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数字信号处理
教材：数字信号处理 高西全 第5版 西安电子科技大学出版社；数字信号处理知识点总结，包括时域离散信号与系统的频域分析（DTFT、DFS、Z变换）、有限长序列离散傅里叶变换（DFT）、离散傅里叶变换快速算法（FFT）、时域离散系统的网络结构、无限脉冲响应数字滤波器的设计等。适用于电子信息、通信等专业的学生。
编辑于2023-03-07 10:21:47 江苏省- 电子信息
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数字信号处理
第一章：时域离散信号与系统
几种常用序列 ->CH2信号的时域分析
1. 单位脉冲（抽样）序列
作用：表示任意离散时间信号
求和
2. 单位阶跃序列
与脉冲序列关系：
3. 矩形序列
与阶跃序列关系：
4. 指数序列
5. 虚指数序列（单频序列）
周期性：
用2π除，分母即周期
解一：记正弦函数结论，即基本周期N=2π/ω
如此推得的N可能非正整数(如cos4πn/3，有N=3/2)，故不推荐
解二：设周期，由函数周期性，x(n)=x(n+N)现推
与虚指数信号的关系：
6. 正弦型序列
正弦型序列也不一定是周期序列，其周期性的判断与虚指数序列相同
序列的运算 ->CH2信号的时域分析
1. 移位
当m为正时，x(n-m)表示依次右移m位； x(n+m)表示依次左移m位。
2. 翻转（翻褶）
若序列为x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。
3. 求和
同序号(n)的序列值逐项对应相加而构成一个新的序列。
4. 乘积
同序号(n)的序列值逐项对应相乘而构成一个新的序列。
5. 尺度变换：抽取
在原序列中每隔M-1点抽取一点，实现数据压缩
6. 尺度变换：插值
在序列2点之间插入L-1个点
7. 卷积和
翻转平移相乘求和
设序列x(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义为
序列的能量 ->CH4信号的频域分析
各样本点的平方和
线性时不变系统 ->CH1导论
求解方法与连续情况一致（看信号与系统！）
离散时间系统的数学模型是差分方程式
离散系统时域分析 ->CH3系统的时域分析
离散LTI系统可由线性常系数差分方程描述
卷积法求响应
其中（系统的单位冲激响应）
“卷积法”
推导
注意区别：连续系统中卷积得到的是零状态响应，离散系统中卷积得到的是完全响应
Rm(n)=δ(n)+δ(n-1)+...+δ(n-m+1)
系统特性
系统的因果性
离散系统k时刻的输出只与k时刻及以前的输入有关。即系统的输出不超前于系统的输入
充要条件：离散LTI系统为因果系统必须满足
与连续情况一致
系统的稳定性
当输入|x(n)| ≤Mx＜∞有界，若输出|y(n)|≤My<∞也有界，则称系统是BIBO稳定
离散LTI系统稳定的充分必要条件是单位冲击响应绝对可和，即
与连续情况一致
模拟信号数字处理办法（抽样） ->CH4信号的频域分析
背景
数字信号的主要优点
信号稳定性好
信号可靠性高
信号处理简便
如何选取间隔T？
如何抽样
模型
理想模型
实际模型
理论推导
？
模拟信号进行抽样后，实现频谱的周期化
本质
信号时域的离散化导致其频域的周期化
直观解释
ωs≥2ωm
时域抽样定理
设x(t)是带限实信号，则抽样后信号频谱不混叠的(充分)条件为：
？
应用
混叠失真与截断误差比较
产生混叠失真，高、低音均模糊！
产生截断误差，高音被过滤掉，低音音质仍清晰
信号重建
第二章：时域离散信号和系统的频域分析
离散时间傅里叶变换（DTFT）
定义
某些满足条件的非周期序列 x(n)，可表达为虚指数序列 ejwn 的线性叠加；不同的序列x(n)对应不同的加权系数X(ejw)
逆离散时间傅里叶变换（IDTFT）
收敛性
