《矩阵论》

在读研究生一枚。参考书为《矩阵论》第二版-杨明（华中科技大学）。发布第一章线性空间全部内容以及后续重点概括。 内容挺难，考试更不易，帮大家少走点弯路，快速上手。

线性代数回顾

• 行列式
  • 用到全排列与逆序数
  • 特殊行列式
    • 上三角/下三角行列式
    • 对角行列式
    • 副对角行列式
  • 性质
    • 行列式转置
    • 行列式D交换两行 变成相反数-D
      • 若有两行相等，则D=0
    • 提系数
      • 行列式有全零行，就D=0
      • 行列式1和k倍关系，D=0
    • 拆行 利用展开式理解行列式
    • 倍加 行列式化简
  • 代数余子式A
    • 余子式M
  • 克莱姆法则
    • 定理
      • 系行列式D
  • 算
    • 定义法，代数余子式
    • 化上三角
      • 任何行列式都能化三角
    • 降阶法
    • 递推
    • 加边升阶法
• 矩阵
  • 逆矩阵性质
    • • 指数整数
  • 矩阵求逆
    • 伴随矩阵/行列式值
    • 增广矩阵法
  • 初等变换
    • 用于分析秩、最大线性无关
    • 行初等变换
      • 数乘、调换、数乘结果作用于其他行
  • 矩阵乘积的行列式
• 向量
  • 最大线性无关向量组 计算方法
    • 列向量α们构成矩阵A 将A初等变换成最简型
• 相似
  • 相似矩阵A和B特征值相同
  • A特征向量线性无关即可把A对角化

线性空间

• 线性空间三要素
  • 数域F，非空集合V
  • 加法和数乘
    • 具备封闭性
  • 满足性质 运算律
    • 加法
      • 交换律
      • 结合律
      • 零向量
        • 谁加0都不变
      • 负向量
        • 存在负向量和a相加为0向量
    • 数乘
      • 数1
        • 1是数域F（实数域R或复数域C）的元素
      • 结合律
      • 分配律
        • 分配数域
        • 分配向量
  • 则称V为数域F的线性空间（向量空间）
    • 数域举例F=R，显而易见 F=C
      • 运算：向量加法和数乘
    • mxn阶矩阵
      • F=R、F=C
      • 运算：矩阵加法和数乘
    • n-1阶多项式空间
      • 这里是实数域
      • 多项式构成的集合空间
      • 运算：多项式的加法和数乘
    • 实函数
      • 函数加法数乘
    • 不一样的线性空间
      • • 定义了特殊运算
        • 注意“0向量”是自然数1
        • a的“负向量”是1/a
• 线性空间抽象
  • 一般形式V(F)
  • 共性
    • 零元素是唯一的
    • 负元素是唯一的
    • 数0和0元素的性质
• 线性空间的基和维数
  • 线性无关
    • 求和=0仅有全部系数都是0，就是线性无关
    • 基：自己线性无关，能表示出V中任意元素
      • 自然基
    • 维数记为dimV=n（n<=∞或n=∞）
      • 拓展：m×n阶矩阵向量的基、维数m×n
  • 常见线性空间
    • 多项式线性空间
    • 复数集C，作为C上线性空间，基可以取1，维数为1 作为R上线性空间，基可以取{1，i}，dim C=2
  • 约定
    • 本课程不研究无限维
  • 定理
  • 坐标
    • 坐标向量-简称坐标
    • 在给定基下的坐标唯一
      • 一一对应
    • • 坐标的理解
        • 乘法，是系数，不是矩阵运算
  • 同构
    • 抽象成函数关系，一一映射，同构
    • 定理：线性关系一致
      • 考察：可以用坐标矩阵的线性关系代表向量线性关系
  • 过渡矩阵
    • α经过度矩阵C获得β
    • C的本质上是坐标
    • C可逆<==>非奇异矩阵|C|≠0<==>列满秩
    • 俩基坐标关系：X=CY
      • α的X β的Y
      • 两组基，坐标
• 子空间
  • W属于Vn（F） 且W非空
    • {0}
      • 特殊，不是线性无关，基不存在，规定维数为0
    • Vn(F)
  • 谁符合？
    • 加法和数乘满足封闭性 其他性质自动成立
  • 例子
    • 对称矩阵
      • 决定下三角就能确定这个矩阵
      • 基是
    • 反对称矩阵
      • 对角线是0才行，维数对称矩阵小
  • 一组基通过组合生成的子空间
    • 可写符号为“span”
  • 的特殊空间
    • 零空间 （AX=0的X构成）
    • 列空间 （以列向量基，组成的空间） （所有的AX构成）
      • 值空间
  • 子空间运算性质
    • 交空间
      • 一定有线性空间的零向量，所以非空
    • 和空间
      • 并空间不一定是子空间
        • 例：x向量和y向量构成的W1W2
      • W1+W2
        • 是子空间
        • W1+W2=L{基合}
  • 维数公式
    • 证明： 基扩充方法
      • 子主题
  • 直和子空间
    • 直和补子空间
• 内积空间
  • 有内积的 线性空间
  • 欧式空间F=R 酉空间F=C
  • 需要满足性质
    • 共轭对称
    • 线性性
    • 正定性
  • 常见内积空间
  • 范数，向量长度
    • 柯西不等式
  • 向量夹角定义
  • 向量内积变成坐标内积关系
    • 内积空间的一组基{α1,...,αn}，两个向量α和β，坐标X和Y 想知道内积怎么用坐标表示：
      • hermite，A^H=A
    • 让A矩阵为单位矩阵
      • • 坐标空间F^n的内积
  • 标准正交基
    • gram-schmidt定理
    • 非奇异矩阵可以分解为标准正交和上三角矩阵乘积
  • 正交补
• 线性变换
  • 定义
  • 性质
    • VnF到VnF
    • 线性性
    • 0的线性变换还是0， 负号可以骑出去， 线性组合kαi系数拿出去， 相关的向量组经线性变换还是相关。
  • 像空间和零空间
    • 定义
    • 含义
    • 秩＆零度 （dim R(T) ＆dim N(T) ）
      • 度
    • 具体例：线性变换T_A 子空间和矩阵A子空间的关系
  • 线性变换的“运算” 多个线性变换
    • 引进运算
    • 加法
    • 乘法
    • 数乘
    • 可逆变换
    • 乘方变换
    • 不可交换
  • 线性变换的 矩阵
    • • 方阵A，每个基的变换结果，用基坐标表示，按列写出变换矩阵
      • 举例如
    • 线性变换的运算 乘加数可逆，矩阵来对应
    • 换个基怎么求矩阵 T(β)变换矩阵B怎么求？
      • • 同一个线性变换的 不同基变换矩阵相似
  • 线性变换的不变子空间
    • 定义
      • W所有向量α经线性变换T还在这个W空间里
    • 用直和关系，划分VnF为s个 线性不变子空间，T(所有基)=（基) · 准对角矩阵
      • 推广到k个子空间分解
  • 正交变换和酉变换
    • 不改变内积
    • 变换的内积=原内积，则T是内积空间Vn(F)的正交变换
    • 等价命题
      • T是正交（酉）变换
      • T保持向量长度不变
      • T把V（F）的标准正交基变成标准正交基
      • 正交矩阵和酉矩阵的逆是(共轭)转置
    • 正交矩阵/酉矩阵 在标准正交基下就是
      • 模1逆传递，标准正交基
  • 正交变换举例
    • 旋转
      • 旋转变换
    • 推广三维
• Vn->Vm不考试
• 矩阵转置
• 共轭运算

