信号与系统

信号与系统知识点总结，包括连续时间信号与系统的时域、频域、复频域分析。适用于电子信息、通信等专业的学生。

信号与系统

第一章：导论

1. 本课程要解决的问题

连续、离散

时域分析、变换域分析

2. 信号的描述及分类

定义

广义：随时间变化的某种物理量

电信号：通常是随时间变化的电压或电流

严格：消息的表现形式与传送载体

表示：数学解析式/图形

分类

1. 确定/随机

确定：能够以确定的时间函数表示

随机（不确定）：不能...

2. 连续/离散

连续：

在观测过程的连续时间范围内信号有确定的值， 允许在其时间定义域上存在有限个间断点

通常以f (t)表示

模拟信号：连续信号的任一时刻的取值是连续的

离散：

仅在规定的离散时刻有定义

通常以f[k]表示

数字信号：取值为离散的离散信号

离散信号的产生

对连续信号抽样 f[k]=f(kT)

信号本身是离散的

计算机产生

3. 周期/非周期

周期信号

定义

连续时间周期信号：对任意t∈R，存在T≠0使得f(t+T)=f(t)

离散时间周期信号：对任意k∈I，存在N≠0使得f[k+N]=f[k]

周期信号的时间范围：-∞，﹢∞

基本周期：满足上述定义；最小；正T、正N

求周期

非周期信号

4. 能量/功率

定义

能量信号：0<W<∞，P=0

能量（功）有穷，功率为0

功率信号：W→∞，0<P<∞

能量（功）无穷，功率有穷

归一化能量W、归一化功率P的计算

连续信号

幅度平方的积分值，使负信号能量有意义

注意功率是在所有时间上的功率，即T->∞，即使仅在部分时间上有信号

离散信号

直流信号与周期信号都是功率信号

一个信号，不可能既是能量信号又是功率信号，但有可能二者都不是

3. 系统的描述及分类

系统：由相互作用和依赖的若干事物组成的、具有特定功能的整体

系统的描述

数学模型

输入输出描述：N阶微分方程/N阶差分方程

状态空间描述：N个一阶微分方程组/N个一阶差分方程组

方框图表示

RL串联电路

描述系统的基本单元方框图

∫：积分器；D：均衡器

系统的分类

1. 连续时间/离散时间

连续时间系统

输入激励与输出响应都必须为连续时间信号

数学模型：微分方程式

离散时间系统

输入激励与输出响应都必须为离散时间信号

数学模型：差分方程式

2. 线性/非线性

线性系统

定义：具有线性特性的系统

无初始状态

线性特性

均匀特性：若f1(t)--->y1(t)，则Kf1(t)--->Ky1(t)

叠加特性：若f1(t)--->y1(t),f2(t)--->y2(t)，则f1(t)+f2(t)--->y1(t)+y2(t)

同时具有两种特性方为线性特性

代公式，形如：x(t)-->y(t)=...，则Kx(t)-->...=Ky(t)

注：x(t)->y(t)，可记作T{x(t)}=y(t)

可表示为： f1(t)-->y1(t),f2(t)-->y2(t)， 有α·f1(t)+β·f2(t)-->α·y1(t)+β·y2(t) （其中α、β为任意常数）

代公式，形如：设x(t)=α·f1(t)+β·f2(t)，则y(t)=...=α·y1(t)+β·y2(t)

有初始状态

具有初始状态的线性系统，输出响应=零输入响应+零状态响应

（连续时间系统）

判断方法

三个方面 （分三步）

1. 具有可分解性

任意线性系统的输出响应都可分解为零输入响应与零状态响应两部分之和

应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关

2. 零输入线性

系统的零输入响应yzi(t)必须对所有的初始状态y(0)呈现线性特性

应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中y(0))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量

3. 零状态线性

系统的零状态响应yzs(t)必须对所有的输入信号f(t)呈现线性特性

应以系统的输入激励为自变量（如上述例题中f(t)），而不能以其它的变量（如t等）作为自变量

微积分运算是线性运算

非线性系统

3. 时不变/时变

时不变系统 （非时变系统）

系统的输出响应与输入激励的关系 不随 输入激励作用于系统的时间起点 而改变

时不变特性

时不变的连续时间系统：f(t)-->yf(t)，有f(t-t0)-->yf(t-t0)

时不变的离散时间系统：f[k]-->yf[k]，有f[k-n]-->yf[k-n]

线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式或差分方程式描述

？

时变系统

变f(t)为f(t-t0)， 看y(t)是否变为y(t-t0)

