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吴军数学通识50讲
用代数的方式来解决几何的问题 这个想法确实很超前 即便现在已经习以为常 但第一个开拓者想想都觉得惊艳 笛卡尔这个名字不应该被埋没于中国教科书里。
编辑于2023-01-23 15:08:36 浙江省- 吴军
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吴军数学通识50讲
导论
美国高中将数学分为8-10门课 再细分为ABC
如果发现对自己很难只需要学A课程 就可以花更多的精力在其他功课上了
比较喜欢这种教学 不然学不会死学 浪费时间而又丧失自信
课程总览
数学的线索
怎样从猜想到推论再产生实际应用
数的概念
习惯使用抽象工具
提升思维认知
几何，代数
提升认知
微积分
静态关系->动态规律 并应用到工作中
概念 解题技巧其实并不重要
数学的基础作用
数学的线索
勾股定律vs毕达哥拉斯定理
勾股定律只是发现了这样的规律 而毕达哥拉斯证明了 发现与证明存在一道鸿沟
测量得出的规律与逻辑推理得出的结论是不同的
测量可能会出错 而逻辑推理的结果可以被广泛使用
事实证实与逻辑证明
前者通过实验得出的结论可以在特定场合使用 没问题
后者在验证范围内证实正确 但没有穷尽可能 但都不叫证明
数学理论必须于要证明 并且没有例外
数学结论的绝对性
数学上的每一个定理都是基础 后人需要在这基础上往前走 而这个过程不能有丝毫缺陷 否则数学大厦就倒塌了 数学不相信测量
数学的预见性
通过反证法得出无理数的存在
引出了数学与现实的矛盾
想想是否我们的推导出错了？
这种情况占大多数
观察或者认知欺骗了我们
颠覆认知！
假设错了或者不够好
通常不需要考虑？
很多重大的发明发现都来自于上述矛盾
案例：宇宙的质量是负数 暗能量的存在
总结
借助数学 而不依靠直觉或经验 就能一步步推导出正确的结论
通过推论 改变我们对现实世界的看法 这就是数学的预见性
数学思维
08年金融危机次级贷
首付和贷款付房贷 房贷从A银行那贷 首付从B银行贷 但B银行风险和利率都要高
B银行看风险高通过C公司买保险降低风险
D公司承担保险费用 包装成证券
这叫做CDS 信用违约交换
无数次包装后CDS高达50万亿美元
而房价不可能一直涨 如果跌了 CDS违约 收账 但其实已经收不回来了
贝尔发现了问题 在出事前做空股票 血赚
我们可以从逻辑发现问题 或者遇见不得不做的事情
如不进行资本输出 中国经济要增长 而又要别人买的起我们的东西
这是不能两全的事情
学会使用矛盾律 找找生活中不能两全的例子 想想有什么应对
运动多久能减肥我不知道 但这件事情是必做的 否则是减不下去的
学习能否有所成就我不知道 但不学只是原地踏步 一定没出息
数学边界
人要做自己擅长的事 有时候天赋真的很重要 数学上就是如此
数学的理论为很多应用奠定了基石 要在理论之上做事 而不是凭空而来
数学有其边界存在 不要试图逾越 但数学上找不到解可以从其他方向出发找到近似解
有个差不多的解总比无解好一些
黄金分割
这是宇宙的一个常数 让人觉得一眼看过去这个比例的东西就是美的
黄金分割被应用在生活的方方面面 如图画 雕塑 建筑 声音等
数学应用
应用案例
投资股票选在0.618位置
拍照中心也是
优选法可能不是最优解 但是起码保证了这个决策不会很差 当你对某个事物一无所知的时候 就可以这么使用了 日常使用就认准38%的时间去想 剩下时间去做吧
数列之趋势
案例
兔子繁殖 员工增长
炒股 碳14测定
衰减的等比数列
少量数据得到的结论和大量数据得到的规律 可能完全是两码事 大量数据才更有说服力
我们不仅关心当前这个数有多大 还关心未来它会变的多大
所以我们必须要进步 还要比同龄人更快
数列级数之传销骗局
传销发展下线
假设会费是A 一个人发展K个下线 每个直接下线的分钱百分比是p 第二级是p^2 依次类推
那么一个人拿到的钱是 A*K*p + A*(K*p)^2 + A*(K*p)^3 + A*(K*p)^4 + …
设r=k*p 如果r大于1 那么是会有无穷的钱
比如分成是20% 每人发展5个下线就行
但越往后越难 理论上可行 实际上不可行
社交标题党
文章转发也类似 第一批读者是A0 转发百分比为p 平均有K个受众 受众打开比例是q
那么第二批读者有A0*p*K*q个
设pKq为r 第三批就是A0*r^2 以此类推
r>1则霸屏 r越接近1 效果越好
回过头来 标题党只是吸引了第一批读者 而如果有了上当的感觉 更加不会转发
所以提高转发率p才是核心 即 这篇文章是真正有价值的
核裂变
中子撞上原子裂变成更多中子和原子释放能量 重复撞击形成链式反应 就会释放大量能量
假设原子数量为A0 第二批是A0*r 第三批是A0*r^2
所以原子纯度高 体积要大 这样更容易产生撞击 即提高了r的比例
总结
类似的事情我们都可以用A*r+A*r^2...来计算下最终的结果是发散的还是收敛的 或者怎样提高r的比例 标题党案例最好体现级数的应用了
数列级数之利息
关于贷款
等额本金偿付
每个月还的本金相同
120w 一年还 每月还10w 但利息是慢慢变少的 比如年利息是6% 月利息是0.5 第一个月还 10w+6000 第二个月还10w+5500....
