾律
      • 遵循四个同一 就不会违反矛盾律了
        • 同一时间 同一对象 同一属性 同一方面
    • 排中律
      • 在明确的条件下 都要有明确的是非概念 而不存在中间态
      • 如中国作文是中间态 既要也要 但在西方就一定会选是或否
        • 只能说两种思维的差异 不能说哪个更好
    • 充分条件律
      • 也称为因果律
      • 宇宙中任何事物不能自我解释 即必须依赖于其他事物存在
        • 那好像追溯过去 一切事物的那个源头有因吗？
  • 数学与其他学科
    • 管理学
      • 数学上的公理好比公司的基因
        • 不同公司不同的基因 做事的时候就要根据基因出发 不能胡来
        • 如google 整合全球信息 阿里 让天下没有难做的生意
    • 历史
      • 不强调所谓的正确性或者正统观点，而强调逻辑的自洽。任何从客观出发，逻辑上能自洽的结论都是有意义的。
      • 历史上没有绝对的对错 讲究的是逻辑自洽 这样每个人的理解都可能是不同的 但也正因为这样 研究历史将以不同的形式塑造自身
  • 伽罗瓦与数学难题
    • 看似是知识体系里的内容 但这只是表象 要跳出来从别处找答案
    • 对于伽罗瓦，我恰恰认为，天才反而是诅咒，如果某个人在某方面特别突出，但也可能某方面特别薄弱，他将精力都用在了自己擅长的地方，而那个薄弱点，是他所忽略的，伽罗瓦因决斗而死，有人说他性格偏激，有人说他为了爱情，但我认为或许是他缺失了些什么，这才能体现智商与性格上的平衡，许多天才都死的很早，或许也有类似的原因。
• 总结
  • 不轻易相信没有根据的结论，一切要从公理出发，用逻辑得到结论；
  • 在解决问题之前先要搞清楚问题，特别是搞清楚问题的定义；
  • 各种知识体系是相通的；
  • 用动态、发展的眼光看待世界