高等数学

这是一篇关于高等数学的思维导图，主要介绍了实数极限与连续一元函数，微积分一元函数，积分学以及无穷级数这几个部分。

高数

• 实数
  • 有理数（分数、有限小数、无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）
  • 有理数与有理数和差积商均为有理数、有理数与无理数和差为无理数，非0有理数与无理数积商为无理数、无理数与无理数和差积商为有理数或无理数
• 极限与连续
  • 极限运算法则
    • 如果lim u (x )存在，且c为常数，那么 lim[cu (x ) ]=clim u ( x )
    • 如果lim u (x )存在，且n是正整数，那么 lim[u ( x ) ]"=[lim u(x ) ]"
  • 最高次幂法
  • 两个重要极限
  • 洛必达
    • 在x的变化过程中，f'(x )，g'(x ）皆存在，且g'(x ）≠0
  • 无穷大与无穷小
    • 无穷小
      • ①两个（相同类型的）无穷小之和、差、积仍为无穷小; ②无穷小与有界量的乘积为无穷小。
      • 无穷小的比较
      • • 乘除因子可替代、加减不可
    • 无穷大
  • 函数连续性
    • 函数在该点有定义；函数在该点的左极限=右极限=该点的函数值。
• 一元函数微分学
  • 导数
    • 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
    • f(x)在点x0处可导(f'(x0)存在)<=>f(x)的左右导数存在且相等
    • 若函数y = f(x)在点x0处可导，则y = f(x)在点x0处必连续
    • (一致连续性定理):若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在闭区间[a,b]上一致连续
  • 基本初等函数求导
    • 复合函数求导
    • 隐函数求导
      • 由二元方程F(x，y ) =0所确定的函数
    • 参数方程求导
  • 切线方程与法线方程
    • 切线斜率：f'(x0)＝k切
    • 法线方程
  • 导数与函数综合
    • 利用导数求函数单调性、极值、最值
    • 导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）；
    • 可导函数的极值点一定是函数的驻点；
    • 驻点不一定是函数的极值点；
      • 函数极值点不一定是函数的驻点。
  • 罗尔定理与拉格朗日定理
• 一元函数积分学
  • 定积分的几何意义
    • 若f(x)在[-a,a]上连续
      • 奇函数
      • 偶函数
  • 定积分求解
    • 牛顿-莱布尼兹公式/微积分基本公式
      • F(x)是f(x)的任意一个原函数
    • 换元法积分法
      • 令x=sint，= ∵ 0 < sint< 1，∴0 < < 1 ，因此 0 < t<π/2
    • 分部积分法
  • 定积分应用
    • 封闭图形面积
      • ①画出图像；②求出交点；③带入公式
    • 旋转体体积
• 无穷级数
  • 级数敛散性判定
    • p级数
    • 比值审敛法（达朗贝尔判别法）
      • Un为正项级数
    • 莱布尼茨定理
    • 绝对收敛与条件收敛
  • 幂级数收敛域求法