等额本息偿付
将贷款的利息和本金加起来除以还款期数
这样每月还的钱是相等的
注意点是 每月利息是变少的只不过平均算了而已
利息略高一些 但头几个月月供会小一些
国库债券
如果之前买了 央行加息 那其实就是亏了 否则就是赚了
总结
了解利率的计算 一句话 还了钱 利息肯定比原来少了 不要傻傻的被P2P给骗了 上面的例子 一年利息人家直接算成120*6%=7.2w 钱白白给他们了
当然不网贷才是真理
数的概念
鸡兔同笼
中国古代数学解决的是一个个的具体的问题 而不是系统的解法 这相比于欧洲和阿拉伯来说就要差一些了 因为具体问题一变 人就无从下手了
从鸡兔同笼的解法 中国和美国 一个是使用聪明办法 一个是使用列表穷举
两者都有弊端 前者解题快 题目一变可能无法得出答案了
后者列表 下手容易 学生能够感受到数的变化 而如果答案变大 这种方法也不太管用了
而方程就是这样一个能解决具体问题的工具 不用方程 之前提到的鸡蛋问题还真不好解
这就是一种将具体问题抽象成模型的办法 可以解决生活中的很多问题
比如JMM模型 实际并不存在 但让人更容易理解java多线程问题
三次方程
先有引理再有定理 引理能够解决具体问题 但换成其他问题就不行了 定理才是某类问题的通解 所以每一个定理的诞生都耗费了无数的心血 值得我们敬仰
数学是一个工具 我们不应纠结于解题技巧 而要学习概念与概念之间的联系 从中把现实问题转化为数学问题 这是思维上的提升 而技巧一旦离开某个题目就变得毫无意义了
虚数
明明是现实生活中的问题 也有现实的解 但却需要借助一座虚拟的桥梁来解决这个问题
虚数的作用
弥补数学上逻辑的漏洞 有了虚数 所有一元N次方程都有解
作为工具使用 飞行 航海都会用到
应用在量子力学 相对论 流体力学等
未来我们遇到的问题会非常复杂 但可以利用一种虚幻模型来解决具体的问题
而人也正是因为构想出不存在事物而凝聚起来的 如宗教 图腾 梦想等
当你能够接受虚拟概念的能力不断提高 你的认知也在不断提升
无穷大
无穷大不是一个数 它反映的是一种动态的趋势 研究这种趋势增长的快慢是很有意义的
计算机算法 N^2 10000N N
如果能够提升量级如平方变成了线性 那么远比提高几倍要来划算的多
不能以有限的经验去得出无限的结论 或者说 这种假设只能在特定场景下使用
无穷小
它也是一种趋势 无限接近于0 但不等于0
极限
无穷大与无穷小
他们之间也可以进行运算
如果两者相乘 那么那么如果无穷大变化趋势更快 结果就是无穷大 相除也是同理
其实不用局限于大小 而是关注趋势
对比不同趋势的快慢 在来引导我们做事
比如个人收入增长小于房价增长
那就要想办法提高收入 而不是想着快速买房 因为你还是买不起
复盘
穷人缺乏的不是想象力 而是没有经验和理论支撑的胡思乱想
世界是动态的 短暂的机遇叫做投机 大趋势下的机会是不容易错过的 借助这个趋势成长赚钱将会超乎想象
做聪明的人而不是精明的人 后者会盯住眼前的利益 前者会看到长期利益
虚拟或抽象的概念可以解决现实生活中的问题 要多运用
没有人靠攒钱发财 重心还是要放在提升自己的能力上
当世界的规律与我们的直觉不一致时 就要借助逻辑分析
生活场景多用比喻 专业场合就需要专业术语
尊重一些理性的对手 正是因为他们不同的意见 才能让我们进步
研究科学获得荣誉 钻研技术获得财富
你要想好自己要成为哪一种人？
几何学
发展
从懵懂的感性认知
到可量化的感性认知
最后总结规律记录并传播开去
我们学习就是这样开始 懵懂的以为学会了
但其实并没有 我们要用自己的语言或者借助度量单位来描述
最终总结经验并记录下来
科学的发展需要的充分条件
对物质生活要求很低 大部分时间用于理性的思考和辩论
