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四上数学思维导图
一本书，一张图，四年级上册数学思维导图整理了认识更大的数、乘法、运算律、除法、生活中的负数、线与角、方向与位置、可能性的内容，适用于预习、复习。
编辑于2023-02-24 13:49:29 辽宁
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四年级数学上
第一单元：认识更大的数
1、数一数： 大数的认识
认识计数单位万，十万，百万，千万和亿
计数单位：亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个
哪一位上有几个珠子，就表示有几个这样的计数单位。如万位上有7个珠子，表示7个一万，十万位上有一个珠子，表示一个十万。
2、认识更大的数：三级数位表及进率
认识数位、数级及十进制数位顺序表
计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、......都是计数单位。
数位定义：不同的计数单位按照一定的顺序排列，他们所占的位置叫做数位。个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位......,等带有“位”字的称为数位。
数级：我国计数习惯是从右起每4个数位为一级。分别是个级、万级、亿级、......。个级表示多少个一，万级表示多少个万，亿级表示多少个亿。
2021-06-03
计数单位之间的进率
进率：相邻两个计数单位之间的进率都是十 。 满十进一
十个一是一十， 十个十是一百， 十个一百是一千， 十个一千是一万， 十个一万是十万，十个百万是一百万，十个一百万是一千万，十个一千万是一亿
计数单位之间的关系
相邻两个计数单位之间的进率是十
3、人口普查： 大数的读写
万以上数的读法
1、画分级线
先分级，从个位起，每4个数位分一级，一般用分级线把不同的数级分开。
再从高位起，一级一级地往下读。
2、分级读数
读亿级或万级上的数时，要先按照个级上的数的读法，再在后加加上一个“亿”或“万”字
3、有零的读法：
各级末尾不管有几个0都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个零。
级首或中间的0要读出来，级末的0不读出来。例如：50500510 读作：五千零五十万零五百一十。第一个0是万级中间的0，第三个0是个级级首的0都要读出来，第2个0是万级级末的0，最后一个0是个级级末的0，所以都不读出来。
读作时要写汉字小写数字，不能写阿拉伯数字。
万以上数的写法
写含有两级或两级以上的数级的数时，要抓住“万”或“亿”这样的标志字，从高到低写出每一级上的数。
哪个数位上一个技术单位也没有，就在那儿数位上写“0”占位
读数时读一个零，写数时不一定一个零，要注意数位是否齐全。
4、国土面积：大数的比较及整万、整亿数的改写
万以上数的大小比较
1、位数不同，位数多的数大。
2、位数相同，从高位开始比较。
3、多个数相比较时，先按位数分组，位数多的组大于位数少的组。再将每组组内数从高位开始比较。
整万、整亿的数改写成以“万”或“亿”为单位的数
以“万”为单位
将万位后面的4个0去掉，同时写上“万”字。
以“亿”为单位
将亿位后面的8个0去掉，同时加上“亿”字。
亿以上的数改写成“万”为单位的数后，按照正常读法读“万”以前的数，然后读“万”字。如430720000=43072万，读作四万三千零七十二万。
5、近似数：认识近似数
掌握用四舍五入法求一个数的近似数的方法
认识精确数和近似数
精确数：
与现实生活完全符合的数
近似数：
接近精确数，前面有“约”，“近”，”大概“等字样
作用：表示方便，便于记忆。
求一个数的近似数的方法
借助数线
用四舍五入法求近似数
关键是找准省略部分的最高位，即精确到哪一位，就看那一位的下一位。
四舍：省略部分最高位上的数小于5，就把尾数全舍去，叫“四舍”，并添上相应单位或相应个数的0。
五入：省略部分最高位上的数等于或大于5，要向前一位进1，叫“五入”再把尾数全部舍去。并添上相应单位或相应个数的0。
”≈“约等号，读作约等于
近似数在生活中的应用
例题：一个数用四舍五入法省略万位后面的尾数约是5万，这个数最大是多少？最小是多少？ 最大：54999 最小：45000 若数最大，尾数最高一定是4，其余是9，若数最小，则尾数最高位一定是5，其余是0.
能正确书写近似数
233483≈20万
6、从结绳计数说起：认识自认数
了解计数方法的发展历史
远古时代，用石子，结绳，刻痕等方式计数。
后来发明了计数符号
古埃及象形数字
蕴含十进制
玛雅数字
20进制
中国算筹数码
十进制和位进制
罗马数字
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
现代数字：印度-阿拉伯数字
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0-9是印度人发明的，是国际通用数字
认识自然数
定义：表示物体个数的0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，......都是自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。
特点：
自然数 是按照从小到大的数学排列的，从0开始，相邻两个数后面的数总比前面的数多1
0是最小是自然数，没有最大的自然数。
自然数由单数和双数组成。(所有的自然数不是单数就是双数。）
单数：
1，3，5，7，9，11，13，......