Jordan标准形

• 线变的 特征值和特征向量
  • 线性变换的特征值 转换为矩阵的
  • 求线变T的特征值、特征向量 就是求矩阵A的
    • 换个鸡，特征值λ是不变的
    • 解读：找一组基，求线性变换过渡矩阵A，特征向量X 线性变换的特征向量ξ=(α1 ... αn)X
    • 证明：线变T特征值和特征向量 =>矩阵A特征向量相同
  • 特征向量的空间性质
    • 定义特征子空间 所有特征向量和0向量
    • 特征子空间性质
      • • 经变换还在空间内
      • • 直和
  • 线性变换矩阵的 对角化
    • T有对角矩阵<==>T有n个线性无关特征向量 <==>空间Vn(F)分解所有为特征子空间的直和
• Jordan矩阵 相似标准型“万金油”
  • Σdim<n的情况，不能进行对角化， 怎么办？ 那么Jordan来！Long live Jordan！
  • • Jordan块
      • 主对角是λ
      • 准对角矩阵：若干Jordan块构成
    • 求方阵A的 Jordan标准型
      • 特征值λi重数 = Ji（λi）阶数 线性无关特征向量αi的个数 = Jordan链个数 = Ji（λi）中Jordan块个数
• 最小多项式

矩阵的分解

• 常标准型
• 分解
  • LU下上三角 LDV下上三角（对角为1）和对角矩阵
    • 矩阵A增广矩阵求到上三角，增广部分PA=U，求P的逆
    • 在LU基础上，每行除以该行对角，提取对角矩阵
  • 满秩分解
  • 谱分解
• 奇异值分解
• 主题

广义逆

• 左逆
• 右逆
• 减号广义逆（不考，了解即可）
  • 定理
• 加号逆（重点）
  • 定义
  • 加号逆唯一
  • 求法
    • 满秩分解
      • https://zhuanlan.zhihu.com/p/344306107
    • 奇异值分解
• 投影变换
  • 定义
  • 正交投影
• 最佳最小二乘解
  • 重点加号逆求解

中心主题

• 范数
  • 赋范空间正定性、齐次性、三角不等式
  • p-范数
• 主题
• 主题