判断时不变特性时， 只考虑零状态响应， 不涉及系统的初始状态

4. 因果/非因果

因果系统

当且仅当输入信号激励系统时才产生输出响应的系统

非因果系统

不具有因果特性的系统

5. 稳定/不稳定

稳定系统

有界输入产生有界输出的系统

不稳定系统

有界输入产生无界输出的系统

连续的线性时不变系统：可由定常系数的线性微分方程表示

微分：连续

常系数：时不变

线性：线性

4. 信号与系统分析概述

信号分析的主要内容

连续信号

时域：信号分解为冲激信号的线性组合

频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合

复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合

离散信号

时域：信号分解为单位脉冲序列的线性组合

频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合

复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合

系统分析的主要内容

连续系统

系统的描述

输入输出描述法：N阶微分方程

状态空间描述：N个一阶微分方程组

系统响应的求解

时域：yf(t)=f(t)*h(t)

频域：Yf(jω)=F(jω)H(jω)

复频域：Yf(s)=F(s)H(s)

离散系统

系统的描述

输入输出描述法：N阶差分方程

状态空间描述：N个一阶差分方程组

系统响应的求解

时域：yf[k]=f[k]*h[k]

频域：Yf(e^jΩ)=F(e^jΩ)H(e^jΩ)

Z域：Yf(z)=F(z)H(z)

信号与系统之间的关系

信号与系统是相互依存的整体

1. 信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，离开系统没有孤立存在的信号

2. 系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理， 没有信号的系统就没有存在的意义

系统与电路之间的关系

通常把系统看成比电路更为复杂、规模更大的组合

处理问题的观点不同

电路：着重在电路中各支路或回路的电流及各节点的电压上

系统：着重在输入输出之间的关系上，即系统能实现何种功能

第二章：信号的时域分析

1. 连续时间信号的时域描述

典型普通信号

正弦信号

指数信号

实指数信号

虚指数信号

周期：

（联系欧拉公式）

基本周期：

复指数信号

抽样信号

性质

类似：

"辛格函数”

奇异信号 （自身或导数存在间断点）

单位阶跃信号

定义

作用

表示任意的方波脉冲信号

利用其单边性表示信号的时间范围

单位冲激信号

引出

单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i(t) = Cdu(t)/dt可用冲激信号表示

定义

狄拉克定义式：

图形表示

δ(t-t0)：冲激信号可以延时至任意时刻t0

定义式：

冲激信号的强度：信号对时间的定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值

物理意义：表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型

作用

表示其他任意信号

表示信号间断点的导数

极限模型

？

性质

筛选特性

取样特性

由筛选特性易证

展缩特性

用积分可证

令a=-1知冲激信号是偶函数

与阶跃信号的关系

运算

例

注意

在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是（-∞，+∞），但只要积分区间不包括冲激信号δ(t-t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。

对于δ(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为1/|a| δ(t+b/a)形式后，方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。0

斜坡信号

与阶跃信号的关系

冲激偶信号

定义

？

性质

知道即可

四种奇异信号的微积分关系

2. 连续时间信号的基本运算

1. 尺度变换

f(t)-->f(at) a>0

0<a<1：扩展

a>1：压缩

注意：断点函数值不变

画图时常用此性质！

2. 翻转

f(t)-->f(-t)

3. 平移（时移）

f(t)-->f(t-t0)

左加右减

4. 相加

f(t)=f1(t)+f2(t)+...+fn(t)

5. 相乘

f(t)=f1(t)*f2(t)

6. 微分

y(t)=df(t)/dt=f'(t)

对不连续点的微分：突变点得到冲激信号

7. 积分

3. 确定信号的时域分解

信号分解为直流分量与交流分量

连续时间信号

Direct Current/Alternating Current

直流

离散时间信号

信号分解为奇分量与偶分量之和

连续时间信号

Even/Odd

偶

奇

离散时间信号

偶

奇

信号分解为实部分量与虚部分量

连续时间信号

Real/Imaginary

实

虚

注：

离散时间信号

连续信号分解为冲激函数的线性组合

推导

？

公式

物理意义

不同的信号都可以分解为冲激序列，信号不同只是它们的系数不同

实际应用

当求解信号通过系统产生的响应时，只需求解冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用线性时不变系统的特性，进行迭加和延时即可求得信号f(t)产生的响应。