双数：
0，2，4，6，8，10，12，......
第三单元：乘法
三位数乘两位数
三位数乘两位数的估算
估算时可以把每个乘数都看做与之接近的整百、整十或几百几十数，再将乘得的积作为估算记结果
三位数乘两位数的计算方法
用拆数法计算
21分成20和1，用114分别乘20和1，再把两次乘得的积相加。
114*20=2280（20个114） 114*1=114 （1个114）2280+114=2394（共21个114）
用转化法计算
把21看做7乘3，将三位数乘两位数变成三位数乘一位数即：114乘7乘3
114*21=114*7*3=798*3=2394
用表格法计算
用竖式计算
相同数位对齐，先用两位数的个位去乘三位数得数的末位与两位数的个位对齐；再用两位数的十位去乘三位数，得数的末位与两位数的十位对齐；最后两次乘得的结果相加。
乘数中间或末尾有0的三位数乘两位数计算方法
中间有0时，这个0也要乘，与0相乘时，如果有进位一定要加上进位数，如果没有进位数，写0占位
乘数末位有0时，可以先把0前面的数对齐，相乘，再看乘数的末尾共有几个0，就在积的末尾填上几个0.
大数的估计
由部分估计整体的方法
估计具体事物的数量时，如果这个数量比较大，可以把他分成大致相等的若干份，线估计一份的数量，再乘以份数，从而估算出总数量。
估算的方法不同，估算的结果也有所不同，但都与实际结果比较接近。
在解决需要准备多少钱的实际问题时，一般估大不估小。
神奇的计算工具
1、计算工具的演变
算筹、算盘、电子计算机。
2、计算器的结构和使用方法
结构
使用方法
3、用计算器进行四则混合运算
有趣的算式
根据算式和得数的特点发现计算规律。
多少1乘多少个1
如果算式中的两个乘数相同，且各数位上的数字都是1，那么他们的积是回文数。乘数中的1的个数是几，（最多只能有9个1），积就从1开始按自然数的顺序写到几，再按反顺序写到1.
多少位9乘多少位9
退1补9法
1234567*9+8=11111111
123456789*9+10=1111111111
第四单元：运算律
四则混合运算
不含括号的混合运算
在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法；如果加法或减法两边同时有乘、除法，乘、除法可同时计算。
含有小括号的四则混合运算
含有小括号的四则混合运算的运算顺序：先算小括号里面的，再算小括号外面的。
含有中括号的四则混合运算
在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
四则混合运算的运算顺序
加法运算律
加法交换律
两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a
若干个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b+c+d=a+c+b+d
在没有括号的加减混合运算中，交换加数或减数的位置时，一定要带着数前面的运算符号，a+b-c=a-c+b (带符号搬家）
加法结合律
加法结合律
三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，和不变。（a+b)+c=a+(b+c)
加法运算律的应用
加法交换律与加法结合律的区别
加法交换律只是改变加数位置，加法结合律是把结合的两个数用小括号括起来，改变的是运算顺序。
在连加算式中，当某些加数相加可以凑成整十、整百、整千......的数时，可以运用加法交换律，加法结合律改变加数的位置或改变运算顺序使计算简便。
加法交互律的应用
应用加法交换律和乘法交换律，可以验算加法和乘法的计算是否准确。
在减法和除法中不存在交换律
10-6=4，而6-10不够减，即10-6＞6-10，两个算式不相等
10÷2=5，而2÷10不到1，即10÷2＞2÷10，两个算式不相等
减法的运算性质
一个数连续减去两个数，等于这个数减去两个减数的和。a-b-c=a-(b+c)
应用减法的运算性质可以进行简便运算。
乘法运算律
乘法交换律
两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。a×b=b×a
若干个数相乘，交换乘数的位置，积不变。a×b×c×d×e=a×c×e×b×d
乘法结合律
乘法结合律
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。（a×b)×c=a×(b×c)
特殊的乘积：5×2=10,25×4=100，125×8=1000,625×16=10000
乘法交换律和乘法结合律区别
位置变化就是交换律，运算顺序变化就是结合律。（结合律要加小括号）
乘法分配律
乘法分配律
两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。（a+b)×c=a×c+b×c
