可测函数及其性质

本图是实变函数关于可测函数及其性质的知识总结，内容包括可测函数运算的封闭性、简单函数定义定理、连续函数的定义和定理等等，适用于考前复习，也可以综合其他资料使用。

可测函数

• 扩充的实数系
  • 定义
    • 1
      • 广义实数集
        • ：
    • 2
      • 有限函数
        • ：
          • 函数值有限
        • 注
    • 3
      • • ：
        • 拓展
          • • 
  • 例
    • 已知
    • 则
• 可测函数
  • 定义
    • 1
      • • 前提
        • 条件
        • 记
    • 2
      • 特征函数
  • 定理
    • 1
      • (1)
        • 零测度集
          • 
          • 上
            • 任意函数
              • 都
                • 可测
      • (2)
        • • 
          • • • • 可测集上的常值函数是可测函数
      • (3)
        • 前提
        • • 则
            • • •  
    • 2
      • 充要条件
        • 
        • 前提
    • 3
      • 条件
      • 结论
        •  且该推论的逆定理不成立 
        • • 皆为可测集
• 连续函数
  • 定义
    • 满足条件
      • 前提
    • 称
      • • 在
  • 定理
    • 1
      • 条件
        • E是可测集
      • 结论
        • 
        • • 
• 几乎处处
  • 定义
    • 前提
    • 条件
    • 称
    • 记
  • 例
    • 1
    • 2
    • 3
• 简单函数
  • 定义
    • 前提
    • 条件
    • 称
    • 表示为
      • • 
  • 定理
    • 1
      • 前提
      • 条件
        • • 均为可测集
      • 结论
        • 
    • 2
      • 条件
        • • 为E上
            • 简单函数
      • 结论
        • 
    • 3(可测与简单函数）
      • (1)
        • 条件
        • 结论
      • (2)
        • 条件
        • 结论
      • （3）
        • 条件
        • 结论
          • （1）（2）
            • 收敛性一致
  • 例
    • 狄利克雷函数
• 运算的封闭性
  • 1
    • (1)大到小
      • 可测子集上的f
      • 前提
      • 条件
      • 结论
        • • 
    • （2）小并大
      • f在可测子集的并上依旧可测
      • 条件
        • • 有限
      • 结论
        • • 
  • 2
    • 引理1
      • 条件
      • 结论
        • • 
    • （1）基本运算封闭
      • 前提
      • 皆可测
        • 
    • （2）格运算
      • 条件
      • 结论
        • 
        • 皆可测
    • （3）极限运算
      • 条件
      • 结论
        •  
        • 皆可测
      • 推论
        • 条件
        • 结论
  • 3
    • 正部与负部
      • 定义
        • 前提
        • 正部
        • 负部
      • 性质
      • th
        • 条件
        • 结论
          • 运用格运算（n=2）可证
  • 子主题