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考研数学思维导图

重磅来袭！考研数学重要知识点整理框架分享！下图包括多元函数微分学、不定积分、重积分和极限等八章内容，条理清晰，逻辑严谨，并用红色五角星对重点内容做了特殊标记。

编辑于2020-01-30 10:27:08

Jason

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考研数学

第一章

极限

定义

无限接近的值

极限的性质

一般性质

唯一性

极限存在必唯一

保号性

在去心领域内,符号是相同的

存在性质

准则一

数列型

利用夹逼准则进行计算

函数型

型一

n项和求极限（分子或分母不齐，用夹逼定理）

放大和缩小解决非齐上的问题

其他情况

利用定积分定义lim1/n(n)E(i/n)|f(i/n)=|0 1 f(x)d(x) 当分子齐分母齐，且分母多一次

准则二

定义

单调有界的数列必有极限

型二

极限存在性证明

单调递增解决上界问题

要证明有上界

单调递减解决下界问题

要证明有下界

两个重要的极限

lim(o->0)sino/o=1

lim（1+o)^(1/o)=e

补充

sin(x)<x<tan(x)

型五

左右极限

若有a^(1/(x-b)) 当x--->b时分左右

无穷小

不考虑正负，实数中最小的的为0

判定的两个标准

是否为函数

极限是否为0

无穷小的性质

一般性质

无穷小的加减乘除都等于零

有界函数乘以无穷小等于零

极限值可以等于极限值加上无穷小

等价性质

两个无穷小求极限可以等于用等价无穷小去换

型三

不定型

0/0 、1^(oo）（重要)

0/0 型

解题方法

等价无穷小

洛必达法则

极限的定义

洛必达法则

泰勒公式

习惯

u(x)^(v(x))------>e^(v(x)ln(u(x)))

ln() ---->ln(1+o)~o (o-->0)

()-1 --->(o-->0)

e^o-1~o

(1+o)^a-1~ao

x-ln(1+x) 结果为二阶无穷小

x、sinx、tanx、arcsinx、arctanx任意两个相减之差为三阶无穷小

误区

加减法使用等价无穷小时要考虑精确度（精确度(跟阶数有关）一致就正确，不一致用就错误)

1^(oo）型

解题方法

凑(1+o)^(1/o)

恒等变形

（oo/oo)、0*(oo)、(oo)-(oo),0^(0)

(oo)-(oo)型

解题方法

通分

分子有理化

（oo/oo)型

多项式形式看最高阶

分母阶数大于分子，结果0

分母阶数小于分子，结果为无穷大

两者阶数相等，则等于系数之和

0*(oo)型

0/(1/oo)即0/0

（oo)/(1/0)即（oo/oo）

罗氏法则

分子分母都趋近于零时，则可以分别对分子分母求导（该法则一般是在不得已的情况下使用）

指数函数、幂函数、对数函数增长速度比较

指数函数>幂函数>对数函数

比较大小的两种方法

两者相乘

两者相减

连续与间断

连续

函数值等于左极限等于右极限

性质

最值定理

有界

零点定理

介值定理

使用环境

闭区间

函数值相加

间断

if lim(x->a)f(x)不等于f(a)

间断点分类

第二类间断点

定义

左右极限至少有一个不存在

等一类间断点

定义

左右极限都存在

左右极限相等，但是函数值不存在

可去间断点

左右极限不相等

跳跃间断点

第二章

导数

导数存在意味着左右导数存在且相等

f(x)在某点可导就可以推出函数在该点连续，函数在一点连续不能推出函数在该点可导

定义

lim(ox-->0)oy/ox 存在，称f(x)在x0可导

微分

定义

dy=Adx+o(dx)(高阶无穷小) 称f(x)在x0可微

求导工具

求导公式

常数

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数

四则运算

导数的加减乘除

复合

反函数求导

显函数

隐函数

隐函数显示化

复合函数

参数方程

分段函数求导

高阶求导

归纳法

公式法

(sinx)^(n)=sin(x+n*pi/2)

(cosx)^(n）=cos(x+n*pi/2)

