Z变换（离散信号的拉式变换）

上篇介绍连续信号拉氏变换，离散信号该怎么办呢。Z变换就来了。包括：定义、收敛域ROC、由X(z)求x[n]如何计算围线积分、z平面几何法、计算傅氏变化、单边z变换、性质。 整活，让知识自己说话~

Z变换---衰减

定义

信号时域乘以 做傅氏变换

离傅

来的时候拖儿带女累加和 走的时候孑然一身一周期

横扫时域

全盘扫描 C是ROC逆时针闭合曲线

与傅氏变换关系

离散信号绝对可和是傅氏变换的充分条件

前提是存在

z平面收敛域包含单位圆

收敛域ROC

正项级数判别法 （微积分级数收敛）

比值判别法

根植判别法

引出收敛域问题两个方向

性质

圆环 极坐标

收敛域无极点

信号

时限信号z全屏

讨论0和∞点 收敛域里X(z)<∞

右边序列收敛域是大员外

因果序列，ROC包含无穷远

说一个信号是因果信号，是因为信号初始松弛，起始于n>0

左边序列ROC是院内小伙伴

反因果序列，ROC包含z=0

双边序列的ROC上环

z变换是有理变换，极点界定ROC

有理变换，右边序列，ROC是最大极点外圆

因果序列，再包养∞

有理变换，左边序列，ROC是最小极点院内

反因果，包了0

由X(z)求x[n] 如何计算围线积分

留数定理

复变里算留数用奇点， 无穷远

具体而言

C外极点需考虑无穷远点

解读

1) X(z)z`n-1 当n>n0, 被积函数可解 当n<n0,原点处极点阶次变啊变,留数不好求， 那就节外生枝

2) 因果序列+反因果序列

是环的情况

计算极点

一阶极点

重阶极点

无穷远极点

这样一变换，看 0不是奇点/或是可去奇点→留数为0

长除法

先告诉我,你是哪种类型

本质幂级数 X(z)在z=0处展开

归纳出系数即x[n]

因果序列

降幂,商负幂项

反因果序列

升幂,商正幂项

双边序列

因果+反因果

万不得已要必杀技 泰勒级数

部分分式展开

造反?"有理"才行!

单阶极点

多阶极点

然后根据ROC和有理公式解出

z平面几何法计算傅氏变化

有理式看作向量运算

在符合向量规则下 起点向单位圆做向量

模相乘除 角相加减

单边z变换

因果序列单双号同行

ROC一定是圆外区域

逆变换求解

只能知道后来发生了什么

长除法

留数法

公式

性质

时域卷积

因果序列才能去卷

累加和

时域延时

时域超前

应用

解非零初值问题

先做单边变换

由输入引起的响应+由初值引起的响应

可能需要做迭代找到合适的初值

性质

线性性

收敛域看交集

移

时移

Z频移

旋转

反褶

z平面关于单位圆反褶

时域扩展

插0

圆环均变成原来的

时域扩展对应z域收缩

共轭

卷积

应用单边信号,如

差分

z域微分

累加和

两定理

初值定理

前提：因果序列

证明

复平面极点数大于零点数

终值定理

前提：因果序列,(z-1)X(z)有单位圆

证明

乘法

条件

结论

特例ρ=r=1

帕森瓦尔关系

条件

结论 注意,是等号

ZT&LT

z平面s平面

映射关系

系统函数

要分析因果性和稳定性

LTI线性非移变系统 卷积可用

有理式

因果系统=最外极点的外，无穷远有定义

因果稳定LTI系统

H(z)所有极点都在单位圆内

全通系统

幅度响应为常数

e四个点 极点都在圆内，零点在外 ek和1/ek一般不共象限

最小相位系统

零点极点都在里面 逆系统一定存在，可级联原系统生成恒等系统

零状态响应

初值为0:条件

h[n]求法

Z变换

微分方程,求H(z)

n-1对应1/z

n+1对应z

注意

特征函数特征值利用系统函数

框图

基本器件

加法器

数乘器

延时器

研究有理H(z)

连接形式 还是1/（z-b）的形式

直接型

串联型

并联型

子承父志 母平反

梅森公式

x(n)

实序列

X（ejw）是共轭对称序列

实的偶序列

实偶

下标e、o指的是共轭对称/反对称序列

常用双边公式

源于定义

时移

时移

数字滤波器

IIR

kuu

FIR

直接型

线性相位FIR

零点4兄弟

系数序列对称

流图简洁

由模拟设计数字

冲激响应不变法

LP、BP

类比频域采样，有

操作

一步到位

双线性变换法

稳定的

LP、HP、BP、BS

s到z映射关系

转换关系

可用预畸变

设计数字滤波器

Butterworth滤波器

模拟的幅方响应

N阶数

极点在哪