考研高数极限知识点篇

函数、极限、连续 1. 当遇到 的题目时,要先从x的定义域出发求出第一个f(x)的值域,之后再将这个值域作为 下一个函数的定义域“输入”进去。 2. 当遇到多个分段...

考研高数 极限知识点篇

预备知识整理

函数的概念与特性

函数反函数

注：严格单调函数必有反函数，反之不一定成立

注：反函数三角换元要指明区间（积分）

题型1:求反函数

方法：将x，y对换，而后化简变为目标答案

需要注意因变量取值范围

需要注意根号正负

注：对于特殊情况，如根号ln等，可以使用共轭思想进行计算

复合函数

题型1：抽象函数求复合函数

方法

广义化、画图、写答案

题型2:对复合函数求导

链式求导法则

题型3：对复合函数求原函数

配凑出“自变量”

换元法

函数的四个特性

有界性｜f(x)｜<=M

注：说明有界需要指明区间

单调性

证明单调方法

求导

定义法（通常用于数列）

奇偶性

概念

奇函数

关于原点对称

f(0) = 0

偶函数

关于y轴对称

f(0)'=0

对称性

关于y轴对称

偶函数

关于原点对称

奇函数

对于x=T对称

神秘的数字0、1

奇函数f(0)=0

拉格朗日

神秘数字1

e的零次方 = 1

拉格朗日

乘除法隐藏

双曲正弦函数（奇函数）

幂级数展开式

求导、求积分

注：对于复合函数，外偶则偶，内奇同外

即外面有偶函数，则整体为偶函数

内部是奇函数，则奇偶性同外面

周期性

积分周期性

加奇函数条件，则0到t内积分值为0

重要结论

可导的偶函数，导函数为奇函数

可导的奇函数，导函数为偶函数

可导的周期函数，导函数为周期函数

奇函数一切原函数为偶函数

偶函数的原函数只有一个函数为奇函数

周期函数且 0到t积分值 为0，则f(x)原函数也是周期函数

f(x)在(a,b)内可导，且导函数有界，则f(x)在(a,b)内有界

可用拉格朗日证明

函数变化率影响函数的值

函数图像

直角坐标系下

常见图像

常函数y=A(A为常数)

偶函数

题型1：找原函数，计算A值

y=A

题型2:找交点个数

题型3:计算概率分布（概率论）

幂函数y=

y=x

对称性（普通对称性、轮换对称性）

研究单调性

可用u来研究最值

可用｜u｜研究最值

见到连乘形式u1u2u3，可以用lnu1+lnu2+lnu3研究最值

求导

极大似然估计

可以用u研究最值

指数函数

注意复合函数

e的无穷次方求极限

极限不存在

原因：极限唯一性

对数函数

注：x趋向与无穷的速度极慢

xlnx求极限 = 0

幂指函数

方法

化成以e为底，而后进行计算

三角函数

sinx

不等式进行放缩sinx<x

sinx一拱面积为2

tanx

在计算时可以适当化为sinx/cosx

secx（1/cosx）

注意灵活写法，根据情况变成1/cosx，进行计算

注意换元时区间

单调区间取（0，π/2）

正区间取（-π/2，π/2）

反三角函数

arcsinx+arccosx=π/2

证明：

1.求导为0

2.取特殊值

arctanx+arccotx=π/2

初等函数

幂指函数

图像要会

分段函数

绝对值函数

符号函数

二重积分的积分区域

取整函数

x-1<[x]<=x

用于夹逼准则

在0位置的极限

x->0+，极限为0

x->0-，极限为-1

图像变换

平移变换

上下平移

左右平移

对称变换

关于x轴对称

关于y轴对称

关于原点对称

关于直线y=x对称

计算反函数

子主题

x轴上侧保留，下侧对称

函数加绝对值

y轴右侧保留，左侧对称

变量加绝对值

伸缩变换

极坐标系下

作图方法

1.先画直角坐标系下图

2.对应到极坐标下

常见图形

心形线

玫瑰线

阿基米德螺线

伯努利双钮线

参数方程

平摆线

星形线（内摆线）

曲线积分+曲面积分

常用基础知识

数列

通项公式、求和公式

常见数列前n项和

=n(n+1)/2

=n(n+1)(2n+1)/6

用途：求方差D(ax)=a方D(x)

=n/(n+1)

