人卫第8版《卫生统计学》第八章《多个均数比较的方差分析》

正式开始学习具体的统计分析方法啦~这一章的内容比较多，而且对于初学者来说比较难，但是不要着急，可以学完后面的其他统计方法再回头看看！温故而知新哦！

第八章 多个均数比较的方差分析

• 概述
  • 本章逻辑
    • 整体比较
      • 是否全部相等
      • 不考虑混杂因素（单因素）：完全随机设计，对应单个F值
      • 考虑混杂因素（双因素）：随机区组设计，对应两个F值
    • 多重比较
      • 两两是否相等
      • SNK法、Dunnctt-t法、Bonfcrroni法
        • 注意区分适用情形
    • 应用条件： 独立、正态、方差齐
  • 需解决的问题：两个总体均数间的比较我们可以使用t检验，而实际研究中经常遇到多个均数的比较问题
  • 1、多次t检验进行多个均数的比较会增大发生发生第Ⅰ类错误的概率，因此，t检验不能直接用于多个均数的比较
  • 2、多于对个均数比较的常用方法是方差分析，也称F检验。其目的是推断多个样本所代表的总体均数是否不等
  • 3、完全随机设计的方差分析是将研究对象通过完全随机化方法，分配至多个不同的处理组，比较多组的效应指标是否存在差异，亦称为单向方差分析
• 完全随机设计的方差分析
  • 基本思想
    • 1、方差是反映数据变异程度的统计指标→利用方差的概念对变异度进行分解→方差分析=变异度分析
    • 2、基本思想：根据研究目的和设计类型，将全部观察值的总变异分解为两个或多个部分，各部分的变异可由不同处理因素的影响效应或误差的效应解释，将各影响因素产生的变异与随机误差变异进行比较，以推断该因素是否存在影响效应
    • 3、方差≠均方（MS）
  • 方差分析的基本思想推导
    • 观察数据基本特征
      • 观察各组数据的分散程度以及总均数的分散程度
      • 箱式图→数据是否对称，中位数与均数的相对位置，各组数据差异
    • 总变异的分解
      • 随机误差效应
        • 1、同一组内的效应存在差异，归因于个体差异与测量差异，即随机误差
        • 2、若处理因素对实验对象无影响，即各组的总体均数相等，则组间的变异和组内的变异相当，均反映的是随机误差效应
      • 变异的分解
        • 1、对于每一个个体观察值均有 (个体的全部变异=组间变异+组内变异），
        • 2、代数计算可以证明：  （即总变异=组间变异+组内变异）
        • （1）总变异：表示所有个体总的离均差平方和，即为，反映每个个体观测值与总均数之间的差异，该变异既包含：处理因素的效应+随机误差的效应
        • （2）组间变异：表示每组均数与总均数的离均差平方和,，即为。，反映：不同处理（组间）效应+随机误差的效应
          • 表示第i组所有个体的组间变异之和
            • ni指的是第i组的个数
          • 为各组样本均数与总均数间的差异
        • （3）组内变异：表示组内每个个体与组内均数的离均差平方和，即为，反映：随机误差效应
        • 总变异可以分解为两个部分：组间变异和组内变异
  • 方差分析的F统计量
    • 1、变异的分解只考虑了变异的总和，而未考虑组数与组内个体对变异的影响。例如组内个体数目增加，SS组内必然增加，为了校正组数与组内个体数对变异的影响，我们在比较不同类型变异大小时，须考虑每种类型的平均变异。
    • 2、此处将SS组间除以自由度（k-1），从而得到组间的平均效应MS(组间），k为组数： 
    • 3、同理，随机误差的平均效应MS组内，表示： 
    • 4、总自由度v总=n-1，n为观测总例数，其中，自由度是指有效的变异个数（保证样本方差的无偏性）
    • 5、若H0成立，那么MS组间与MS组内的比值理论上应该非常接近1。判断比值是否极端可采用第七章学习的F统计量。
    • 6、数理统计理论表明MS组间（较大）/MS组内（较小）服从自由度为v组间和v组内的F分布 
    • 6、对于F分布，F值越大，对应的P值就越小
    • 补充
      • 一个正态分布可以由两个参数（均值和方差）完全确定，单向方差分析假设所有总体方差相同（即形态相同）。所以要检验所有总体均数是否相等，也就是要检验所有样本是否来自一个总体
      • 进行方差分析的前提是：各个样本对应的总体方差相等（说明了各组内变异水平相当）
      • 方差分析的零假设为：各个样本对应的总体均数相等
      • 若零假设为真，样本均数是总体均数的无偏估计，则抽样数据得到的F值应该接近于1；如果零假设不真，则F值会显著大于1
      • 这样就可以通过F检验的方式来检验各总体均数是否相等（样本是否来自同一总体）
  • 假设检验