两个数的差与一个数相乘：（a-b)×c=a×c-b×c
多个数的和（或差）与一个数相乘:(a±b±c)×m=a×m±b×m±c×m
两个数的和除以一个数:(a+b)÷c=a÷c+b÷c (c≠0)
两个数的差除以一个数:(a-b)÷c=a÷c-b÷c (c≠0)
多个数的和（或差）除以一个数：(a±b±c)÷m=a÷m±b÷m±c÷m (m≠0)
乘法分配律的应用
应用乘法分配律进行计算时，乘数要与两个加数分别相乘。
把一个接近整十，整百，整千....的数改成两个数相加（或相减）的形式时，不要忘记加小括号。
乘法交换律的应用
应用乘法交换律，可以验算加法和乘法的计算是否准确。
在减法和除法中不存在交换律
10-6=4，而6-10不够减，即10-6＞6-10，两个算式不相等
10÷2=5，而2÷10不到1，即10÷2＞2÷10，两个算式不相等
第六单元：除法
除数是整十数的除法
口算
整十、整百数、几百几十数除以整十数的口算方法。
两位数除以整十数的笔算方法：
被除数里面有几个除数，商就是几，商写在个位上。
笔算
三位数除以整十数的笔算方法
三位数除以两位数的笔算
试商，调商
用“四舍”法试商。
1、“四舍”法试商，商容易偏大，应调小。
用“五入”法试商。
2、“五入”法试商，商容易偏小，应调大。
先看被除数的前两位，如果被除数的前两位不够除，再看被除数的前三位，除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面，如果有余数，余数要比除数小。
三位数除以两位数，当除到被除数的十位除尽时，一定要在商的个位上写0占位。不够商1 ，就商0。
商是一位数，两位数的区分。
看被除数的前两位。和除数比较。大，商就两位，小，商就一位。
商不变的规律
被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变
如果被除数和除数的末尾都有0，运用商不变的规律，可以同时去掉末尾相同个数的0，使计算方便
运用商不变的规律简算除法时，余数不随着被除数和除数的缩小而缩小，被除数和除数的末尾同时去掉几个0，在余数的末尾就要填上几个0.
路程时间与速度
路程、时间与速度之间的关系
1、速度=路程÷时间
同时间，行的路程越长，就越快。
3、路程=速度×时间
同路程，行的时间越短，就越快。
2、时间=路程÷速度
时间路程均不同，求单位时间内行的路程，路越长，越快。
速度是指单位时间内所行的路程，因此速度=路程÷时间，单位名称是路程单位/时间单位，千米/时，米/分，米/秒，千米/分......(复合单位：表示速度，从左到右的顺序写。）
火车过桥行驶的路程等于桥长加火车的车长。
总价、数量与单价之间的关系
每件商品的价钱叫单价，买了多少，叫数量，一共用的钱数，叫做总价。
1、单价=总价÷数量
2、数量=总价÷单价
3、总价=单价×数量
数的整除特征：
被2，5整除
末尾能被2，或5整除。
个位是0/2/4/6/8，能被2整除
个位是0/5，能被5整除
被4，25整除
末两位能被4，或25整除。
被8,125整除
末三位能被8，或125整除
一个数各个数位上的数字之和能被3（能被9）整除，这个数就能被3（被9）整除。
第七单元：生活中的负数
温度
1、认识零摄氏度、零上温度和零下温度。
读法：+5℃读作：零上五摄氏度。-2℃读作：零下二摄氏度
写法：零上5℃，写作+5℃或5℃，零下2℃写作：-2℃
表示温度时，可以在数前面加上符号“+”或“-”，将零上温度和零下温度区分开。零上“+”可以省略不写。
2、根据温度的实际意义比较温度的高低
温度比较
0℃是分界线，0℃以上表示零上温度，0℃以下表示零下温度。
零上温度>0℃>零下温度
“-”后面的数越大，温度越低。
在标准大气压下，冰水混合物的温度为0℃
在同一个温度计上，越往上温度越高，越往下温度越低。所以零上和零下温度是一组具有相反意义的量。
3、温差
最高温度-最低温度=温差
两个零上温差
直接用大数-小数
两个零下温差
去掉“-”后，大数-小数
一个零上一个零下温差
先以零摄氏度为标准分别求出零下温度和零上温度，再把结果相加。
正负数
1、正负数的意义。
正负数表示一组具有相反意义的量。
比0大的数都是正数，前面可添写“+”，也可以不添。比0小的数都是负数，前面必须添加“-”。0不是正数也不是负数,0是正数负数的分界点。在生活中，0可以代表没有，还可以代表“基准”
0比所有的负数都大，比所有的正数都小。
正负数不仅存在于整数中，还存在于小数和分数中。
2、正负数的读写方法
认识正号和负号
“+”是正号，读作“正”；
“-”是负号，读作“负”
读写方法：
读法
按从左到右的顺序读，先读“正”或“负”，再读正负号后面的数。
+16读作：正十六；-16读作：负十六
写法
在数的左面写“+”，或“-”，“+”可以省略，“-”必须写。
正100写作：+100或100；负100写作：-100
3、认识整数
正整数
10,100,800,2000，......