通常用于放缩法

注：等比数列（1为首项）求和公式，当取极限时

极限结果为1/（1-r）

注意：公比为常数，否则不一定成立

三角函数

基本转换关系（六边形）

诱导公式

重要公式

倍角公式

半角公式

和差公式

指数运算

基本公式

对数运算

公式

乘法

除法

开方

乘方

多个多项式相乘相除，取对数运算

ln（1+1/x）=ln(1+x)-lnx

多用于拉格朗日

一元二次方程

求根公式

顶点坐标

韦达定理

常微分方程

因式分解公式

多项式相乘相除，三次方等

阶乘与双阶乘

阶乘

伽马函数

计算连续型随机变量复杂函数的数学期望

双阶乘

点火公式（华里氏公式）

常用不等式

十个

用于放缩法，夹逼准则等等

数列极限

重在证明

夹逼准则

单调有界

引言及定义

-N语言

题型1(证明):直接证明极限是多少

方法（三步走）：

1.先写距离｜xn-a｜<

注：a为极限值

xn为通项

2.反解出n的范围，n>g()

3.取N=「g(xx)」+1

4.而后写步骤

题型2(证明)：已知一极限，证明另一极限

方法：

1.根据给定的极限，写出相应的xx-N语言

2.通过不等式等，与上述极限建立联系

3.化简至目标的xx-N语言，得出结论

数列极限性质

唯一性

若极限存在，则极限唯一

注：极限、导数、积分均具有唯一性

有界性

若极限存在，则极限有界

注：注意绝对值

保号性

若极限大于零，则通项大于零

推论：从某项起，通项大于等于零，则极限大于等于零

用途：当得出结果不唯一时，用于取舍

运算规则（四则运算）（辅助）

极限加减乘除运算

注：通常进行逆向拆分运算，自己构造相关函数

用途：也可用于证明极限存在性

夹逼准则

通常与不等式等结合，进行放缩

注：通向尽可能小的放缩

注：两端不验证等号，可以根据实际情况进行放缩

附：解决固定类型题目：多个多项式相加

多个多项式相加求极限，一般为夹逼准则或定积分定义， 若能找到i/n则用定积分定义 找不到i/n则用夹逼准则

单调有界准则

遇到数列递推式

单调性

通常用定义法进行判断

结合不等式、函数等进行判断

有界性

结合不等式、函数自身范围特点进行判断

验证极限存在

附：收敛数列及其子数列收敛关系

若数列收敛，则子数列也收敛，且收敛于同一极限

可用于判断数列发散

子数列中找到一个发散的就可以

或子数列收敛与不同极限

附解题思路

由于an->A 可推出｜an｜->|A|. 想证明 an趋近于0，可以转化证明｜an｜->0,而后使用夹逼准则， 即|an|<=0,即可。只需要证明一半就可以了

求极限（或证明极限的存在性）

函数极限与连续性

重在计算

邻域

一种逼近思想

逼近方式

从左逼近

从右逼近

左右极限

要结合极限的唯一性

函数极限定义

要会写xx-dete语言（精确定义）

趋近于x的3种逼近（显微镜）

趋近于x（左右逼近）

趋近于x负（左逼近）

趋近于x正（右逼近）

趋近于无穷的三种逼近（望远镜）

趋近于无穷

趋近于正无穷

趋近于负无穷

四步走

1.对于任意xx>0

2.存在dete>0

3.当|x-x0｜<dete

x0、绝对值随具体情况变化而变化

4.有｜f(x)-极限值｜<xx

函数极限存在的充要条件

左极限=右极限（前提是两者均存在）

等式脱帽法

limf(x) = A相当于f(x)=A+g(x),g(x)极限为零

解释：将极限的帽子脱掉，变成极限值+高阶无穷小函数的表达式

用途：用于求解虚拟的f(x),并代入到最终的结果中

注：g(x)是高阶无穷小

注：多元函数也会使用

对应相关考题

计算

给出f(x)表达式，计算最后与f(x)相关的表达式的值

函数极限的性质

唯一性

若极限存在，则极限唯一

当x趋近于无穷或趋近于某特殊值，几个重要函数的极限不存在问题

指数函数

趋近于无穷极限不存在

例：exp{x}

绝对值函数

趋近于零时，由于正负号改变，可能极限不存在

如sin x/|x|

反三角函数

趋近于无穷时，极限不唯一

例：arctanx

取整函数

在整数点（如x=0）处，极限不存在

例：[x]