(uv)^(n)=C(0 n)u^nv+.....C(n n)u*v^n

第三章

中值定理

定理一

罗尔定理

条件

f(x)在(a,b)内可导（光滑）

f(a)=f(b)

f(x)属于c[a,b] (连续)

结论

则存在一个值e属于(a,b) 使得f'(e)=0

定理二

拉格朗日

条件

f(x) 属于c[a,b]

f(x)在[a,b]内可导

结论

存在e属于(a,b),使得f'(e)=f(b)-f(a)/(b-a)

定理三

柯西

条件

f,g属于c[a,b]

f,g在(a,b)内可导

g'(x)不等于0（a<x<b)

结论

存在e属于(a,b)使得f(b)-f(b)/(g(b)-g(a)=f'(e)/g'(e)

定理四

泰勒公式

f(x)=Pn(x) 主+Rn(x) 次

Rn(x)表现类型

拉格朗日类型

皮亚渃型

当x0=0时，就会变成麦克劳林公式

题型

型一

f(e)^(n)=0

型二

仅有e,无其他值

还原法

型三

有e,有a,b

a,b与e可分

方法

e与a,b分离

ab,侧

使用拉格朗日

使用柯西

a,b与e不可分

方法二

去分母移项，式子=0

(w）'=0

型四

双中值

结论中至少有两个中值

仅有f'(e),f'(g)

找出三点

两次拉格朗日

e,g复杂度不同

留复杂的

（）’利用拉格朗日

（）'/()' 利用柯西

型五

拉格朗日使用习惯

f(b)-f(a) 一次拉格朗日

f(a)*f(c)*f(b) 两次拉格朗日

单调性与极值

解题步骤

1 确认x的范围

2 找出可疑点（f(x)一阶导数等于0或不存在的点)

3 判别法

方法一

第一充分条件

根据一阶导数的值来判断极大值和极小值点

x<x0,f'(x0)<0,x>x0,f'(x0)>0为极小点

x<x0,f'(x0)>0,x<x0,f'(x0)<0为极大点

方法二

第二充分条件

根据二阶导数的值来判断极大值点和极小值点

f''(x)<0时为极大值点

f''(x)>0时为极小值点

型一

不等式证明

型二

方程根的讨论

零点定理

罗尔法

单调法

解题步骤

找出x的范围

找出可疑点，一阶导等于0的点或者不存在的点，找出极值点

关注两侧做草图

型三

极值点的判断

确认x的范围

找出怀疑对象

判别法

零碎问题

凹凸性

定义

判别法

if 任意x属于I,f''>0,则y=f(x)在I内是凹的

if 任意x属于I,f''<0,则y=f(x)在I内是凸的

渐近线

水平渐近线

lim(x->oo)f(x)=A

y=A 为y=f(x)的水平渐近线

铅直渐近线

一般为函数间断点

条件

f(a-0)=oo

f(a+0)=oo

lim(x->a)f(x)=oo

称x=a为y=f(x)为铅直渐近线

斜渐近线

if lim(x->oo)f(x)/x=a(不等于0，无穷大) lim(x->oo)[f(x)-ax]=b y=ax+b

弧微分

曲率半径公式

K=|y''|/(1+y'^2)^(2/3)

曲率公式

P=1/K

参数形式 x=u(t) y=r(t)

ds=sqrt(dx^2+dy^2)

sqrt(u'(t)^2+r'(t)^2)dt

y=f(x)

ds=sqrt(dx^2+dy^2)=sqrt(1+(dy/dx)^2=sqrt(1+(f'(x)^2)

第四章

不定积分

定义与要点

定义

F(x)的导数等于f(x),则称F(x)为f(x)的原函数（不定积分的关键）

要点

连续函数一定存在原函数

2.若f(x)存在原函数，则会存在无数个原函数，且任两个原函数相差常数

注意

不定积分是一个集合

不定积分工具

基本公式

常数

幂函数

分情况，分指数等于1或指数不等于1的情况

指数函数

三角函数

平方和差

积分法

换元积分法

第一类换元积分法

将函数里面的自变量用t代替，最后将t又换回x

第二类换元积分法

无理转化为无理（不一定（得看情况））

平方和差

三种情况

sqrt(a^2-x^2)=（x=asint)=acost

sqrt（x^2+a^2)=(x=atant)=asect

sqrt(x^2-a^2)=(x=asect)=atant

分部积分法（当被积函数是以下的形式时）

幂函数x指数函数的一个特殊情况的时候(底数为e)