DTFT存在的充分不必要条件
？
X(ejw)的形式
幅度谱和相位谱：
φ(w)的主值(principal value)区间为-π<φ(w)≤π
实部和虚部：
基本性质
1. 线性特性
2. 对称特性
推导？
推广
3. 位移特性
时域位移，频域相移
时域相移，频域位移
例
4. 卷积特性
时域卷积，频域乘积
时域乘积，频域卷积
5. 线性加权
（一阶导数乘j）
像函数的导数公式
6. Parseval定理
时域上求功率=频域上求功率
求DTFT：代原始公式，常用等比数列求和公式；连续情况各种信号的F变换对不能直接用（时域离散化导致频域周期化，故需要变为周期形式）
周期序列的傅里叶变换（DFS）
时域的离散化导致频域的周期化
各种序列
1. 常数序列
以ω=0为中心、以2π的整数倍为间隔的一系列冲激函数
2. 复指数序列
推广：正弦型
推广（由线性性质知）
3. 周期为N的单位冲激串序列
4. 周期为N的任意序列
推导
任意周期为N的周期序列x~(n)可看成是有限长序列x(n)以N为周期进行周期延拓得到
卷积单位冲激串
卷积定理
δ信号筛选性质，实现X(e^jw)频域上的抽样，得到
单位圆中取了0~N-1，共N个点
IDFS
基本性质
1. 线性特性
2. 移位特性
周期序列位移后，仍为相同周期的周期序列，因此，只需要观察移位后序列一个周期的情况
时域位移
WN：旋转因子，=e^(-j2π/N)
频域位移（调制）
3. 对称特性
推广
4. 周期卷积定理
周期卷积定义
两个等周期的周期序列的卷积运算
结果仍为相同周期的周期序列
例
周期卷积的矩阵表示
第一个等号：翻转平移
第二个等号：周期变化
定理
时域
频域
注意1/N
5. Parseval定理
DTFT与模拟信号FT之间的关系
序列的Z变换
定义、收敛域
定义：
使上式收敛的z值集合称为z变换的收敛域（ROC）
充要条件
“绝对可和”
级数
几种不同序列z变换的ROC
1. 有限长序列
1. n1<0,n2>0时，ROC：0<|z|<∞
2. n1<0,n2≤0时，ROC：0≤|z|<∞
3. n1≥0,n2>0时，ROC：0<|z|≤∞
ROC也可能包含0点或∞点
2. 右边序列
1. 若n1≥0，则ROC：R_<|z|
因果序列的ROC包含∞点
2. 若n1<0，则ROC：R_<|z|<∞
3. 左边序列
1. 若n2≤0，则ROC：|z|<R+
包含0点
2. 若n2>0，则ROC：0<|z|<R+
4. 双边序列
反变换
1. 留数法
洛朗定理（求x(n)）
c为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合围线.
留数定理（求围线积分）
zk为c内的第k个极点，zm为c外的第m个极点
Res[ ]表示极点处的留数。使用第二式的条件是分母多项式中的z次数比分子多项式高二次以上
四准则（求留数）
准则I：一级极点
准则III：l阶极点
例
2. 部分分式法
反因果序列？？
3. 长除法
双边z变换的主要性质
1. 线性特性
2. 位移特性
3. 指数加权特性
4. 线性加权（Z域微分特性）
5. 共轭序列
6. 时间翻转(time reversal)
7. 初值定理
因果序列x(n)=0,n<0,有
8. 终值定理
X(n)为因果序列，且X(z)的极点处于单位圆以内(单位圆上最多在z=1处有一阶极点)，则
9. 有限项累加特性
因果序列x(n)=0,n<0，其z变换为
则
10. 序列卷积和
时域的卷积和对应于Z域是乘积关系
11. 序列相乘（Z域复卷积定理）
时域的乘积对应于Z域是复卷积关系
12. Parseval定理
与L,F变换关系
理想抽样信号的L变换
抽样序列的z变换
映射关系：虚轴映射成单位圆，单位圆的内部对应左半平面，外部对应右半平面
s域到z域：时域抽样
T：抽样间隔（w=ΩT）
线性变换，存在混叠现象（滤波器）
离散系统的系统函数与频率响应
系统函数
系统函数H(z)