没有强权的政治 不同人间有多元的问题角度和看法 相互启发
公理体系
通过10条公理 不断在其基础上证明发现定理 逻辑缜密 让人信服
除了那些客观的 被验证的道理和结论 不要加过多的主观假设
假设很有可能是错的 但我们容易陷入这样的误区中而无法自拔
非欧几何
细节上差10%或者1% 做出来的东西就可能和人不一样
认真仔细真的是一件很难的事情
作为人，基本的设定没问题，活出自己的精彩是对社会的贡献。
解析几何
用代数的方式来解决几何的问题 这个想法确实很超前 即便现在已经习以为常 但第一个开拓者想想都觉得惊艳 笛卡尔这个名字不应该被埋没于中国教科书里
也是一个通过虚构的工具来解决现实问题的好案例
几何与法律
通过公理化系统建立起一个知识体系，体现出人类创造思想的最高水平
自然法的启示
寻找那些不证自明 天然的东西 将其衍生开去 可以指导我们做事
一切动物都被赋予繁殖的权利
那么不应该滥杀和剥夺动物繁殖 导致他们灭绝
解放黑人宣言
直角都相等 人为什么不能平等？
听起来有点扯 但是好的体系应该建立在公平和正义的基础上 否则衍生开去就是剥削和压迫
公司管理
创始人需要建立做事原则和价值观
这样遇到某些事情的时候不会矛盾处理
比如员工第一还是客户第一？
代数学
函数：从静态到动态
函数可以让我们以简单的规律 不断的代入不同变量 最终描绘出那样的趋势
善于运用函数 可以很方便的帮我们解决现实中的问题 凡事不要想当然
函数：公式与因果
圆柱体的提及与圆的半径与高度有关 这两点都是100%的相关性
但相关性不代表决定性 你不能说体积越大的圆柱 半径一定越大 可能是高度很大
在现实中 某件事物可能有着上亿种变量 而这时候把相关变量误解为因果是很危险的 只有排除掉那些其他干扰 才能得出正确结果
向量：方向比努力重要
如果有很多力 但合力如果不是往一个方向的 那其实就被消耗掉了
所以做事不是看聚集几个牛人或同做几件厉害的事
而是确定在这个方向聚焦用力
向量：理解不同维度
余弦竟可用在文本分类 招人上
具体是汇总关键词计算夹角 匹配公司需要的人 做初步筛选
矩阵
矩阵的原型就是单个的向量相乘
但现实问题是复杂的 为了解决批处理的情况 矩阵由此而生
对于那种几百维的运算 矩阵比单个计算好很多 也很直观
微积分
微分
往哪个方向努力？只要算出梯度 沿着最陡的方向努力 收益最大
微分之奇点
导数反映的是某点的变化速率
由此有以下结论
若函数可导 则必定连续 若连续 不一定可导
导数大于0 则原函数增加 导数越大增长越快
导数在某点不连续 则原函数该点不可导 可能是出现了尖尖点
案例分析

第一段销售速率是固定的
第二段则突然下滑 变成负的了 之后慢慢增长
之后两段又出现了不可导的情况 说明发生了某些意外波动 而连续的才是最好的
王老吉的滞后效应
打了广告 反响很好 但是生产滞后了
但现实是复杂的 不确定广告打的效果如何 只能慢慢增加产量 这样就出现了不可导的点 这种现象真的很常见啊 万一效果不好 供给就过剩了
积分
从微观去看宏观变化 它存在滞后效应
就像一个飞轮一样
开始加速 速度也不会马上起来 但是积累到一定时间 会转的飞快
而人总是想着开始努力就有效果 但这其实也存在滞后效应 你得接受它
所以我们常说的 不要急功近利 慢慢来才会看到成效是有道理的
最大最小值
对函数求导 为0点可能是最大最小值
但不能忽略两个点
0值右边可能还是大于0
可能存在多个极值 需要对比大小找到最大值
微积分的发明
很多人都醉心于从零到一的发现，但是真正伟大的发明需要走完从0到N的全过程，这中间有很长的路，任何时候进入相关的领域都不晚 机会永远存在啊
概率 统计 博弈
概率
自然中的随机性很难确定 但是我们可以借助随机实验发现背后的规律