第三章：系统的时域分析

1. 线性时不变系统的描述及特点

描述

连续时间系统用N阶常系数微分方程描述

倒数第二项应为y'(t),f'(t)，左误

特点

1. 线性特性

均匀

叠加

2. 时不变特性

3. 微分特性与差分特性

若T{f(t)}=y(t)，则

4. 积分特性与求和特性

若T{f(t)}=y(t)，则

例题

2. 连续时间LTI系统的响应

经典法：求解微分方程

完全响应y(t)=yh(t)+yp(t)

齐次解yh(t)：形式由齐次方程的特征根决定

1. 特征根是不等实根

s1, s2, ..., sn

2. 特征根是等实根

s1=s2=...=sn =s

3. 特征根是成对共轭复根

特解yp(t)：形式由方程右边激励信号的形式决定

例题

不足

右边激励项复杂，则难以处理

激励信号变化，需重新求解

初始条件变化，需重新求解

纯数学方法，无法突出物理概念

卷积法

系统完全响应=零输入响应+零状态响应

零输入响应yx(t)

模型：

求解（微分方程）

1. 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式

2. 由初始状态确定待定系数

例题

完全由系统自身决定，与外界激励无关

零状态响应yf(t)

求解（卷积法）

1. 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合

2. 求出单位冲激信号作用在系统上的响应（冲激响应）

3. 利用线性时不变系统的特性，求解yf(T)

yf(t)=f(t)*h(t)

求解推导

例题

（已知冲激响应，故直接第三步）

3. 连续时间系统的冲激响应

定义

在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信号δ(t)激励系统所产生的输出响应，记作h(t)

N阶连续时间LTI系统的h(t)：

冲激平衡法求系统的单位冲激响应

例题

注：n,m：

n=m时：

加上δ(t)使得h(t)求导后可以与等号另一端的δ'(t)匹配

n>m时：

n<m时：

总结

1. 由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式

2. 由动态方程右边d (t)的最高阶导数与方程左边h(t)的最高阶导数确定d (j)(t)项

连续系统的阶跃响应

求解方法

求解微分方程

利用冲激响应与阶跃响应的关系

例题

4. 卷积积分及其性质

卷积定义与计算

可以画图分析，看t的取值

"翻转平移相乘积分”

两个相同的方波信号卷积，得到原信号两倍大的“等腰三角形”

卷积性质

基本运算律

交换律

分配律

结合律

特性

平移

展缩

微分

积分

等效

奇异信号的卷积

延时

微分

积分

5. 冲激响应表示的系统特性

级联系统的冲激响应

结论

级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积

交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应

并联系统的冲激响应

结论

并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和

因果系统

定义

系统t0时刻的输出只和t0时刻及以前的输入信号有关

充要条件

因果连续时间LTI系统的单位冲激响应必须满足

即：一个因果系统的冲激响应在冲激出现之前必须为零

稳定系统

定义

若连续系统对任意的有界输入其输出也有界，则称该系统是稳定系统(BIBO)

充要条件

连续时间LTI系统稳定必须满足

第四章：信号的频域分析

连续周期信号的频域分析

频域分析

定义

将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合

意义

信号分析角度：便于比较不同信号

系统分析角度：由迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应

周期信号的傅里叶级数展开

条件：Dirichlet条件

一周期内绝对可积

充分不必要

一周期内有限个不连续点

左右极限存在

一周期内有限个极大值和极小值

不振荡

必要不充分

指数形式

n=±1

基波频率f0，两项合起来为基波分量

n=±2

基波频率2f0，合起来为2次谐波分量

n=±N

基波频率Nf0，合起来为N次谐波分量

三角形式

仅适用于实信号

f(t)

直流分量+基波（和原函数同频）

二次谐波（2倍频）

高次谐波

系数关系：

a0亦作a0/2

计算

直流分量

谐波分量

例题

已知信号，求展开式

Sa信号前面的积分？

写成指数形式即可（P2不用写）

周期矩形脉冲信号的傅里叶系数：

欧拉公式

傅里叶级数的基本性质

1. 线性特性

2. 时移特性

3. 卷积性质

4. 微分特性

5. 对称特性

1. 实信号

2. 纵轴对称（偶对称）信号

只有直流项和余弦项（正弦项系数bn=0）

推导：奇零偶倍

3. 原点对称（奇对称）信号

只有正弦项

4. 半波重叠信号

只有正弦与余弦的偶次谐波分量，无奇次谐波分量

5. 半波镜像信号

只有正弦与余弦的奇次谐波分量，无直流分量与偶次谐波分量

周期信号的频谱及其特点

频谱的概念

周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和

f(t)与Cn一一对应

不同的时域信号，知识傅里叶级数的系数Cn不同，故研究Cn即可知信号特性

Cn是频谱的函数，反映了信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称为频谱函数

“像谱线一样”