系统函数稳定性
求zs响应
虚指数序列ejwn通过离散LTI系统的零状态响应
正弦序列通过离散LTI系统的零状态响应
任意序列通过连续LTI系统的零状态响应
频率响应
系统函数与差分方程
滤波器
全通滤波器
主要用于相位均衡
N阶梳状滤波器
Comb filter
几种特殊系统的系统函数
最小相位系统
因果稳定系统
所有零点都在单位圆内
性质
任何一个非最小相位系统的系统函数均可由一个最小相位系统和一个全通系统级联而成
在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统中，最小相位系统的相位延迟最小
最小相位系统一定存在逆系统
最大相位系统
因果稳定系统
所有零点都在单位圆外
混合相位系统
因果稳定系统
单位圆内外都有零点
第三章：有限长序列离散傅里叶变换DFT
定义
DFT
乘上个矩形信号，消除周期性
IDFT
关系
与DTFT
与Z变换
与DFS
就少了个～
DFT矩阵表示
有限长4点序列DFT矩阵表示
DFT矩阵形式为
IDFT矩阵形式为
性质
1. 线性
2. 圆周(循环)移位 (Circular shift of a sequence)
步骤
1. 将有限长序列x(n)以点数N为周期进行周期延拓
2. 将该周期序列进行移位
3. 取主值区间(n=0到N-1)上的值
注意符号！
画圆解释：“顺＋逆-”
对应关系
时域的圆周位移对应频域的相移！
时域的相移对应频域的圆周移位！
注意m,l的正负号
3. 对称性 (symmetry)
对称定义
周期共轭对称 (Periodic conjugate symmetry)
延拓、翻转、取主值、共轭
第二个等号作图易知成立
（在中间-n的基础上，再加一个周期N，易知成立）
周期共轭反对称 (Periodic conjugate antisymmetry)
当序列x(n)为实序列时，周期偶对称序列满足
当序列x(n)为实序列时，周期奇对称序列满足
性质
计算DFT
=X*(N-k)
左：共轭序列频谱
中：圆周翻转序列的共轭序列
右：由中推导
DFT{x*(-n)}=...
x(n)为实序列时
当x(n)为实序列时
x(n)=x*(n)
=X*(N-k)
当x(n)为实序列、偶对称时
x(n)=x*(n)=x(-n)=x*(-n)
当x(n)为实序列、奇对称时
x(n)=-x(-n)=-x*(-n)
总结
例
4. 序列的圆周卷积和
定义
先把一个进行延拓、翻转、移位；另一个不进行延拓，若做多点卷积需要补0
“隐含了周期性”
例
矩阵表示
矩阵第1行：翻转；第2~4行：移位
5. 卷积定理
时域卷积定理
时域圆周卷积，频域乘积
频域卷积定理
时域的乘积，频域的圆周卷积除N
6. Parseval定理
应用
DFT计算线性卷积
两个有限长序列的线性卷积
线性卷积、圆周卷积比较
线性卷积
4点圆周卷积
不用写x符号，太多，直接移位写01即可
5~7点圆周卷积
规律：6点的圆周卷积答案6个数，与线性卷积相同
圆周卷积的点数=线性卷积和的长度时，二者结果相同（推导见下方）
线性卷积矩阵表示
圆周卷积矩阵表示
DFT计算序列线性卷积的步骤
1. DFT：作x1(n)的L点DFT，得到X1(k)；作x2(n)的L点DFT，得到X2(k)
L=N+M-1，N、M为两序列长度
2. 乘积：将X1(k)与X2(k)相乘，得到Y(k)
3. IDFT：相乘的结果作IDFT，得到y(n)即线性卷积结果
圆周卷积与线性卷积的对应点
推导
点的个数
线性卷积：得到L+M-1个点，即0~L+M-2
圆周卷积：得到L个点，即0~L-1
作图
矩阵表示
结论
1. n=0 ~M-2, 前M-1个点不是线性卷积的点
2. n= M-1 ~ L-1 , L-M+1个点与线性卷积的点对应
3. 线性卷积的L ~ L+M-2 后M -1点，圆周卷积没有计算
频域抽样 “频域的离散化，时域的周期化”
问题的提出
时域抽样模型
从时域难以看出如何选择合适的抽样间隔T
