圆与正多边形

沪教版数学九年级第二学期思维导图，包括：圆的基本性质、直线与圆、圆与圆的位置关系、正多边形与圆。

圆与正多边形

• 圆的基本性质
  • 圆的确定
    • 已点O为圆心的圆O，记作〇O。
    • 设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外→d＞R；点P在圆上→d=R；点P在圆内→0≤d＜R。
    • 不在同一直线上的三个点确定一个圆。
    • 三角形的三个顶点确定一个圆。
    • 经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆。外接圆的圆心叫做这个圆的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
    • 如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形。
  • 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
    • 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
    • 联结圆上任何两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径，以圆心为顶点的角叫做圆心角。
    • 圆的任何一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
    • 圆心到弦的距离叫做弦心距。
    • 能够重合的两条弧称为等弧。
    • 半径长相等的两个圆一定能够重合，称为等圆。
    • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
    • 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。
  • 垂径定理
    • 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
    • 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
    • 如果圆的直径平分弦（这条线不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
    • 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦
    • 如果一条直线是线段垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
    • 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。
    • 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。
• 直线与圆、圆与圆的位置关系
  • 直线与圆的位置关系
    • 直线与圆的公共点的个数有三种情况：没有公共点、有唯一公共点、有两个公共点。
    • 当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
    • 当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。当直线与圆有两个公共点（即交点）时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。
    • 如果〇O的半径长为R，圆心O到直线l的距离为d，那么直线l与〇O相交→0≤d＜R；直线l与〇O相切→d=R；直线l与〇O相离→d＞R。
    • 切线判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
  • 圆与圆的位置关系
    • 两圆外离→d＞R1+R2；两圆外切→d=R1+R2；两圆相交→|R1-R2|d＜R1+R2；两圆内切→0＜d=|R1-R2|；两圆内含→0≤d＜|R1-R2|。
    • 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
    • 相切两圆的连心线经过切点。
• 正多边形与圆
  • 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
  • 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个多边形的对称轴的交点。
  • 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。
  • 正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形的内切圆的半径长叫做正多边形的边心距。
  • 正多边形所对的关于外接圆的圆心角都相等，正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。