《高等代数》第七章

《高等代数》第七章 ，线性变化包括给线性变化的定义，给线性变化的运算。框架清晰，内容丰富，可以有效帮助你备考学习，加深对该方面的知识理解。

第七章

• 线性变换
  • 给线性变换的定义
    • 线性空间中的变换
      • 变换：自身到自身的映射
      • 对自变量满足加法和数量乘法
    • 实例
      • 坐标系的旋转
      • 非零向量在平面上的投影及镜面投影
      • 单位映射/恒等映射是单位/恒等变换（ε），单位/恒等变换以及零变换都是线性变换
      • 数乘变换（k=0,零变换；k=1时，恒等变换）（花写K）
      • 微商D，积分C是一个线性变换
    • 线性变换的性质
      • 线性变换保持线性组合与线性关系式不变
      • 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组
      • 线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组（零变换）
  • 给线性变换的运算
    • 线性变换的和也是线性变换
      • 定义：(A+B)(α)=A(α)+B(α)
      • 线性变换的加法满足结合律和交换律
      • 变换加法对自变量的加法和数乘满足线性性，即是线性变换
    • 线性变换的乘积也是线性变换
      • 定义：AB(α)=A(B(α))
      • 乘积满足结合律，不满足交换律，分别有左分配律，和右分配律
      • 变换乘积对自变量的加法和数乘满足线性性，即是线性变换
    • 线性变换幂的运算
      • 线性变换指数法则
      • 当线性变换可逆时，线性变换的负整数幂可以转变为线性变换的逆的正整数幂
      • 注：线性变换乘积的指数法则不成立，（AB）^n≠A^n×B^n
    • 线性变换的多项式的形式
      • 线性变换的多项式的乘法是可交换的
    • 特殊变换的运算
      • 零变换：任何一个变换与零变换的和仍等于它本身
      • 负变换：是线性的
      • 逆变换：如果一个线性变化是可逆的，那么它的逆变换是线性变换（证明加法和数乘即可）
      • 单位变换：任何一个变换与单位变换相乘，仍是它本身
      • 数乘变换：数域P中的每个数k都决定一个数乘变换K；定义数域P中的数与线性变换的数量乘法为kA=KA.
    • 综合
      • 已经定义了线性变换的加法，乘法，数量乘法
      • 由加法和数量乘法可得到
        • 线性空间V上全体线性变换，对于线性变换的加法和数量乘法也构成数域P上一个线性空间
    • 线性变换运算表示
      • 《本身》《垂直》《镜像》
      • 在P[lameda]（下角标为n）利用线性变换的n次微商为0，实际上原线性变换平移之后的线性变换的泰勒展开式知道n-1项，仍是线性函数平移之后的表示
  • 线性变换的矩阵