时域抽样对应于频域的周期延拓
时域抽样定理
“奈奎斯特抽样间隔”
频域抽样
要解决的问题
时域采样定理告诉我们，在一定条件下，可由时域离散采样信号恢复原来的连续号。那么能不能由频域离散采样值恢复出原来的信号(或原连续频率函数)？其条件是什么？如何恢复？
理论推导
DFT与Z变换
DFT与DFS
推导（套娃）
m=n+rN
定理
若序列x(n)的长度为M,只有当频域采样点数N≥M时,才能不失真地恢复信号,即
特例
当x(n)不是有限长序列时，在时域上进行周期延拓会造成混叠现象
对于长度正好为N点的有限长序列，可以利用它的Z变换在单位圆上的N个均分点的抽样值精确地表示。即：
内插公式
由X(k)表示X(Z)
内插/插值函数
由X(k)表示X(ejw)
长序列和短序列的线性卷积
直接利用DFT计算的缺点
1. 信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多
2. 内存要求大
3. 算法效率不高
解决问题方法：采用分段卷积
分段卷积可采用重叠相加法和重叠保留法
方法
重叠相加法(overlap add)
1. 分段：将长序列x(n) 分为若干段长度为L的短序列 xk(n)
2. 卷积：将短序列 xk(n)分别与长度为M的短序列h(n) 利用DFT求得其线性卷积 yk(n)
3. 相加：再将分段卷积得到的各序列 yk(n) 进行重叠相加
重叠的点数：L+M-2-L+1=M-1
重叠保留法(overlap save)
1. 分段：将长序列x(n) 分为若干段短序列 xk(n)
2. 卷积：将短序列 xk(n)分别与短序列h(n) 进行圆周卷积
注意在第一段需要补M-1个0
3. 提取：从各圆周卷积的结果中提取出线性卷积部分
n= M-1 ~ L-1 , L-M+1个点与线性卷积的点对应
例
小结：计算线性卷积的方法
1. 列表相乘，对角线相加
2. 分别DFT，相乘后IDFT
3. 重叠相加：分段，线性卷积，相加
4. 重叠保留：分段，圆周卷积，提取
利用DFT分析信号频谱
问题的提出
可否利用DFT分析以上四种信号的频谱？
利用DFT分析连续非周期信号频谱
1. 无限长，其频带有限
"加窗“：截断
2. 有限长，其频带无限
3. 无限长，其频带无限
混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
1. 混叠现象： 减小抽样间隔T，抗混滤波
2. 泄漏现象： 选择合适的窗函数
时域加窗（乘积）=频域卷积，用窗函数对原无限长序列进行截断时，窗函数的频谱泄漏到了原信号的频谱，从而造成污染
窗函数wN(n)
1. 矩形窗
主瓣、旁瓣
2. 汉宁窗(Hanning)
3. 海明窗(Hamming)
4. 布拉克曼窗(Blankman)
5. 凯塞窗(Kaiser)
由上到下，旁瓣高度降低，导致主瓣宽度降低 “不可调和的矛盾”
例：频率泄漏
例
？
例
150Hz的弱目标：前三者难以分辨
3. 栅栏现象： 序列后补零，ZFFT
DFT参数选取
1. 抽样频率
2. (最大)抽样间隔
3. 抽样时间（最小持续时间）
4. 抽样点数（最小DFT点数）
工程实际应用
MATLAB
第四章：离散傅里叶变换快速算法FFT
问题的提出与解决
问题
如何提高DFT的运算效率?
解决思路
将长序列DFT分解为短序列的DFT
利用旋转因子的性质
1. 周期性
2. 对称性
3. 可约性
基2时间抽取FFT算法
FFT(Cooley/Tukey)算法推导
结论
只要求出0到(N/2 －1)区间的所有X1(k)和X2(k)值，即可求出0到(N －1)区间的所有X(k)值，从而大大减少了了运算量！
流图
2点
4点
2级，每一级2个蝶形，共4个蝶形
8点
3级，每一级4个蝶形，共12个蝶形，即12次复数乘法，24次复数加法
最左边的序号：倒位序，即先转为二进制，再倒序转回去
N点
log2N级，每一级N/2个蝶形，复数乘法次数：
计算复杂度
