函数项级数收敛

《数学分析》强化函数项级数 ，包括对于单个函数项级数，对于乘积形式的函数项级数，做题步骤。希望对你有所帮助哦！

函数项级数收敛

• 对于单个函数项级数
  • 一致收敛的必要条件
    • 级数在区间上一致收敛，尾项在区间上一致收敛于0
    • 应用：判断收敛但不一致收敛
      • 判断收敛将x看成固定的数，进行放缩，与数项级数进行比较
        • 或者直接计算出一个极限函数
          • 一般采取裂项相消和等比数列乘积的形式
      • 判断不一致收敛，取特殊的x值，使每一个函数项级数的尾项不趋于0
        • 上确界法：函数项级数的第n个部分和与级数极限差的绝对值的上确界≠0(n->∞)
          • 注意若x的取值影响不了最终取值，则仍是一致收敛的
  • 一致收敛充要条件
    • 上确界：函数项级数的第n个部分和与级数极限差的绝对值的上确界=0(n->∞)
    • 柯西准则：在函数项级数内部的n-m项和的绝对值<任意数
    • 优级数判别法：函数项级数每一项的绝对值均小于数项级数的每一项，数项级数收敛，函数项级数自然也收敛
      • 可采取通项求导，得到最大值，看最大值关于n的数项级数是否收敛，若收敛，用优级数判别法
    • 端点法：级数在开区间一致收敛，级数的每一项在闭区间连续，则级数在闭区间上一致收敛
      • 不一致收敛的判别：级数在开区间收敛（用数项级数的A-D，或者其它方法），级数的每一项在闭区间连续，级数在端点处发散，则级数在开区间上不一致收敛，在闭区间上也不一致收敛
  • 函数项级数一致收敛的性质
    • 连续性
      • 在规定区间里：函数项级数一致收敛，且每一项连续，则级数极限也连续
        • 不一致收敛的证明：若一致收敛，且级数每一项在规定区间都连续，级数极限在同样区间里也应该连续，可通过级数极限在同样区间里不连续来判断不一致收敛
    • 逐项积分
    • 逐项微分
  • 利用性质推导一致收敛
    • 涉及到分割，有限覆盖定理，狄尼定理
• 对于乘积形式的函数项级数
  • 设为CD相乘再取级数
  • 一致收敛的充要条件
    • A-D判别法
      • 阿贝尔
        • 级数C（无穷项之和）一致收敛；级数D每一项构成的函数列，x固定下来，关于n单调，同时在区间上一致有界
      • 狄利克雷
        • 级数C（有限项之和）一致有界，级数D每一项构成的函数列，x固定下来，关于n单调，同时在区间上一致收敛于0
• 做题步骤：
  • 不需要看收敛，只需要得到函数项级数的极限即可 收敛：（1）利用等价无穷小或放缩判断收敛 （2）采取裂项相消或等比数列求和直接求出收敛的函数项极限
  • 一致收敛：主要是尾项不为0或上确界法或连续性判断不一致收敛，放缩法判断与正项级数进行比较得出一致收敛或者优级数判断内闭一致收敛
  • 讨论一致收敛性