负整数
-10,-100,-800,-2000......
0
体育比赛场次问题：
淘汰赛
n支队伍的淘汰赛，一共需要n-1场比赛。
单循环赛
n支队伍，一共需要n×（n-1)÷2场比赛
数学好玩
滴水实验
节约用水，随手关水龙头
编码
身份证号码
前六位：省市区代码，7-14位出生年月日，15-17位顺序码。17位是单数位男，双数为女。18位为校验码
数图形
某条线段上有n个点，（包括两端的点)，线段总数为（n-1）+（n-2)+......+3+2+1条线段。
第二单元：线与角
1、线的认识
线段、射线和直线的认识
线段定义
线段两端各有一个点（端点），不能像两个方向延伸，有一定的长度，像这样的线就是线段。
读法：A______B 读作：线段AB，或线段BA
画法：
连接两个端点的直线。
射线定义
有一个端点，可以向一个方向无限延伸，像这样的线就是射线。
读法：A_____B___ 读作：射线AB 只有一种读法。字母从左往右
画法：
从一点出发可以画无数条射线。
直线定义
线没有端点，可以向两个方向无限延伸，像这样的线是直线。
读法：
A B 读作：直线AB 或 直线BA
A————— 读作：直线A
画法：
过一点可以画无数条直线。
过两点只能画一条直线。
区别与联系
无论画射线还是直线，所画的线必须是直的。射线必须以已知点为起点，直线必须经过已知点。
线段的性质
性质：
两点之间所有连线中线段最短。
两点之间的距离
连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离。
数线段
数线段的方法
如果某条线段上共有n个点，将线段分成（n-1)条基本线段，那么线段总数为［（n-1)+(n-2)+(n-3)+......+2+1］条。
铁路车票算法
如果铁路沿线上有n个站点（包括起始站和终点站），那么就需要准备［n×（n-1）］中不同的车票
2、相交与垂直
1、认识相交与垂直
相交：
判断两条直线是否相交，只要将两条直线延长，如果能相交于一点，就说明这两条直线的位置关系是相交。
垂直：
当两条直线相交成直角时，这两条直线就相互垂直。其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足
垂直是两条直线相交的特殊情况。两条直线垂直是互相的，不能独立地说哪条直线是垂线。
相交和垂直后角的关系
当两条直线不互相垂直时，相交所成的角一定是两个锐角和两个钝角；当两条直线互相垂直时，相交所成的角一定是四个直角。
相交和垂直的关系
2、画垂线的方法
先画一条直线，然后使三角尺的一条直角边与这条直线重合，沿着三角尺的另一条直角边再画一条直线，这时所画的两条直线互相垂直。
利用三角尺画已知直线的垂线，无论是过直线上一点还是过直线外的一点，都必须保证三角尺的一条直角边与已知直线完全重合。
一条直线的垂线有无数条，过一点画已知直线的垂线只能画一条。
只有两条直线相交成直角时，交点才叫垂足，其他情况只能叫交点。
重要题型：同一平面直线相交的点数
在同一个平面，n条直线相交，最多有1+2+3+.....+(n-2)+(n-1)=n×(n-1)÷2 个点
举例：同一平面内，10条直线最多有几个交点？ 10×(10-1)÷2=45个
3、点与线之间垂直线最短
点到直线的距离定义：
从直线外一点到这条直线所画垂直线段的长度叫做这点到直线的距离。
点到直线的距离就是垂直线段的长度。
3、平移与平行
1、认识平行线
在同一个平面内，永不相交的两条直线互相平行。平行线间的距离处处相等。
平行可以用符号“∥”斜的两条平行线表示，（电脑显示问题）。a与b互相平行，记作：a∥b
特征：
在同一平面内
两条直线不相交。
2、平行线的画法
画法
借助尺子画平行线
用纸折出平行线。
借助三角尺平移画平行线。
借助方格纸画平行线
在同一平面内，画已知直线的平行线，可以画出无数条。
找平行线的方法和画平行线的方法是相同的。
4、旋转与角
1、平角和周角的认识
角的大小与角的两条边的长短无关，与角的两条边的开口有关，开口越大，角越大。
平角和周角都是由一个顶点和两条边组成的，所以平角不是直线，周角不是射线。
定义：当角的两条边经过旋转在一条直线上，所形成的角叫做平角。当角的两条边经过旋转完全重合时，所形成的角叫做周角。