流图旋转因子规律
蝶形系数
第一级
蝶形系数均为
第二级
蝶形系数为
第三级
蝶形系数为
第log2N级
蝶形系数为
蝶形节点的距离
第一级
蝶形节点的距离为1
第二级
蝶形节点的距离为2
第三级
蝶形节点的距离为4
第log2N级
蝶形节点的距离为N/2
画图总结（以16点为例）
1. 列出两个原理式
2. 倒位序确定输入(左侧)的数值
3. 确定级数log2N，画水平线段标箭头
每级3段，最后一级可2段
美观起见，水平线段箭头在中间，斜线段箭头在末端
4. 逐级操作
标WNk，后面一段标-1
第一级：2点DFT，标WN0
第二级：4点DFT，N/4=4，故标WN0,4
第三级：8点DFT，N/8=2，故标WN0,2,4,8
第四级：16点DFT，标WN0,1,2,3,4,5,6,7
画斜线段
第一级：2点DFT，下面1个指向上面1个
第二级：4点DFT，下面2个指向上面2个
第三级：8点DFT，下面4个指向上面4个
第四级：16点DFT，下面8个指向上面8个
算法特点
1. 原位运算(同址运算)
每个蝶形：1次复数乘法，2次复数加法
每级都由N/2个蝶形运算构成，每个蝶形结构完成如下跌代运算：
任何两节点k,j的节点变量进行蝶形运算后，得到结果为下一列k,j两节点的节点变量，而和其他节点变量无关，可采取原位运算！
2. 倒位序规律
“输入倒位序，输出顺序”
基2频率抽取FFT算法
(Sande/Tukey)FFT算法推导
结论
蝶形运算流图符号
8点
算法特点
1. 原位运算(同址运算)
1次复数乘法，2次复数加法。
每级都由N/2个蝶形运算构成，每个蝶形结构完成如下跌代运算：
任何两节点k,j的节点变量进行蝶形运算后，得到结果为下一列k,j两节点的节点变量，而和其他节点变量无关，可采取原位运算！
2. 输入顺序，输出倒位序
蝶形运算两节点的“距离”
第一级蝶形两节点之间的距离为4
第二级蝶形两节点之间的距离为2
第三级的蝶形两节点之间的距离为1
第m级的蝶形两节点之间的距离为
DIT与DIF异同点
不同点
基本蝶形不同
DIT先做复数乘法再做复数加减法
DIF先做减法再做复数乘法
相同点
1. 运算量相同
2. 原位(同址)运算
3. DIT的基本蝶形和DIF的基本蝶形互为转置关系！
利用FFT实现IFFT
步骤
1. 将X (k)取共轭
2. 用FFT流图计算DFT{X*(k)}
3. 对(2)中结果取共轭并除以N
基4时间抽取FFT算法
分成4段，分解过程简单，重构过程难
FFT算法的实际应用
FFT计算线性卷积
不分段
步骤（X有L点，h有M点）
1. DFT：求H(k)=DFT[h(n)], N点；求X(k)=DFT[x(n)], N点
乘法共Nlog2N次
2. 乘积：求Y(k)=X(k) H(k);
乘法共N次
3. IDFT：求y(n)=IDFT[Y(k)], N点
乘法共1/2 Nlog2N次
步骤与DFT计算线性卷积相同，只是DFT用FFT算
计算量比较
M=L点时
L>>M时
分段
重叠相加法
1. DFT：求H(k)=DFT[h(n)], N点FFT；求Xi(k)=DFT[xi(n)], N点FFT
N点，暗含“分段”
2. 乘积：求Yi(k)=X i(k) H(k)
频域上，故不用卷积用乘积
3. IDFT：求yi(n)=IDFT[Yi(k)], N点FFT
4. 相加：将各段yi(n)(包括重叠部分)相加，得到
重叠保留法
与之前相同
用N点复序列的FFT计算两个N点实序列FFT
步骤
1. 将两个N点实序列构成一个N点复序列
2. 一次N点复序列的FFT运算
3. 利用DFT的圆周共轭对称性，即可同时得到两个N点的实序列对应的DFT
用N点复序列的FFT计算2N点实序列的FFT
步骤
1. 将长度为2N的实序列按照时域序号奇偶分解得到两个N点实序列
2. 利用上面的方法，即可得到这两个N点实序列的DFT
3. 根据基2时域抽取FFT算法基本蝶形运算流图，即可得到长度为2N点实序列的DFT.
