4.随机变量的数字特征

概率统计与随机过程，包含随机变量的数学期望E、随机变量的方差D、协方差与相关系数、矩与协方差矩阵等详细知识点，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，学生更好地理解和记忆知识。

随机变量的数字特征

• 随机变量的数学期望E
  • 离散随机变量的数学期望：∑随机变量*对应的概率
  • 连续随机变量的数学期望：∫随机变量*概率密度dx
  • 随机变量函数的数学期望
    • Y=g(X)离散：列出Y的分布律
    • Y=g(X)离散：∫g(x)*概率密度dx
    • Z=g(X,Y)离散：∫∫g(x,y)*f(x,y)dxdy
  • 性质
    • 线性：E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)
    • 若X,Y独立，E(XY)=E(X)E(Y)
• 随机变量的方差D
  • 离散随机变量的方差：∑(随机变量-期望)^2*对应的概率
  • 连续随机变量的方差：∫(随机变量-期望)^2*概率密度dx
  • D(X)=E(X^2)-E(X)^2（根据期望的性质）
  • 性质
    • 非线性：D(CX)=C^2*D(X)
    • 若X，Y独立：D(X±Y)=D(X)+D(Y)
  • 中心化处理（标准化处理）
• 协方差与相关系数
  • 协方差
    • 定义：Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} = E(XY)-E(X)E(Y)
    • 性质
      • Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
      • Cov(X1±X2,Y) = Cov(X1,Y)±Cov(X2,Y)
      • Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)
      • Cov(X,X)=D(X)
      • 特：D(X+Y)=D(X)+(Y)+2Cov(X,Y); D(X-Y)=D(X)+(Y)-2Cov(X,Y)
    • 在一定程度上反映X与Y的线性相关性（当X与Y独立时，Cov(X,Y) =0）
  • 相关系数
    • 定义：ρXY=Cov(X,Y)/(根号下D(X)*根号下D(Y))
    • 性质
      • |ρXY|<=1
      • 正线性相关：ρXY=1；负线性相关：ρXY=-1
      • 独立：ρXY=0【反推不行】
      • X、Y服从二维正态，ρXY=ρ
• 矩与协方差矩阵
  • 原点矩
    • E(X^k)——k阶原点矩（k阶矩）
    • E(X^k*Y^l)——k+l阶混合（原点）矩
  • 中心矩
    • E{[X-E(X)]^k}——k阶中心矩
    • E{[X-E(X)]^k*[Y-E(Y)]^l}——k+l阶混合中心矩
    • Cov(X,Y)——二阶混合中心矩
  • 协方差矩阵【笔记】：二阶中心矩
  • n维正态分布
    • 定义：（X1,X2,X3,...,Xn)每个Xi都服从一维正态，且相互独立
    • 性质
      • （X1,X2,X3,...,Xn)的线性组合服从一维正态
      • （X1,X2,X3,...,Xn)的k个线性组合——>（Y1,Y2,Y3,...,Yk)服从k维正态分布
• 常见分布的期望和方差