局部有界性

定义：

当x趋近于x0时，极限若存在，则f(x)有界

反之不一定成立

例：｜sinx｜<=1

性质：

f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界

f(x)在(a,b)上连续，则需计算a的右极限和b的左极限

方可判断有界

f(x)'在(a,b)上有界，则函数在该区间内有界

判断有界的方法

局部保号性

定义：

当x趋近于x0时,limf(x)=A>0，则f(x)>0

推论：

当x趋近于x0时f(x)>=0，且limf(x)=A,则推出A>=0

要学会使用xx-dete语言证明保号性（书本35页）

1.先写四步xx-dete语言

2.取xx = A/2

注意取A/2的含义，是不影响函数值的

注意：脱帽法严格不等号，戴帽法非严格不等号

函数极限的概念和性质

函数极限运算规则

前提：两个函数极限均存在

定义：

两个函数加减乘除的极限等于极限的加减乘除

夹逼准则

满足条件

1.g(x)<=f(x)<=h(x)

注：不关心有无等号

2.limg(x)=A limh(x)=A

数列同理

概要

得出结论：f(x)存在，且极限值等于A

注意事项

不能用【h(x)-g(x)】的极限值等于0进行计算，g(x)和h(x)要区别对待

洛必达法则

适用条件：

1.零比零｜｜无穷比无穷

2.f(x)与F(x)均可导，且F(x)'不为零

3.洛完之后的函数，极限值存在

否则本方法无效

注意事项：

一般情况下，多次求导

求导后，检查是否符合第三条适用条件

求导过程中，可结合无穷小替换

常数项和趋于常数项（如cos0=1）等，在计算过程中可以向外挪

泰勒公式

考点

1.逆向思维

2.计算时，多为复合函数

注意整体进行计算

内容

记忆8个公式

高阶无穷小的计算规则

1."低阶"吸收"高阶"（加减法时）

2.阶数累加（乘法时）

3.非零常数项相乘，不影响阶数

泰勒展开项数注意

1.“上下同阶”原则（A/B）

适用

分数上下有一个次数是确定的

内容

展开至确定的幂次即可

2.“幂次最低”原则（A-B）

适用

分数次数不确定

内容

展开至系数不相等的最低次幂为止

归结原则（海涅定理）

定义：

limf(x)=A⬅️➡️对于任何x0邻域内以x0为极限的数列{xn}，极限limf(xn)=A

反之亦成立

理解：

通过不同种方式（离散）逼近x0，得到结果相同

考法

1.从右至左证明

题型：

证明极限不存在

解决方法：

取两个不同的逼近方式（不同的数列），通过极限值不同，来否定函数极限的存在性

2.从左至右计算

用途：作为辅助工具

n趋于∞，相当于x->0,原函数用【1/n】（例）替换

无穷小比阶（题型）

定义

x趋于x0，f(x)的极限为0

无穷小比阶

高阶无穷小

【分子/分母 = 0】，分子称为分母的高阶无穷小

低阶无穷小

【分子/分母 = ∞】，分子称为分母的低阶无穷小

同阶无穷小

【分子/分母 = c】

等价无穷小

【分子/分母 = 1】

k阶无穷小

【分子/分母的k次方 = c】

注：不是所有无穷小都可以比阶的

比较后，极限不存在，则认为不可以比阶

例：xsin(1/x)/x^2，比较后，极限不存在。

无穷小的运算规则

1.有限个无穷小的和是无穷小

2.有界*无穷小 = 无穷小

3.有限个无穷小的乘积是无穷小

4.无穷小的运算规则

1."低阶"吸收"高阶"（加减法时）

2.阶数累加（乘法时）

3.非零常数项相乘，不影响阶数

常用的等价无穷小（记忆）

函数极限的计算

函数的连续与间断

连续的判断条件

左极限 = 右极限 = 该点的函数值

间断点的定义与分类

第一类间断点

可去间断点

左极限 = 右极限，但不等于该点函数值

跳跃间断点

左极限不等于右极限

第二类间断点

无穷间断点

左右极限至少有一个无穷大

对该点有无定义无要求

振荡间断点

振荡不存在

如sin(1/x）

x=0点为振荡间断点

注：对于一侧没有定义的函数，不讨论间断点问题

函数极限的应用 （间断点问题）