2、角之间的关系
锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角，一个平角=2个直角 ，1个周角=2个平角=4个直角。
钝角一定大于直角，但大于直角的角不一定都是钝角。
链接n边形的某一顶点和与其不相邻的其他顶点，可以将n边形分成（n-2)个三角形。
若组成角的射线有n条，则组成的角有
5、角的度量（一）
1、度量角的方法
（1）、用尺子测量
发现：线段长，角度大。线段段，角度小。
只能判断出角的大小关系，不能量出叫的具体度数。
（2)、用自制的角测量
结论：要准确描述角的大小，必须有一个标准的 角的单位。
2、认识角的度量单位
（1）角的度量单位
定义：将圆平均分成360份，其中的一份所对的角的大小叫做1度（记作：1°）通常用1°作为度量角的单位。“°”写在数的右上角，要偏小一些，过大易与数字混淆。
（2）特殊角的度数及其大小关系
1周角=360°；1平角=180°；1直角=90°
1周角=2个平角=4个直角
（3）各种角之间的关系
6、角的度量(二）
3、认识量角器
度量角的大小通常用量角器
量角器是把半圆平均分成180份，每份所对的角都是1°
量角器的中心点两边各有一条零刻度线，两条零刻度线组成的角是180°
量角器上有两圈刻度：内圈刻度从右往左逆时针方向表示。外圈刻度从左往右顺时针方向表示。
选择的零刻度线不同，角的开口方向也不同。
量角器功能：度量角的大小，画角。
4、用量角器度量角的度数的方法
估角
估计角的度数时，可以与三角尺上的特殊角进行比较。
先看与哪种已知角的大小接近，比已知角大就往大估，小就往小估。
度量角的基本方法：
1）将角的顶点与量角器的中心点重合
点点重合
2）把量角器的零刻度线与角的一条边重合
线边重合
3）看角的另一条边所对应的刻度，就是这个角的度数。
注意区分内外刻度线
5、用量角器和三角尺画角
用量角器画角的方法
两重合一对照：
量角器的中心点与射线的端点重合
零刻度线与射线重合
对照刻度线所在的那一圈上的刻度找准度数点一个点，以射线的端点为端点，经过刚点的这一点，再画一条射线即可。
用三角尺画特殊度数的角
对于一些特殊刻度：如15°，30°，45°,60°，75°，90°，105°，120°等的角，可以利用三角尺画出来。
钟面上分针（或时针）转动一个大格是30°，（360°÷12=30°）转动一小格就是6°。（360°÷60=6°）
多边形对角线数量问题
关键是找出对角线的总条数与多边形的顶点数之间的关系，即对角线的总条数=n（n-3）÷2（n为多边形的顶点数，且n＞3）.
三角形中添加线段求三角形个数的问题：
关键是找出添加线段的条数与三角形个数之间的关系。若在三角形中添加的线段（所添加的线段均从同一顶点出发）的条数为n，则得到的三角形的个数=（n+1）×（n+2）÷2
第五单元：方向与位置
描述简单的路线图
方向和距离是描述路线图不可缺少的两个基本要素。
平面图一般是按照上北下南，左西右动绘制的。
要说清楚所走的路线，必须说明三点：1、所走路线由几段组成。2.每段路向哪个方向走。3、每段路要走多远？
从甲地到乙地的方向与从乙地到甲地的方向正好相反。
在方格纸上用数对确定物体的位置
用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对。
给出物体在平面上的数对，就可以确定物体所在的位置。数对中的第1个数表示物体所在纵线的序号，第2个数表示物体所在横线的序号。
用数对表示物体的位置时，先写组数，后写排数，不能颠倒这两个数的位置。
用数对表示物体的位置时，先写出物体所在纵线（组数）的序号，再写出物体所在横线（排数）的序号，两个序号之间要用逗号隔开，并用括号将两个序号括起来，即（组数，排数)
第八单元：可能性
事件发生的不确定性
用“可能”描述
掷硬币时，出现正面和反面朝上的可能性相等，在数学上叫做等可能性
结果不能事先确定的现象就是随机现象。
事件发生的确定性
用“一定”或“不可能”描述
判断事件发生的可能性大小
事件发生的可能性大小与数量有关
在总数中所占数量越多，发生的可能性就越大，所占数量越小，发生的可能性就越小。