导图社区 4.随机变量的数字特征
概率统计与随机过程,包含随机变量的数学期望E、随机变量的方差D、协方差与相关系数、矩与协方差矩阵等详细知识点,可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆知识。
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随机变量的数字特征
随机变量的数学期望E
离散随机变量的数学期望:∑随机变量*对应的概率
连续随机变量的数学期望:∫随机变量*概率密度dx
随机变量函数的数学期望
Y=g(X)离散:列出Y的分布律
Y=g(X)离散:∫g(x)*概率密度dx
Z=g(X,Y)离散:∫∫g(x,y)*f(x,y)dxdy
性质
线性:E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)
若X,Y独立,E(XY)=E(X)E(Y)
随机变量的方差D
离散随机变量的方差:∑(随机变量-期望)^2*对应的概率
连续随机变量的方差:∫(随机变量-期望)^2*概率密度dx
D(X)=E(X^2)-E(X)^2(根据期望的性质)
非线性:D(CX)=C^2*D(X)
若X,Y独立:D(X±Y)=D(X)+D(Y)
中心化处理(标准化处理)
协方差与相关系数
协方差
定义:Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} = E(XY)-E(X)E(Y)
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
Cov(X1±X2,Y) = Cov(X1,Y)±Cov(X2,Y)
Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)
Cov(X,X)=D(X)
特:D(X+Y)=D(X)+(Y)+2Cov(X,Y); D(X-Y)=D(X)+(Y)-2Cov(X,Y)
在一定程度上反映X与Y的线性相关性(当X与Y独立时,Cov(X,Y) =0)
相关系数
定义:ρXY=Cov(X,Y)/(根号下D(X)*根号下D(Y))
|ρXY|<=1
正线性相关:ρXY=1;负线性相关:ρXY=-1
独立:ρXY=0【反推不行】
X、Y服从二维正态,ρXY=ρ
矩与协方差矩阵
原点矩
E(X^k)——k阶原点矩(k阶矩)
E(X^k*Y^l)——k+l阶混合(原点)矩
中心矩
E{[X-E(X)]^k}——k阶中心矩
E{[X-E(X)]^k*[Y-E(Y)]^l}——k+l阶混合中心矩
Cov(X,Y)——二阶混合中心矩
协方差矩阵【笔记】:二阶中心矩
n维正态分布
定义:(X1,X2,X3,...,Xn)每个Xi都服从一维正态,且相互独立
(X1,X2,X3,...,Xn)的线性组合服从一维正态
(X1,X2,X3,...,Xn)的k个线性组合——>(Y1,Y2,Y3,...,Yk)服从k维正态分布
常见分布的期望和方差