四下数学思维导图（北师大版）

一本书，一张图，四年级下册数学思维导图整理了小数的意义和加减法、小数乘法、认识三角形和四边形、观察物体、认识方程、数据的表示和分析的内容，一起来发现数学之美。

四下数学

• 一：小数的意义和加减法
  • 小数的意义
    • 1.小数的意义(一)
      • 分数与小数的关系
        • 小数是分数的另一种表现形式。分数和小数之间可以互化。 分母是10,100,1000.....的分数分别用一位数、两位数、三位数......表示。
        • 用“元”做单位时：
          • 元 . 角分 元是整数，角是小数点后面第一位，分是第二位。
        • 用“米”做单位时：
          • 米 . 分米 厘米 毫米 米是整数，分米是小数点后面第一位，厘米是第二位，毫米是第三位
        • 用“千克”做单位时：
          • 千克 . 0 0 克 千克是整数，克是小数点后第三位。因为1千克=1000克，1克=1/1000=0.001克
    • 2.小数的意义(二)
      • 小数单位换算
        • 单名数 的改写方法，根据单位间的进率和小数的意义，先将低级单位前面的数改写成分母是10，100， 1000....的分数，再把分数改写成小数，进而用较大单位的量表示。
          • 例：单名数转化成单名数 12克=（0.012）千克
        • 复名数 化成单名数用小数表示的方法，把复名数中高级单位的数写在整数部分，把低级单位的数改写成小数后写在小数部分。
          • 例：复名数转化成单名数 1千克500克=（1.500 ）千克
    • 3.小数的意义(三)
      • 小数数位顺序表
      • 进率
        • 小数点右边的第一位是十分位，计数单位是十分之一（或0.1）；小数点右边的第二位是百分位，计数单位是百分之一（或0.01），小数点右边的第三位是千分位，计数单位是千分之一（或0.001）
        • 小数相邻两个计数单位间的进率是10
      • 基本性质
        • 小数的末尾填上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
        • 小数的末尾添0或去0，虽然小数点大小不变，但是计数单位发生改变，即意义发生改变。
          • 0.2的计数单位是1/10，表示2个0.1
          • 0.20的计数单位是1/100，表示20个0.01
  • 小数的比较
    • 4.比大小
      • 小数比较大小的方法
        • 小数的大小与小数位数的多少无关。
        • 从高位起逐一比较，高位数上的数大，这个数就大。
          • 先比较整数部分，整数部分大的那个小数就大；整数部分相同。十分位上的数大的那个小数就大，十分位上的数相同，百分位上数大的那个小数就大，以此类推。
  • 小数的加减法
    • 5.买菜
      • 小数加减法（不退位，不进位）的计算方法
        • 相同数位对齐也就是把小数点对齐。从末位算起，得数的小数点与竖式中横线上的小数点对齐。
        • 如果整数部分相减得零，那么一定要在个位上写零占位，并对齐横线上的小数点，点上小数点。
    • 6.比身高
      • 小数加减法（进位，退位）的计算方法
        • 进位：相同数位对齐，从末位相加，然后按照整数进位加法的计算方法计算，哪一位相加满10就要向前一位进1，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。
        • 退位：相同数位对齐，从末位减起，如果被减数的小数部分位数不够，可以添0再减，哪一位上的数不够减，要从前1位退1，在本位上加10再减。
        • 笔算不同位数的小数加减法，进位退位时，一定要将小数点对齐，即相同数位对齐，有需要时可以根据小数的基本性质，在小数的末尾添0，使小数部分位数相同后再计算。
    • 7.歌手大赛
      • 小数加减混合运算
        • 小数加减，混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同，在没有括号的算式里，从左往右按顺序计算，如果算式里有括号先算括号里面的，再算括号外面的。
        • 整数加法的运算定律和减法的运算性质对于小数加减法同样适用。
        • 在计算小数加减混合运算时，如果几个数都与同一个数接近，那么可以把这个整数作为基准数，把几个数改写成基准数加几或，或基准数减几的形式，这样进行计算比较简便。
• 三：小数乘法
  • 小数乘整数
    • 1.买文具
      • 小数乘整数的意义：与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。
      • 小数乘整数的计算方法：根据小数的意义将小数转化成整数成计数单位的形式进行计算。
        • 例：0.2×4=2×0.1×4=8×0.1=0.8
      • 小数乘小数 整数乘小数 小数乘小数
        • 整数乘整数大乘小
          • 点小数点
            • 0.12×6 6×0.12 1.2×0.6 0.6×1.2
              • 12×6=72 大乘小 方便计算都等0.72
                • 注意：两个乘数共有几位小数位数，积就有几位小数。
                • 点小数点的关键：个数要相等。
                • 例：0.137×90=
                  • 先算137×90=12330
                  • 点小数点：12.330
  • 小数点移动引起小数大小变化的规律
    • 2.小数点搬家
      • 小数点移动引起小数大小变化的规律：左缩右扩
        • 右移大：一个数的小数点向右移动一位，两位，三位，......得到的数就是它的10倍100倍1000倍......。
        • 左移小：小数点向左移动一位，两位，三位...得到的数就是它的1/10 ,1/100 ,1/1000...