第五章：时域离散系统的网络结构
基本概念
系统函数
分子IIR
分母FIR
差分方程
滤波器的功能
对输入序列x(n)进行相关运算，从而得到期望的输出序列y(n)
滤波器的实现
计算机软件
数字硬件
专用或通用的数字信号处理器（DSP）
数字滤波器结构的表示方法
数字滤波器的基本运算单元
加法器
方框图
信号流图
单位延时器
方框图
信号流图
常数乘法器
方框图
信号流图
方框图表示法
例：IIR
信号流图表示法
定义
输入节点（源节点）：x(n)，流图的外部输入或信号源
6
输出节点（阱节点）：y(n)
7
分支节点：某节点有一个输入、一个或多个输出
2,3,4
相加(和)节点：某节点有两个或两个以上的输入
1,5
公式
任一节点的节点值等于它的所有输入支路信号值之和(KCL)
输入支路的信号值等于该支路起点处节点信号值乘以支路上的传输系数（支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1）
IIR数字滤波器
特点
1. 单位冲激角度：h(n)无限长
2. 系统响应角度：H(z)在有限的z平面上存在极点
3. 结构角度：存在着输出到输入的反馈，递归型结构
“从右往左再向右”
基本结构
1.直接型结构
原理
分子：正向，从左向右
分母：反向，从右往左再向右
系数ak为正：负反馈，因为前面是负号
分解
结构形式
直接I型结构
直接II型结构
H1(z)系统和H2(z)系统的延时器共用
先右后左，先延时后乘法，看起来不太舒服
转置直接II型结构
先左后右，先乘法后延时，看起来更符合视觉习惯
优缺点
优点：简单直观
缺点
1. 改变某一个{ak }将影响所有的极点
2. 改变某一个{bk }将影响所有的零点
3. 对有限字长效应太敏感，容易出现不稳定现象
对于三阶以上的IIR滤波器，几乎都不采用直接型结构，而是采用级联型、并联型等其它形式的结构。
2.级联型结构
原理
将滤波器系统函数H(z)的分子和分母分解为一阶和二阶实系数因子之积的形式
基于直接II型的级联型结构
基于转置直接II型的级联型结构
优点
1. 硬件实现时，可以用一个二阶节进行时分复用
TDMA(2G),CDMA(3G),MIMO(5G)
2. 每一个基本节系数变化只影响该子系统的零极点
3. 对系数变化的敏感度小，受有限字长的影响比直接型低
3.并联型结构
将滤波器系统函数H(z)展开成部分分式之和，并将一阶系统仍采用二阶基本节表示
基于直接II型的并联型结构
基于转置直接II型的并联型结构
优缺点
优点
运算速度快
各基本节的误差互不影响
可以单独调整极点的位置
缺点
不能向级联型那样直接调整零点
例
1. 直接II型，先延时后乘法
2. x[k]->y[k]
3. 画延时器竖线，看最多次数决定画几个
4. 画右侧正向的
5. 画左侧反向的（反馈）
拆成左右两个子系统
基于直接II型，同上
拆成上下两个子系统
基于直接II型，同上上
FIR数字滤波器
特点
1. 单位冲激角度：h(n)在有限个n值处不为零
2. 系统响应角度：H(z)在有限的z平面上只有零点，全部极点在 z=0 处(即系统为因果系统)
？
3. 结构角度：没有输出到输入的反馈(频率抽样型结构例外)，非递归型结构
基本结构
1. 直接型结构 （横截型、卷积型结构）
原理
N阶FIR 数字滤波器
不存在反馈
（卷积法求系统的零状态响应）
直接型结构
N个乘法器，N个延迟器，N个加法器
转置直接型结构
2. 级联型结构
原理
特点
可以分别控制每个子系统的零点
缺点
乘法次数和系数都比直接型结构多
3. 线性相位直接型结构
原理
线性相位
N为偶数的线性相位FIR DF结构
“＋”号表示h(n)偶对称
“－”号表示h(n)奇对称
例
N为奇数的线性相位FIR DF结构
“＋”号表示h(n)偶对称
“－”号表示h(n)奇对称
例
线性相位FIR DF比一般直接型结构可节省一半数量的乘法次数
4. 频率取样型结构
原理
Hc(z)：由N阶延时单元构成的梳状滤波器
结构分析
例
优点
H(k)零点较多时，实现较为简单
可以构成滤波器组，实现信号的频谱分析
5. 快速卷积结构
第六章：无限脉冲响应数字滤波器的设计
IIR数字滤波器设计的基本思想
数字滤波器分类
低通、高通、带通、带阻和全通
数字滤波器特点
1. 频率变量以数字频率ω表示；
2. 以数字抽样频率ωs=2π为周期；
3. 频率特性只限于ωs/2=π(折叠频率)以内
数字滤波器的技术要求
数字滤波器的设计
若ak等于零，则系统为FIR数字滤波器
若ak至少有一个非零，则系统为IIR 数字滤波器
设计目标：由给定的数字滤波器频率特性的指标, 确定M和N及系数ak, bk，从而得到数字滤波器H(z).