如何理解随机性
试验次数不足 容易出现偶然性和随意性
只有大量实验 才能确保随机性的规律是准确的
越是小概率事件 越是要确保试验的次数比理想的多
所以正确的方法论是提高概率 而不是提高次数
这也变相证明了为什么不要去赌 因为从概率上来讲 你真正能获得的超额收益远小于投入的成本
泊松分布
由于随机性 准备资源的时候要多考虑冗余 在现实世界 没有冗余的系统是不能用的
有时候直觉会欺骗我们 涉及到概率方面的问题 不能想当然
池子越大 越能抵抗随机性
拿保险公司举例 大的保险公司因为投保的人多 每个人只要稍微投一点就行 再加上有再保险的操作 如果有意外基本都能获得理赔 而对于小公司则不一定了 池子太小 可能理赔不了
高斯分布
带随机性的实验 需要有95%的置信度 否则就是不靠谱的
案例分析

重合部分占65% 那么只能有35%的概率说是二班比一班好
置信度就是35%
而为了提高置信度 也就是要缩小重合面积 那就要减少标准差
标准差为1的情况

这时候置信度达95% 很靠谱！
而为了减少标准差 需要增大样本

蓝色是大样本的情况
股市的风险远高于人的想象 要小心谨慎啊！
投资的时候必须要考虑风险而不能只考虑回报
对股市要有敬畏 不要稍微赚点钱就觉得自己是股神了
认清自己的能力 就这点
条件概率与贝叶斯公式
本身概率
没有限制条件下 该事情发生的概率
条件概率
是指某件发生的事的概率在某个限制条件下发生的概率 通常来说这与本身概率是不同的
贝叶斯公式
公式
P(X,Y)=P(Y|X)*P(X) x和y同时发生的概率 等于 x条件下 y发生的概率 乘以 x发生的概率 P(X,Y)=P(X|Y)*P(Y) x和y同时发生的概率 等于 y条件下 x发生的概率 乘以 y发生的概率 两种相等 P(X|Y)*P(Y)=P(Y|X)*P(X) 因此 贝叶斯公式就是 P(X|Y)=P(Y|X)*P(X) / P(Y) 如果等号左边的事情发生概率更难求 那么就通过先求右边的结果 最终得到该事件发生的概率 即 y条件下x发生的概率 = x条件下y发生的概率 * x发生的概率 /y发生的概率
案例
已知一种病在人群中发病的概率为 0.1%，病人去医院检查，检查结果有 90% 的概率是正确的（也就是说，如果一个人真的患了病，医院检查结果告诉他，他有 90% 的概率患病，10% 的概率不患病；如果一个人没有患病，医院检查结果告诉他，他有 10% 的概率患病，90% 的概率不患病），那么给定一个检查结果告诉我患病，那么我事实上真的患病的概率是多少？ 设发病的条件概率是 P(X) 没发病就是P(1-X)记作 P(X') 同理 检查有病的条件概率是 P(Y) 没病是P(Y') 其中 发病的概率 P(X)=0.001 P(X')=0.999 患病下 检查有病的概率是0.9 即 P(Y|X)=0.9 而没发病但检查有病的概率是 P(Y|X')=0.1 反过来 如果检查有病 再患病 即我们要求的是 P(X|Y)是多少？ 我们缺少P(Y) 即患病情况下检查有病的概率【P(X,Y)】+没病情况下检查有病的概率【P(X',Y)】 加起来就是总概率 P(Y)=P(Y|X)*P(X)+P(Y|X')*P(X')=0.9*0.001+0.1*0.999=0.1008 最终得到 P(X|Y)=P(Y|X)*P(X) / P(Y)= 0.9*0.001/0.1008=0.0089 小于百分之一
某件事情发生的概率 要在特定条件下看 而不是想当然
行星撞地球？大概率不会发生
但某个文明操控了行星的轨迹 就很有可能了 加了人为限制条件
解决难题的时候 常常需要架起一座或者几座桥梁 就如同虚数的应用
机器翻译依靠贝叶斯公式 就转化成了数学问题