      • 小数点移动引起小数大小变化的规律的应用
        • 右移：求一个数的10倍100倍1000倍...是多少,就是用它分别乘10,100, 1000...，也就是把它的小数点分别向右移动一位两位三位...。
        • 左移：求一个数的1/10， 1/100，1/1000...是多少,就是用它分别除以10, 100, 1000...，也就是把它的小数点分别向左移动一位,两位,三位...。
  • 积的小数位数与乘数的小数位数的关系
    • 3. 街心广场
      • 小数乘法中积的小数位数是由乘数的小数位数决定的，积的小数位数等于乘数的小数位数之和。
        • 在小数乘法中，乘数一共有几位小数积就有几位小数。
          • Skills
      • 在乘法中，一个乘数扩大到原来的m倍，另一个数扩大到原来的n倍，积就扩大到原来的m×n倍，m，n≠0。
      • 在乘法中，一个乘数缩小到原来的1/m，另一个乘数缩小到原来的1/n/，积就缩小到原来的1/m×1/n，或1/m×n。m，n≠0
      • 注意：计算小数乘法，当积的末尾有0时，一定要先点上小数点，再根据小数的基本性质去掉小数末尾的“0”。
      • 例：13×12=156 （ ）×（ ）=1.56
        • 小数点同向运动：1.3×1.2 小数点一静一动：0.13×12=13×0.12 小数点反向移动：130×0.012=0.013×120 或1300×0.0012，0.0013×1200
  • 小数乘法的竖式计算
    • 4. 包装
      • 小数乘法竖式口诀
        • 对齐、乘完、加点、去零
        • 对齐：除末位0外右对齐，切记不是小数点对齐 乘完：按整数乘法把结果乘出来末尾的0也要移下来 加点：数出因数中小数位数，在积的末位起左数点上小数点 去零：小数末尾如果有0，一般要去掉（近似数除外）
          • 两个易错点： 1. 对齐时不要受小数加减法影响而对齐小数点。 2. 因数中末尾有0时，切忌先乘完，把0移下来再加小数点。
      • 最后点积的小数点，积的位数不够时，在积的前面添“0”补位。
    • 5. 蚕丝
      • 小数乘整百数竖式计算
        • 小数乘整百竖式
          • 例：0.35×300=35×3=105 小数乘整百数时，可以先将整百数中末尾的两个零去掉，同时将另一个乘数的小数点向右移动两位后再相乘。
          • 整数乘法的运算律在小数乘法中同样适用。
        • 积和乘数（0除外）的大小关系
          • 当一个乘数大于1时，积大于另一个乘数
          • 当一个乘数小于1时，积小于另一个乘数
          • 当一个乘数等于1时，积就等于另一个乘数
          • 一个乘数，越接近1，积越接近另一个乘数
  • 小数加减乘的混合运算
    • 6. 手拉手
      • 小数混合运算的运算顺序
        • 小数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相同
          • 在一个算式里，既有乘除，又有加减，先算乘除，再算加减。有括号的先算括号里的，再算括号外
      • 小数混合运算的简算
        • 运用运算律进行简算，可以提高计算的速度和准确性。
        • 多个乘法算式相加，每一个算式中都有一个乘数中有相同的数字时，可以在积不变的前提下，先移动乘数的小数点，使一个乘数相同，再利用乘法分配律进行简算
• 二、认识三角形和四边形
  • 1. 图形分类
    • 图形分类
      • 平面图形特征
        • 构成图形的所有的点都在同一平面内
          • 三角形，平行四边形，圆，长方形，正方形
      • 立体图形特征
        • 占有一定的空间，且构成图形的所有的点不都在同一平面内
          • 正方体，长方体，圆柱，球
    • 四边形和三角形的性质
      • 四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性。
  • 2. 三角形分类
    • 按角来分
      • 1. 直角 三角形® 有一个角是直角的三角形 2. 钝角 三角形® 有一个角是钝角的三角形 3. 锐角 三角形® 三个角都是锐角的三角形
        • 判断一个三角形是什么三角形关键看三角形中最大的角
      • 顶角是直角的等腰三角形又叫作等腰直角三角形
    • 按边来分