设计方法
设计满足技术指标的模拟滤波器， 将模拟滤波器转换为数字滤波器
模拟低通滤波器设计
模拟滤波器的技术要求
Butterworth模拟低通滤波器
频域特性
设计步骤
1. 确定滤波器的阶数N
2. 确定滤波器的3dB截频Ωc
3. 确定滤波器的极点
4. 确定模拟低通滤波器的系统函数HL (s)
常用归一化(Ωc =1) Butterworth模拟滤波器的系统函数
一阶
二阶
三阶
四阶
例
切比雪夫I(CB I)型模拟低通滤波器
频域特性
设计步骤
1. 由通带截频Ωp确定Ωc
2. 由通带衰减δ1确定
3. 由通带、阻带指标确定N
4. 由N、e 确定CB I型低通滤波器的系统函数HL (s)
例
切比雪夫II (CB II)型模拟低通滤波器
频域特性
设计步骤
1. 由阻带截频Ωst确定Ωc
2. 由阻带衰减δ2确定e
3. 由通带、阻带指标确定N
4. 由N、e确定CB II型LP滤波器的系统函数HL(s)
椭圆低通滤波器
频域特性
设计步骤
1. 由通带截频确定Ωc
2. 由通带的衰减确定e
3. 由阻带截频确定k
4. 由阻带衰减确定k1
5. 确定阶数N
6. 调整椭圆滤波器的参数k或(与)k1,使(5)中的等式成立
7. 确定归一化椭圆滤波器的系统函数
BW型、CB型和椭圆滤波器的比较
1. 在相同的设计指标下，一般来说， BW型滤波器的阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低。即使阶数相等，它们的裕量也不同
2. 在滤波器的实现过程中， BW型滤波器最容易实现，而椭圆滤波器不易实现（因为它的系统函数H(s)的极点离jw轴最近）
模拟域频率变换
问题的提出
四种变换
1. 原型低通到低通的变换
2. 原型低通到高通的变换
3. 原型低通到带通的变换
4. 原型低通到带阻的变换
模拟高通滤波器的设计
设计步骤
1. 由高通滤波器的频率指标确定低通的频率指标
2.
3. 由复频率变换将原型低通转换为高通HHP(s)
例
模拟带通滤波器的设计
设计步骤
1. 由带通滤波器的上下截频确定变换式中的参数
2. 确定原型低通滤波器的阻带截频
其中
3. 设计通带截频为1 (rad/s)、阻带截频为Ωs ba、通带衰减为Ap dB、阻带衰减为AsdB的原型低通滤波器
4. 将原型低通滤波器转换为带通滤波器HBP(s)
例
模拟带阻滤波器的设计
设计步骤
1. 由带阻滤波器的上下截频确定变换式中的参数
子主题
2. 确定原型低通滤波器的通带截频
其中
3. 设计通带截频为Ωp ba 、阻带截频为1 (rad/s)、通带衰减为Ap dB、通带衰减为As dB的低通滤波器
4. 将低通滤波器转换为带阻滤波器HBS(s)
例
脉冲响应不变法 (Impulse Invariance)
问题的提出
基本原理
对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样来获得数字滤波器的单位脉冲响应h(n)
由H(s)获得H(z)的步骤
1. 对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)
2. 对h(t)等间隔抽样得到h(n)
3. 计算h(n)的z变换得到H(z)
单极点情况，映射关系
？
H(ejw)和H(jΩ)的关系
例
优缺点
优点
数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性
缺点
存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设计高通、带阻等滤波器。
设计DF的步骤
1. 将数字滤波器的频率指标{ωk}转换为模拟滤波器的频率指标{Ωk}
2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)
3. 利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)
例
双线性变换法
问题的提出
解决脉冲响应不变法的频谱混叠
基本原理
优缺点
优点
无混叠
缺点
幅度响应不是常数时会产生幅度失真
设计DF的步骤
1. 将数字滤波器的频率指标{ωk}转换为模拟滤波器的频率指标{Ωk}
2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)
3. 利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)
例
例