幂函数x对数函数

幂函数x三角函数

如果为sinx,cosx，则必须是一次

若为tanx,cotx,cscx,secx，则次数必须为两次

幂函数x反三角函数

指数函数的一种特殊情况（底数为e）x sin(bx) or cos(bx)

利用分部积分最终可能会回到原来的情况

(secx)^n or (cscx)^n

n为奇数时，利用分部积分的方法

n为偶数时，利用换元积分法去解决问题

特殊积分类型

定义

R(x)=P(x)/Q(x)

如果P(x)次数大于Q（x)次数,则R（x)为假分式

R(x)=多项式+真分式

如果P(x）次数小于Q(x)次数，则R（x)为真分式

R（x)分子不变，分母因式分解----》折成部分和

解题技巧

(x-1)^2 贡献了两次，会分别出现(x-1),(x-1)^2的分母

如果下面两次，上面就要一次

第五章

定积分的定义

积分基本公式

理论一

理二

牛顿莱布尼茨公式

定积分的一般性质

积分中值定理

积分法

换元积分法

分部积分法

定积分的特殊性质

反常积分（广义积分）

正常积分

积分区间有限

f(x)在[a,b]上连续或有限个第一类间断

积分区间无限

判别法一

区间有限

判别法

t函数

定义

性质

定积分应用部分

几何应用

面积

体积

弧长

注

圆

双纽线

摆线

心形线

元素法

求[x,x+dx]的定义域范围

求出dA

积分求出A

物理应用

第六章

多元函数微分学

定义

极限

一元

在某一点极限存在的等价条件是左右极限存在且相等

二元

二维上类似一个圆一样的东西

连续

一元

函数在一点连续的等价条件是在一点的点的左右端点的值等于函数值

二元

需要无数个点与函数值相等时才连续

偏导数

一元

f'(a)=lim(ox->0)(oy/ox)=lim(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)

二元

f（x,y)在m0处，关于x的偏增量

f(x,y)在m0处，关于y的偏增量

f(x,y)在m0处的全增量

多元函数（全）微分

一元

微分的定义

二元

oz=f(x+ox,y+oy)=Aox+Boy+o(p)

称f(x,y)在m0处叫做可(全)微

理论

几大特性关系

连续可导性

可微

连续可导性

从上到下越来越强，书上的图要记住

求导类型

显函数求导

复合函数求偏导

隐函数（组）求偏导

方程

约束条件

受约束的变量-函数

不受约束的变量-自变量

应用

代数应用

无条件极值

条件----开区域

分别求偏导数=0的情况，求出驻点

如果（x0,y0)为一个驻点，A=f''xx(x0,y0) B=f''xy(x0,y0) C=f''yy(x0,y0)

求出AC-B*B

大于0

（x0,y0)为极值点

A>0 极小值点

A<0 极大值点

小于0

（x0,y0)不是极值点

条件极值

条件----等式等于0

法一

将y分离出来

然后直接代入方程

即条件极值化为一元函数极值

法二

拉格朗日求值法

1 F(x,y,z)=f(x,y)+zg(x,y)

2. 分别对x,y,z求偏导

最后解出x,y

几何应用

克莱姆法则

多元微分学的几何应用

空间曲面

定义

特殊曲面

柱面

F（x,y)=0

母线平行于z轴的曲面

二维旋转面

F（x,y)=0

z=0

绕谁谁不变

绕x轴旋转

F（x,+-sqrt(y*y+z*z))

绕y轴旋转

F（+-sqrt(x*x+z*z),y）=0

退化的曲面-平面

点法式

A（x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

截距式

x/a+y/b+z/c=1

一般式

Ax+By+Cz+D=0

空间曲面

切平面

法线

F(x,y,z)=0 F(x0,y0,z0)=0

n={Fx',Fy',Fz'}}m0

空间曲线

形式

一般式

L:F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0

参数式

x=u(t)

y=v(t)

z=w(t)