概率公理化
为什么觉得概率论不美？因为不能用数学语言描述某个公理 使其拓展为概率论大厦
所幸柯尔莫哥洛夫补上了这一点
三个公理
公理一：任何事件的概率是在0和1之间（包含0与1）的一个实数。 公理二：样本空间的概率为1，比如掷骰子，那么从1点朝上，到6点朝上加在一起构成样本空间，这六种情况放到一起的概率为1。 公理三：如果两个随机事件A和B是互斥的，也就是说A发生的话B一定不会发生，那么，这件事发生的概率，就是A单独发生的概率，加上B单独发生的概率。这也被称为互斥事件的加法法则。很好理解，比如掷骰子一点朝上和两点朝上显然是互斥事件，一点或两点任意一种情况发生的概率，就等于只有一点朝上的概率，加上只有两点朝上的概率
大数据
没用好的原因是啥？
如何选定关联变量 体现了人的智慧
低估了数据的稀疏性 样本太小
因果关系没搞明白
如何用好数据
1. 设立研究目标，比如，我们利用数据来证实什么假说，或者得到什么样的相关性。
2. 设计实验，选取数据。这些数据需要能够方便量化处理。比如，你要识别图像，就需要将图像信息数字化，便于计算机处理。
3. 根据实验方案进行统计和实验，分析方差。
4. 通过分析进一步了解数据，提出新假说。
5. 使用研究结果。包括将统计结果用于产品，也包括报告给别人。
零和博弈
多考虑风险而不是收益
把握好出手的时间 出手太早是炮灰 太晚则没了机会
非零和博弈
无条件给人第一次机会 如果背叛 则不会再给机会
智猪博弈
鼓励小企业跟随大企业走 以降低成本
数学的基础
数学与哲学
笛卡尔
实验得出结果 但这可能只是表象 再加上符合逻辑的数学方法 最终得到结果
莱布尼兹
相对的因果时空观
离散的世界观
数学是基础 为了掌握做事的方法 可以多些角度看待问题
哲学
暂时不敢说什么结论 只能说和数学相通 可能看待问题的角度与高度会不同
数学与自然科学
某些学科+数学 将会产生极其强大的作用
推广开去 多种其他学科结合 会发挥出怎样的魔力呢?
数学与逻辑学
同一律
一件事物只能是其本身 切勿偷换概念造成误解
矛盾律
很多时候我们讲的是二象性 即事物的两个方面 这并不违反矛盾律
遵循四个同一 就不会违反矛盾律了
同一时间 同一对象 同一属性 同一方面
排中律
在明确的条件下 都要有明确的是非概念 而不存在中间态
如中国作文是中间态 既要也要 但在西方就一定会选是或否
只能说两种思维的差异 不能说哪个更好
充分条件律
也称为因果律
宇宙中任何事物不能自我解释 即必须依赖于其他事物存在
那好像追溯过去 一切事物的那个源头有因吗？
数学与其他学科
管理学
数学上的公理好比公司的基因
不同公司不同的基因 做事的时候就要根据基因出发 不能胡来
如google 整合全球信息 阿里 让天下没有难做的生意
历史
不强调所谓的正确性或者正统观点，而强调逻辑的自洽。任何从客观出发，逻辑上能自洽的结论都是有意义的。
历史上没有绝对的对错 讲究的是逻辑自洽 这样每个人的理解都可能是不同的 但也正因为这样 研究历史将以不同的形式塑造自身
伽罗瓦与数学难题
看似是知识体系里的内容 但这只是表象 要跳出来从别处找答案
对于伽罗瓦，我恰恰认为，天才反而是诅咒，如果某个人在某方面特别突出，但也可能某方面特别薄弱，他将精力都用在了自己擅长的地方，而那个薄弱点，是他所忽略的，伽罗瓦因决斗而死，有人说他性格偏激，有人说他为了爱情，但我认为或许是他缺失了些什么，这才能体现智商与性格上的平衡，许多天才都死的很早，或许也有类似的原因。
总结
不轻易相信没有根据的结论，一切要从公理出发，用逻辑得到结论；
在解决问题之前先要搞清楚问题，特别是搞清楚问题的定义；
各种知识体系是相通的；
用动态、发展的眼光看待世界