    • 1、建立检验假设，确定检验水准 H0： H1： α= 2、计算检验统计量——F统计量的计算 变异来源 离均差平方和SS 自由度 均方MS F值 P值 总变异 SS总 v总=n-1 组间变异 SS组间 v组间=k-1 MS组间=SS组间/v组间 F=MS组间/MS组内 组内变异 SS组内 v组内=n-k MS组内=SS组内/v组内 3、确定P值，作出判断
    • 1、建立检验假设，确定检验水准 H0： H1：不全相等（只能进行双侧检验） α=
    • 2、计算检验统计量——F统计量的计算
      • • 分母是组内变异
    • 3、确定P值，作出判断
      • 方差分析进行的是双侧检验，但查得是单侧界值，因为组间一般大于组内，所以不太可能小于1
      • 总体均数不全相等，即至少有两个总体均数不等
  • 应用条件
    • 完全随机设计的方差分析只涉及一个研究因素，因此，除了用于随机分组的实验性研究外，也常用于基于随机抽样的观察性研究多个均数的比较
    • 独立性
      • 各样本是相互独立的随机样本，个体观测值间相互独立
    • 正态性
      • 1、各样本均来自于正态分布总体
      • 2、当样本含量较小时，对数据是否来自正态分布总体难以进行直观判断和检验，常常凭借经验和数据来源判断
      • 3、当样本含量较大时，根据中心极限定理，样本均数的抽样分布往往服从或近似服从正态分布，此时只要满足方差齐性，方差分析的结果就具有稳健性
      • 4、但当数据严重偏离正态分布时，则应考虑做数据转换改善其正态性
    • 方差齐性
      • 1、各样本所对应的总体方差相等
        • 我们运用方差分析时，分析的是方差，但推断的是均值
        • 因为如果方差不齐，就不能确定它们均值的不同是因为形状（σ）的不同还是位置（μ）的不同
      • 2、方差分析中对方差齐性要求较严格，通常采用方差齐性检验
        • 方差齐性检验时α通常设置为0.1
      • 3、方法
        • F检验（第七章）
          • 仅用于两总体方差对比
        • Bartlett卡方检验（通常要求数据满足正态性）
        • Levene检验——两个或多个总体方差齐性检验
          • 不依赖数据的分布类型
          • 基本原理：将原始观测值转换为相应的离差值
          • 离差值一般采用公式计算
          • 也可采用公式计算
          • 然后对离差值进行单因素方差分析
          • 若各组总体方差相等，则组间变异与组内变异接近，F值接近于1.
      • 残差图——图示法检验正态性和方差齐性
        • 1、残差图可以同时考察正态性和方差齐性是否满足，是最为简单、直观和有效的可视化图形判断
        • 2、对于完全随机设计，假定方差分析模型为，即每个观察值可以表示为处理的平均效应+不能由处理所解释的效应（残差或剩余）。
        • 3、通常用各组的样本均数作为总体均数的估计值，每个个体的残差估计值为： 
        • 4、若数据满足正态性和方差齐性，则各组残差值服从正态分布且方差齐，标准化的残差值服从标准正态分布，其残差值应该在±2之间随机波动，不具有特殊的分布结构
• 随机区组设计的方差分析
  • 基本思想
    • 1、随机区组设计：通常是将受试对象按影响实验效应的混杂因素特征（如动物的窝别、性别、体重等）相同或相近者组成b个区组（配伍组），每个区组中包含k个个体，再将其完全随机分配至k个不同的处理组，以保证混杂因素影响的组间均衡可比性，从而比较k个处理组效应的差异
    • 2、随机区组设计是按区组和处理组两个方向分析
    • 3、处理组与区组的各水平交叉格子没有重复例数，即总例数n=kb。因此随机区组设计的方差分析也成为无重复数据的双向方差分析（two-way ANOVA）
      • 双因素：处理因素+混杂因素
  • 应用情形
    • 将n个研究对象按照影响研究效应的混杂因素特征配成区组，再将每个区组的k个个体随机分配至k个处理组。
      • 1、不仅可以用于实验研究，还可以用于观察研究
      • 2、如比较不同卫生服务人员（社区医生、社区护士以及公共卫生人员）的期望收入指数是否存在差别
        • 将三类人群按社区中心、性别以及年龄先匹配为一个区组
        • 再调查其期望收入指数情况
        • 可控制地域、性别、年龄对收入期望不同的影响
        • 并按照随机区组设计的方法分析进行比较
    • 将同一个样品分成k份，分别采用k中不同的处理
      • 如将每个离体儿童龋牙，切割成四份，分别放置在4中酸蚀液中，比较不同腐蚀液的龋齿脱矿能力指数
    • 同一研究对象k个部位的处理效应比较
  • 变异分解
    • 三部分
      • 1、
        • 处理组间：反映处理因素的平均效应+误差效应