退化-直线

点向式

M0(x0,y0,z0)属于直线L上的点，s={m,n,p}平行L

L：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p

参数式

x=x0+mt

y=y0+nt

z=z0+pt

一般式

A1x+B1y+C1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0

切线与法平面

情况一

x=u(t)

y=v(t)

z=w(t)

切线向量为T={u'(t),v'(t),w'(t)}

情况二

F(x,y,z)=0

法向量n1={Fx',Fy',Fz'}m0

G(x,y,z)=0

法向量n2={Gx',Gy',Gz'}mo0

T=n1xn2|m0

第七章

part1一阶微分方程-种类解法

笔记

含导数或微分的方程成为微分方程

满足微分方程的函数称为微分方程的解

特解

不含任意常数的姐

可分离变量微分方程

定义

设dy/dx=f(x,y) if f(x,y)=u(x)u1(y)

积分积好了不加C

齐次微分方程

定义

设dy/dx=f(x,y) if f(x,y)=u(y/x)

一阶齐次线性微分方程

定义

dy/dx+p(x)*y=0

一阶非齐线性微分方程

定义

dy/dx+p(x)*y=Q(x)

使用常数变易法

part2 可降阶的高阶微分方程

y^(n)=f(x)

f(x,y',y'')=0(缺y)

f（y,y',y'')=0(缺x)

part3高阶线性微分方程

基本理论

定义

n阶非齐次线性方程

y^(n)+a1(x)y^(n-1)+.........+an-1y'+an(x)*y=f(x)

n阶齐次线性方程

y^(n)+a1(x)y^(n-1)+.........+an-1y'+an(x)*y=0

结构

特殊情形

二阶非常系数齐次线性微分方程

y''+py'+qy=0(p,q 是常数)

三阶常系数齐次线性微分方程

y'''+p*y''+q*y'+r*y=0 (p,q,r为常数)

二阶常系数非齐次线性微分方程

y''+p*y'+q*y=f(x)(p,q是常数)

型一

f(x)=Pn(x)e^(kx)

第八章

重积分

二重积分

产生背景

定义

分割

乘积求和

求极限

性质

被积函数为1时，则结果为所围成的D的面积（其中D为所围成的图形）

D关于y轴对称，右边D1，则（y不动，看x）

若为奇函数，则积分函数的结果为0

若为偶函数，则积分函数等于两倍的右边积分值

D关于x轴对称（x不动，看y）

若为奇函数，则积分函数结果为0

若为偶函数，则积分函数等于两倍的右边积分值

D关于y=x对称，则

x,y可以互相交换，但是结果还是不变

二重积分的计算方法

直角坐标法

X-型区域

先x后y

Y-型区域

先y后x

极坐标法

特征

区域D边界含x*x+y*y

f(x,y)含x*x+y*y

交换

x=rcos0

y=rsin0

0的范围从x正方向开始为零，r的范围从原点开始到区域最短以及最长距离r1(0)，r2(0)

型一

改变积分次序

次序不对无法计算

积分法不对

目前还未讲

型二

计算

方法一（X型）

方法二（Y型）

使用性质，看对称

利用极坐标法进行计算

三重积分

定义

切分成无数个小的体积

将函数值与单位体积相加然后累加

求极限

性质

若函数值为常数1，则结果为体积

区域关于xoy面对称(x,y不动，看z)

如果为奇函数，则三重积分结果为0

如果为偶函数，则为一般区域积分的两倍

计算方法

直角坐标法

铅直投影法

（x,y)属于Dxy,u1(x,y)<=z<=u2(x,y)

切片法

（x,y)属于Dz,c<=z<=d

球面坐标变换法

特征

边界含x*x+y*y+z*z

f(x,y,z)中含x*x+y*y+z*z

变换

x=rcos0sinu

y=rsin0cosu

z=rcosu

dv=r*rsinudrd0du