频谱的表示

频谱图：直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图形

谱线的间隔：ω0=2π/T

？

|Cn|：幅度频谱

e^jφn：相位频谱

时域中无穷无尽，频域中就这么几条线

频谱的特性

1. 离散频谱特性

周期信号的频谱是由间隔为ω0的谱线组成的

信号周期T越大，ω0就越小，谱线越密

？

2. 幅度衰减特性

当周期信号的幅度频谱随着谐波nw0增大时，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零

3. 信号的有限带宽

τ：时宽，与带宽成反比

冲激信号的时宽最小(0)，带宽最大；直流信号的时宽最大(∞)，带宽最小

ω越大，信号变化越剧烈

物理意义：在信号的有效带宽内，集中了绝大部分谐波分量

4. 相位谱的作用

幅频：明暗

相位频：轮廓

5. Gibbs现象

定义：用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，且为跳变值的9%

产生原因：时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛

周期信号的功率谱

帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理

时域上求功率=频域上求功率

物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和

非周期信号的频域分析

从傅里叶级数到傅里叶变换

非周期：看作周期无穷大

T->∞时，Cn->0，故换用TCn表示信号的特征，并记作F(jω)

物理意义：F(jω)是单位频率所具有的信号频谱(TCn=Cn/f0)，称为非周期信号的频谱(密度)函数

频谱函数、频谱密度函数

普遍结论：若时域是连续的，则频域是离散的；若时域是离散的，则频域是连续的

周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱

周期Cn

非周期F(jw)

周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为T Cn的分布，表示每单位频带内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数

傅里叶变换

正

反

非周期信号可以分解为无数个频率为ω，复振幅为[F(jω)/2p]dω 的虚指数信号e^jωt的线性组合

无限求和即积分

负无穷到正无穷：包含了整个时域和频域的情况

脉宽为τ的方波信号，其频谱密度函数：

频谱密度函数

非周期信号

1. 单边指数信号

幅度频谱

有效带宽仅在正频域，但因为频谱左右对称，负频域部分也要表示

相位频谱

2. 双边指数信号

实函数，偶对称

3. 单位冲激信号δ(t)

F[δ(t)]=1

由取样性质易得

4. 直流信号

f(t)=1,-∞<t<+∞

由傅里叶逆变换可得，1与2πδ(ω)互易对称

时域越宽，频域越窄，反之亦然

5. 符号函数信号sgn(t)

F(jω)=

6. 单位阶跃信号u(t)

u(t)=1/2+1/2*sgn(t)

周期信号

1. 虚指数信号

同理：

2. 正弦型信号

3. 一般周期信号

基本信号是δ信号，只不过不同信号在频谱上强度不一样，此强度取决于2πCn

4. 单位冲激串

傅里叶变换的基本性质

1. 线性特性

2. 共轭对称特性

3. 时移特性

4. 展缩特性

时域中展宽x倍，则频域中压缩x倍

5. 互易对称特性

w->t, t->-w, 乘2π

6. 频移特性（调制定理）

可推f(t)·sin(w0t)

7. 时域卷积特性

8. 频域卷积特性

卷积定理

9. 时域积分特性

加上直流分量对应的频谱

10. 时域微分特性

修正直流分量

11. 频域微分特性

像函数的导数公式

12. 能量定理

帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理

时域上求功率=频域上求功率

信号的时域抽样

背景

方法

应用

Sa(t)、Sa^2(t)在-∞到+∞的积分

时域变频域

第五章：系统的频域分析

连续时间系统的频率响应

1. 虚指数信号e^jωt(-∞<t<+∞)通过LTI系统的zs响应

可以表达成虚指数信号的线性积分

其中

系统的频响，h(t)的傅里叶变换

2. 任意非周期信号通过LTI系统的zs响应

若信号的Fourier存在，则可由虚指数信号的线性组合表示，即

由均匀性、积分特性，推知

3. 系统频响H(jω)的定义与物理意义

LTI系统把频谱为F(jω) 的输入改变成频谱为H(jω) F(jω) 的响应，改变的规律完全由H(jω) 决定

H(jω)：系统的频率响应

|H(jω)|：幅度响应

改变大小

e^jφ(ω)：相位响应

改变方向

物理意义：反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性

4. H(jω)与h(t)的关系

即：等于系统冲激响应的Fourier变换，成一个傅里叶变换对

5. H(jω)的求解方法

由描述LTI系统的微分方程直接计算

由LTI系统的冲激响应的傅里叶变换计算

由电路的zs频域等效电路模型计算

连续信号通过系统响应的频域分析

连续非周期信号通过系统响应的频域分析

已知描述LTI系统的微分方程

1.