      • 1. 不等边三角形（三个边都不相等） ® 三条边都不相等的三角形 2. 等腰三角形（有两条边相等）®有两条边相等的三角形。 相等的两条边叫作腰 ，两腰的夹角叫作顶角，底边的两个角叫作底角。等腰三角形的两个底角相等。 3. 等边三角形（有三条边相等）®三条边都相等的三角形，也叫作正三角形 是特殊的等腰三角形
    • 拓展
      • 等边三角形每个角都是60度，所以等边三角形一定是锐角三角形
      • 等腰三角形同时也可能是锐角三角形或钝角三角形或直角三角形
      • 顶角是直角的等腰三角形又叫作等腰直角三角形
      • 等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形
      • 任意一个三角形至少有两个锐角，只有知道第三个角的度数才能判断是什么三角形
  • 4.认识三角形
    • 3. 探索与发现：三角形内角和
      • 三角形内角和等于180度
        • n边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）
      • 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
      • 三角形内角和与三角形的大小形状无关，任意一个三角形内角和都是180度
      • 已知三角形中两个角的度数，根据三角形内角和等于180度，可以求出第三个角的度数，从而判断出该三角形是什么三角形。
    • 4. 探索与发现：三角形边的关系
      • 三角形任意两边之和大于第三边
      • 三角形任意两边之差小于第三边
      • 已知三角形中任意两条边的长度，则第三条边的范围在：两条边的差＜第三条边＜另外两条边的和
      • 当两边之和等于或小于第三边时，不能围成三角形
      • 在三角形中，大角对大边，大边对大角
  • 5. 四边形分类
    • 四边形分类
      • 两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 只有一组对边平行的四边形是梯形
      • 正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。
• 四：观察物体
  • 观察立体图形
    • 1. 看一看
      • 正确辨认从不同方向观察到的物体的形状
        • 不同的立体图形，从同一位置观察到的形状可能完全相同。
        • 同一立体图形，从不同位置观察到的形状可能不同。
      • 在方格纸上画出从不同位置观察到的图形
        • 画由正方体搭成的平面图形，应明确观察到的形状，即由几个正方形组成以及这几个正方形的位置关系。
        • 拓展：三视图：指观测者从正面、上面、左面三个不同角度观察同一个几何体画出的图形。从物体正面看到的形状叫作主视图。从物体上面看到的形状叫作俯视图。从物体左面看到的形状叫作左视图或者侧视图。
  • 搭立体图形
    • 2. 我说你搭
      • 按给定的指令搭出对应的立体图形
        • 当正方体的数量确定时，只根据从一个方向看到的形状搭出的立体图形有时不只一种。
    • 3.搭一搭
      • 根据从三个方向看到的立体图形的形状还原立体图形。
        • 子主题
• 五：认识方程
  • 1.字母表示数
    • 用字母表示数
      • 用字母或含有字母的式子都可以表示数。含有字母的式子既可以表示数，又可以表示数量关系。表示数量关系时，它的值是待定的，只有所含字母的值确定了，这个式子的值才能随之确定。
      • 在含有字母的式子中，字母可以在实际意义范围内取值。
    • 用字母表示计算公式
      • 数字和字母相乘时，乘号可以写成小圆点也可以省略不写，数字一般写在字母的前面，所以4×a可以写作4.a或4a。
      • a×a可以写作a²，读作a的平方，表示2个a相乘。
      • a表示长方形的长用 b表示长方形的宽 C表示长方形的周长 S表示长方形的面积
        • C=2(a+b）=2a+2b S=ab
      • 在含有字母的加法算式里，加号不可以省略不写。
      • 相同的字母在不同的情境中，表示的意义一般是不同的。
    • 用字母表示运算律
  • 2.等量关系
    • 等量关系是指数量之间具有的相等关系。表示等量关系的方法有很多，画图是最直观的表示方法。
    • 同一个等量关系可以有不同的表现形式。
  • 3.方程