        • 区组间：反映区组的平均效应+误差效应
      • 2、
      • 3、此时可以计算两个F值
        • 一个是处理组的F处理→用于推断处理组间多个总体均数是否存在差异
        • 一个是区组的F区组→用于推断区组间多个总体均数是否存在差异
    • 随机区组设计方差分析表
      • 变异来源 离均差平方和SS 自由度 均方MS F值 总变异 SS总 v总=n-1 处理组 SS处理 v处理=k-1 MS处理=SS处理/v处理 F处理=MS处理/MS误差 区组 SS区间 v区间=b-1 MS区间=SS区间/v区间 F区间=MS区间/MS误差 误差 SS误差=SS总-SS处理-SS误差 v误差=（k-1）（b-1） MS误差=SS误差/v误差
      • • 分母是误差均方
    • 补充
      • 1、相比于完全随机设计，随机区组设计的效率更高，样本量相同时，其处理组间均衡性好于完全随机设计
      • 2、随机区组设计方差分析检验效能高于完全随机设计
      • 3、完全随机设计的方差分析是两组t检验的扩展，对于两个独立均数比较的情形，存在F=t^2
      • 4、随机区组设计的方差分析是配对t检验的扩展，对于两个处理组比较的情形，存在F=t2
      • 5、当区组的检验结果为“不拒绝H0”即区组间的差异无统计学意义时，可考虑把SS区组与SS误差合并，重新计算处理组间的F值来做组间差异的比较
  • 假设检验
    • （1）建立假设检验，确定检验水准
      • 对于处理组 H0： H1：
      • 对于区组 H0： H1：
      • α=0.05
    • （2）计算检验统计量
    • （3）确定P值，作出推断
      • 相当于完全随机设计做了两遍
      • 对于区组效应而言，……
      • 对于处理效应而言，……
  • 应用条件
    • 与完全随机设计相同
    • 分别对处理组间以及区组间进行正态性和方差齐性检验
      • 1、因为随机区组设计为无重复的两因素设计，处理因素和区组因素各水平数交叉的格子内无重复数据，不能对格子间进行正态性和方差齐性检验，但至少处理组间、区组间数据应满足正态性和方差齐性
      • 2、若其中之一严重违背正态性或方差齐性，则不能满足方差分析的应用条件，可采用后续章节介绍的非参数检验
• 多个样本均数间的多重比较方法
  • 目的：明确那些组之间存在差异
  • 常用的多重比较分为两种情形
    • 在研究阶段未预料到，经数据结果提示后决定做两两比较，往往涉及到每两个均数的比较，SNK法和Bonfferoni法等检验，进行探索性研究
    • 设计阶段根据专业知识计划好的某些均数间的两两比较，一个对照与多个实验组等，Dunnett-t，LSD-t等检验，进行验证性研究
    • 注意：原则上只有在经过多个均数的方差分析，发现均数不全相等（α≤0.05）之后，才有必要进行多个均数间的多重比较
  • SNK法=q检验
    • 比较次数m=
    • 探索性研究设计实施时，未考虑均数多重比较问题
    • 目的：比较两个样本均数所代表的总体均数是否不同（任意两组）
    • 检验统计量q
      • 
  • Dunnett-t法
    • 本质上t检验
    • m=k-1
    • 对于k个组，当需其中的（k-1）个实验组均与同一个对照组进行比较，说明各实验组相对于对照组是否存在统计学差异时，只需进行（k-1）次比较，通常采用Dunnett-t法。
  • Bonferroni法
    • 本质上是t检验
    • m=
    • 若每检验水准为α'，共进行m次比较，当H0为真时，犯第Ⅰ类错误的累积概率部超过mα'，这就是著名的Bonferroni不等式
    • 调整检验水准α'=α/m（比较次数）
    • 当比较次数过多，如m超过10次以上时，调整的检验水准会过低，多重比较可能会出现不拒绝H0的假阴性结果，即增大犯Ⅱ类错误的概率
      • 会增大第Ⅱ类错误的概率
• 补充
  • 方差分析与方差齐性检验对比
    • 相同点
      • 都采用F统计量
    • 不同点
      • 方差齐性检验通常是双侧检验，双侧界值；方差分析是双侧检验，单侧界值
      • 方差齐性检验应用条件为：独立、正态；方差分析的应用条件为：独立、正态、方差齐
      • 方差齐性检验分析的是两总体方差是否相等；方差分析则是针对多个总体均数
  • 方差分析与t检验对比
    • 相同点
      • 都可用于两个均数的比较，且对应的t^2=F
      • 适用条件类似：独立、正态、方差齐
    • 不同点
      • 方差分析可用于多个均数间的比较；t检验只能用于两个均数
      • 方差分析不能进行置信区间估计（本教材所涉及的置信区间估计采用的多是z分布或t分布）