2. 微分方程两边Fourier变换

3. 并利用时域微分特性

4. 解代数方程

已知系统的频域响应

Fourier反变换

零状态响应频域分析方法与卷积积分法实质相同，只不过是表达信号的基本信号不同

频域e^jωt

时域δ(t)

x(t)通过h(t)的CLTI，求yzs(t)步骤

1. 求H(jω)

2. x(t)傅里叶变换，得X(jω)

3. Yf(jω)=X(jω)·H(jω)

4.

连续周期信号通过系统响应的频域分析

正弦信号通过系统的zs响应

推导

欧拉

虚指数信号

线性特性（共轭）

公式

结论

正、余弦信号作用于线性时不变系统时，其输出的零状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号

输出信号

幅度y(t)：由系统的幅度响应|H(jw0)|确定

相位：相对于输入信号偏移了f(w0)

任意周期信号通过系统的zs响应

推导

Cn

X(jω)

公式

系统频域分析优缺点

无失真系统与理想低通

无失真传输系统

若输入信号为f(t)，则无失真传输系统的输出信号y(t)应为

K为正常数

td是输入信号通过系统后的延迟时间

特性

时域特性

频域特性

响应

幅度响应

相位响应

满足条件

系统的幅度响应|H(jω)|在整个频率范围内应为常数K，即系统的带宽为无穷大

系统的相位响应φ(ω)在整个频率范围内应与ω成正比

理想滤波器的频率响应

使信号的一部分频率通过，而使另一部分频率通过很少

分类

低通LP(low passed filter)

HLP(jw)

hlp(t)

高通HP

带通BP

带阻BS

理想低通滤波器

第六章：连续时间信号与系统的复频域分析

连续时间信号的复频域分析

从傅里叶变换到拉普拉斯变换

推导

拉普拉斯变换

正变换

X(s)是复频率s的函数，称复频谱

s=σ+jω

反变换

物理意义：信号x(t)可分解成复指数est的线性组合，信号不同只是复指数est前的系数X(s)不同。

单边拉普拉斯变换及其存在的条件

正变换

积分下限定义为零的左极限，目的在于s域分析时能够有效地处理出现在0时刻的冲激信号

反变换

存在的（充要）条件

对任意信号x(t) ，若满足上式，则 x(t)应满足

？

常用信号的单边拉普拉斯变换

（拓展）

单边拉普拉斯变换的性质

1. 线性

若

则

收敛域？

2. 展缩

若

则

3. 时移

4. 卷积

时域卷积，复频域乘积

5. 乘积

时域乘积，复频域卷积除2πj

特殊情况

指数加权（位移）

线性加权（像函数的微分性质）

6. 微分

7. 积分

8. 初值定理和终值定理

例

单边拉普拉斯变换的反变换

部分分式法

连续时间LTI系统的复频域分析

微分方程描述

电路的复频域模型

电阻

时域

复频域

电感

时域

复频域

电容

时域

复频域

例

连续时间系统函数与系统特性

系统函数H(s)

定义

系统在零状态条件下，输出的拉氏变换式与输入的拉式变换式之比

H(s)与h(t)的关系

s域求零状态响应

求H(s)的方法

1. 由系统的冲激响应求解：

2. 由定义式：

3. 由系统的微分方程写出H(s)

H(s)零极点与系统时域特性

H(s)的零极点增益形式

是系统函数的零点

是系统函数的极点

零极点分布图

H(s)与h(t)的关系

位于σ轴的单极点

共轭单极点

H(s)与系统的稳定性

连续时间LTI系统BIBO稳定的充要条件：

即：因果系统在s域有界输入有界输出(BIBO)的充要条件是系统函数H(s)的全部极点位于左半s平面

例

H(s)零极点与系统频率响应

连续时间系统的模拟

系统的基本联接

1. 系统的级联

频响：相乘

2. 系统的并联

频响：相加

3. 反馈环路

推知

频响：

连续系统的模拟框图

直接型结构

级联型结构

并联型结构