平面向量

一张思维导图带你学习平面向量的知识点，包括平面向量的概念、平面向量的运算、平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的应用。

平面向量

平面向量概念

概念

既有大小，又有方向的量叫向量

如力，位移，速度等

只有大小，没有方向的量叫数量

如年龄，长度，面积等

几何表示

具有方向的线段叫有向线段

向量AB的大小称为向量AB的长度﹝或称模﹞

记作向量|AB|

长度为0的向量叫做零向量

记作0

零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a

长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量

相等向量与共线向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量

向量a与b平行，记作a∥b

平行向量没有传递性

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量

用有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b

平行向量也叫做共线向量

平面向量的运算

向量的加法运算

概念：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

方法

三角形法则

首尾相连，起点指终点

平行四边形法则

共起点，对角线

规定：对于零向量与任意向量a

a+0=0+a=a

｜|向量a-向量b|｜≤｜向量a+向量b｜

共线且反向取=

｜向量a+向量b｜≤｜向量a｜+｜向量b｜

共线且同向时取=

向量的减法运算

规定：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量

记作-a

-(-a)=a

概念：求两个向量差的运算叫做向量的减法

减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量

向量的数乘运算

规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘

记作λa

｜λa｜=｜λa｜｜a｜

当λ﹥0时，λa的方向与a的方向相同

当λ﹤0时，λa的方向与a的方向相反

运算律

1.λ(μa)=(λμ)a

2.(λ+μ)a=λa+μa

3.λ(a+b)=λa+λb

4.(-λ)a=-(λa)=λ(-a)

5.λ(a-b)=λa-λb

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa

向量的数量积

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量OA=a，向量OB=b，则∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角

θ=0时，a与b同向；θ=π时，a与b反向

θ=90°，我们说a与b垂直

记作a⊥b

我们把数量｜a｜｜b｜cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)记作a·b

a·b=｜a｜｜b｜cosθ

规定：零向量与任一向量的数量积为0

过向量AB的起点A和终点B，分别作向量CD所在直线的垂直，垂足分别A1,B1,得到向量A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，向量A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量

算法1：a·e=e·a=｜a｜cosθ

算法2：a⊥b a·b=0

算法3：a与b同向，a·b=｜a｜｜b｜；a与b反向，a·b=-｜a｜｜b｜

算法：｜a·b｜≤｜a｜｜b｜

运算律

a·b=b·a

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

(a+b)·c=a·c+b·c

平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理

如果e₁，e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ₁，λ₂，使a=λ₁e₁+λ₂e₂

若e₁，e₂不共线，我们把｛e₁，e₂｝叫做表示这一平面向量内所有向量的一个基底

平面向量的正交分解及坐标表示

概念:把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解

选取互相垂直的向量作基底

平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）

x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=（x，y)叫做向量a的坐标表示

平面向量加、减运算表示

两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）

a+b=(x₁+x₂,y₁+y₂)

a-b=(x₁-x₂,y₁+y₂)

求有向线段的坐标

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

向量AB=向量OB-向量OA=（x₂，y₂）-（x₁，y₁）=（x₂-x₁,y₂-y₁)

平面向量数乘运算的坐标表示

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

λa=λ（xi+yj）=λxi+λyj

λa=（λx，λy)

a=（x₁,y₁)，b=（x₂,y₂），b≠0，a与b共线的充要条件是存在实数λ

向量a，b共线的充要条件是x₁y₂-x₂y₁=0

平面向量的数量积的坐标表示

概念：两个向量的数量等于它们对应坐标的乘积的和

a=（x，y），则｜a｜²=x²+y²，｜a｜=√x²+y²

表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），那么a=（x₂-x₁，y₂-y₁），｜a｜=√（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²

a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂）则a⊥b x₁x₂+y₁y₂=0

a，b都是非零向量，a=（x₁，y₁），b=（y₂，y₂），θ是a，b的夹角，则cosθ=a·b/｜a｜｜b｜=x₁x₂+y₁y₂/√x₁²+y₁²√x₂²+y₂²

a在b投影｜a｜cosθ=a·b/｜b｜

平面向量的应用

平面几何中的向量方法

用向量方法解决平面几何的“三部曲”

1建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

2通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

3把运算结果“翻译”成几何问题。

向量在物理中的应用举例

由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道

｜F₁｜=｜G｜/2cosθ/2

小船过河问题

余弦定理

余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍即a²=b²+c²-2bc cosA,b²=c²+a²-2ca cosB,c²=a²+b²-2ab cosC

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形

正弦定理

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC

补充：S▲=1/2ab sinC