导图社区 高数（上）
高数的主要内容有数列，函数，微分方程，定积分，不定积分，泰勒公式以及微分中值定理这几个部分，有需要了解的小伙伴可以点赞加评。
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高数上
数列
极限
概念:ε-N语言定义
趋于无穷的极限
极限存在
求极限
夹逼定理
转化为定积分
细节观察
面积微元怎么凑
被积函数怎么定
积分上下限如何定
牛顿莱布尼兹公式
基本不等式推广
有理化数列
因式分解，连乘型消项
证明极限是A,或者说收敛于A
定义法
单调有界极限存在准则（充分不必要）
证明单调
做差
做商
证明单增有上界或单调有下界
基本不等式
假设证明
放缩法
再追问一步，求他的极限，假设a,解递推方程
柯西审敛准则（充要），几乎不考
极限的性质
唯一性
有界性
收敛的必要不充分条件
无界一定发散
保号性
任意子数列极限相同
证明数列发散
找到两个极限不同的子数列
函数
ε-δ定义
趋于某点值的极限
极限存在，或者叫收敛于某个值
求极限
等价无穷小代换定理
一项中有加减就无法代换，拆分后再试试
洛必达法则+等价无穷小
经常与极值点问题一起出现
重要极限代换
一个同构恒等式
泰勒展开
夹逼定理+拉氏定理
如果条件允许的话
极限的运算法则
复合函数运算法则
注意拆分后的极限存在 若拆为多项式，牢记对每一项进行极限说明
讨论极限是否存在，注意极限的趋近方向，+还是-（易错）
连续函数直接代入法
类导数定义求极限，拆配法
证明极限存在，或证明收敛于某个值
定义法
左右极限相等
极限的性质
局部有界性
局部保号性
特殊的极限-无穷小及比较
lim(An+1/An)= 0
低阶无穷小
高阶无穷小
等价无穷小 ，整体法看待，整体极限为1，结合洛必达
同阶无穷小
具有相同收敛性
性质： 连续性（导数这个特殊极限存在的必要不充分条件）
若只说连续，没说可导，一旦用了求导法则就是错。 记得要先判断是否可导。 导数就是这个函数特殊的极限，判断这样的极限的存在，就要判断其在这点，这个领域内是否连续，并且光滑
定义
第一定义
第二定义
讨论某点的连续性
3. 极限是否等于Xo处函数值
2. 极限是否存在
求左极限
求右极限
1. Xo处是否有定义，是否有函数值
ε-δ定义
间断点判断，寻找
因为它某电不连续，才来判断它属于哪一类间断点 不连续，就间断，导数不存在
可去
左右极限都存在，一定相等
跳跃
左右极限都存在，不一定相等
振荡
左右极限至少一个不存在，如sin(1/x)
无穷
左右极限至少一个不存在
定义域内连续
复合函数连续性
初等函数连续性
闭区间连续性质
有界最值定理
零点定理
定理应用前提
证明开区间连续
证明左和右连续
如：左端点函数值等于右极限
构造函数（熟记）
介值定理
导数（就是特殊的极限）
可导必定连续
定义(判断是否可导)
可导的存在条件：光滑（包含了连续）
求导法则
链式法则
高阶导数
证明
数学归纳法
简化，找到好方法
裂项
高次降低次
高次三角化低次
莱布尼茨
复数展开 i^2=-1
奇偶函数秒杀判断高阶导数系数，奇函数f(0)=0
求高阶导数的某点值
迭代
高阶三角学会用诱导公式
反函数求导
隐函数求导
注意高阶时，要注意低阶代换 能显则显
代换问题
注意找值
参数方程求导
参数与隐函数结合
相关参数变化率（实际应用题）
寻找合适的变量
分段函数求导
求分界点的导数
连续性判断
不连续就此点无法求导
若连续，定义法求该分界点的导数（实际在判断该分界点是否可导）
左右导数不相等则导数不存在
导数的微分形式 （微商）
理解
微分
概念
Δy=A*Δx +高阶无穷小
微分法则
隐函数微分
参数方程微分
就是在求导数
近似值的计算
弧微分：以直代曲
曲率
曲率中心，曲率半径
函数图形描绘
1.画草图，画出凹凸和单调 2.锁值，零点，极点，拐点值，坐标轴交点 3.渐近线再添上
渐近线
水平，铅直渐近线，斜渐近线的寻找
正无穷，可能会遗漏
负无穷，可能会遗漏
无定义的点处
趋于0
极值点
极值点与拐点判断
驻点型极值点
左右导数符号相异
二阶导辅助判断
导数不存在型极值点（左右导数不相等）
拐点
凹凸不等式
二阶导为0
左右导数符号不同
导数不存在的点
左右二阶导数符号相异
零点，交点
微分方程
未知函数的导数与自变量之间的关系
解微分方程
找出微分方程对应的函数
可分离变量型
齐次换元
直接换元转分离变量
一阶线性非齐次
注意dx/dy型
公式法
特化解齐次代换
定积分
几何意义：函数图像的面积代数和
定义
函数可积定理
定理1 区间连续
定理2 有界且间断点有限
性质
放缩积分，证明不等式
积分中值定理：证明不等式
积分上限函数及其导数
求定积分
这里x既表示定积分的上限，又表示积分变量，因此定积分与积分的记法无关
换元积分法
显性换元后，积分变量要变
分部积分法
奇偶秒杀，观察定义域,不能用于反常积分
递推公式求sin,cos高幂积分
反常积分（广义积分）
无穷限积分
无界积分
有限个瑕点，其实就是间断点
遇到暇点就要分开积分
特殊积分
几何图像法
定积分的找综合证明
应用（实践性偏强）
对我来说最大的难点就是抽象出数学模型，用数学语言表达出来
元素法（理解）
几何
面积
积分变量x型
积分变量y型
要注意，函数变换
参数方程型
极坐标型
体积
旋转体
非旋体
弧长
直角公式
参数方程
极坐标
物理
不定积分
定义与性质
所有原函数的集合
积分曲线族
求不定积分
基本法（一眼法）
一类换元积分，凑微分
二类换元积分
倒代换
抽象函数积分
积分与数列
求递推，期末必考
考虑奇偶，两种不同情况
有理函数积分
速转有理函数
万能公式
换元法
速去无理根式
分离常数法
学会因式分解产生部分分式，回归到基本的运算方法
足够好的待定系数法，敏锐的观察力
直接配凑法更快
消高幂分母
多项式除法
参数分类讨论
泰勒公式
注意：区间的开闭，在定理应用的时候
细节较多，注意阶乘和次数问题，倒代换
微分中值定理
罗尔定理
多次迭代证高阶导数
反证法证明不等式
拉格朗日中值定理
证明不等式/恒等式
柯西中值定理
积分，函数，导数
奇偶变化，函数奇，积分，导数都是偶
水平和斜渐进共占
易错辨析
最难：被积变量和其他变量
定于与不定的区别点
两大注意点 1.注意相减时的正负号问题 2.暇点要分开 3.积分上下限变化
千万不要又证上又证下
记得代换
积分后的原函数不同很正常
三角不定积分
探求导数和函数的关系
构造函数方法积累
条件意识很强x= 1处导数存在，x=1处可导，x=1处这个导数极限存在，可微
一定要搞明白连续和可导的关系
条件有什么用
该点连续，可以直接应用求导法则
导数定义，极限存在
不可导（尤其要注意）
可能是不连续，但左右导数仍可能存在
也可能是连续，但左右导数不同，也就是不光滑如 ℓxℓ
多项式函数
每一项都要说清，各个极限的情况，