    • 方程定义：含有未知数的等式叫方程，用方程可以表示等量关系。
    • 等式定义：用等号将相等的量连接起来，表示相等关系的式子就是等式。
    • 所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。
      • 10+20=30 是等式但不是方程
      • x+2=10 是等式也是方程
    • 用字母表示数的式子叫代数式，如：5a+3，而方程是含有未知数的等式，如5x+6=16，所以代数式与方程有着本质上的区别。
  • 4.解方程（一）
    • 等式的性质（一）
      • 等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
        • x+5=15 → x+5+10-2=15+10-2
      • 等式两边都加上（或减去）同一个式子等式仍然成立。
        • x+5=15 → x+5+（x-2）=15+（x-2)
      • 解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
      • 解方程定义：求方程的解的过程叫解方程。
      • 方程的解是结果，解方程是求解的过程。
  • 5.解方程（二）
    • 等式的性质（二）
      • 等式两边都乘同一个数，（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。
      • 方程的解没有单位名称，是由于方程是等式，且方程两边的数量是相等的，因此方程两边的单位名称可以同时约去。求方程的解的过程就是数的恒等变形的过程，最后的结果是没有单位名称的，只需要在答语中把单位名称写清楚。
      • 解方程时应该用等号把相等的量连接起来，并且要把等号上下对齐。
  • 6.猜数游戏
    • 解方程
      • 1. 利用等式的性质，解形如“ax+b=c（a≠0）”的方程。
      • 2. 利用等式的性质，解形如“ax-b=c（a≠0）”的方程。
• 六：数据的表示和分析
  • 1、生日
    • 认识简单的条形统计图
      • 画条形统计图时，可以用1格表示1个单位量，根据数据的多少画出相应的格数
      • 条形统计图有横向和纵向，画图时，要明确横轴表示什么，纵轴表示什么
      • 条形统计图能够直观地表示出数量的多少，便于理解和比较数据。
  • 2、栽蒜苗（一）
    • 用1格表示多个单位量的条形统计图 的绘制方法
      • 条形统计图能够比较清楚地表示出数量的多少。
      • 在绘制统计图时，写清标题，明确横轴和纵轴所表示的对象，确定纵轴1格所表示的单位量，并注意直条间的距离要相等。
      • 运用横向、纵向对比观察的方法可以读懂条形统计图，并从中获取更多的信息。
    • 用不同形式的统计图表示数据
      • 根据所给数据，一个单位长度可以表示较大的数量。
      • 象形统计图和条形统计图都可以表示一组数据，只是表示的形式不同。
  • 3、栽蒜苗（二）
    • 折线统计图的特点
      • 折线统计图不仅能反映出数量的多少，还能反映出数量的增减变化情况。
    • 绘制折线统计图的方法
      • 三个步骤：描点→连线→标数据
      • 绘制折线统计图的方法：首先画两条互相垂直的射线作为横轴和纵轴，并标注相关数据，然后根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来，最后标明数据。
  • 4、平均数
    • 平均数的意义
      • 意义：一组数据的和除以这组数据的总个数所得的商叫平均数。它即可以描述一组数据本身的总体情况，也可以作为不同组数据想比较的一个标准。
    • 求平均数的方法
      • 1）、移多补少法，多的拿出一部分给少的，直到每个数据都相同为止，这个相同的数据就是这组数据的平均数； 2）、先总后分法，先求出几个数据的和，再用着和除以数据的个数，即平均数=总数量÷总份数
    • 平均数只能反映一组数据的整体情况，不能代表其中的某个个体。个体可能比平均数大，也可能比平均数小，还可能和平均数相等。
• 数学好玩
  • 1、密铺
    • 密铺的图形公共顶点处所有角的度数合起来正好是360º
      • 密铺与图形的角有关，当公共顶点处所有角的度数和是360º时，该图形就可以密铺。
    • 不是所有的平面图形都能密铺。
      • 正五边形不能密铺
      • 正六变形能密铺
  • 2、奥运中的数学
  • 3、优化
    • 同时做一些事情就可以节省时间