随机变量的数字特征

概率论：方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表性好。

随机变量的数字特征

• 期望
  • 定义：
    • 离散型，定义：
    • 连续型，定义：
    • 说明：1.E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值.2.级数(积分)的绝对收敛性。3.数学期望E(X)完全由随机变量X的概率 分布所确定，若X服从某一分布，也称E(X)为 这一分布的数学期望
  • 性质：
    • 1. 设 C 是常数, 则有E(C) = C. 2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有E(CX ) = CE(X).（可乘） 3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). 4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有E(XY ) = E(X)E(Y ). 说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质
  • 常见的分布的数学期望：(1) 设X服从参数为p的0-1分布, E(X)=p(1-p) 二项分布：(2) 设X~b(n,p), E(X)=np 泊松分布：(3) 设X~π(λ), E(X)=λ （4）均匀分布： (5)指数分布： (6)正态分布：
• 方差
  • 定义：
    • 意义：方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分 散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散 程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则 表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量 的代表性好
  • 计算
    • 定义法：
    • 常规法：
  • 性质：
    • (1) 设 C 是常数, 则有 D(C) = 0. （3)推广：
  • 重要的概率密度方差：
    • 两点分布：pq
    • 二项分布：npq
    • 泊松分布：泊松分布的期望和方差都等于参数
    • 均匀分布：均匀分布的数学期望位于区间的中点.
    • 指数分布的期望和方差分别为θ 和 θ（平方）
    • 正态分布：
• 协方差及其相关系数
  • 协方差
    • 定义：
      • 计算
        • (1) Cov(X,Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ); (2) D(X +Y ) = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ).
      • 性质
        • 1.可换项 2.可提出 3.可分解
  • 相关系数：
    • 意义：
• 结论：
• 相互独立可推出不相关，不相关不一定能推出相互独立
• 数字特征：用来描述随机变量取值特征的常 数：常用数字特征：数学期望、方差、协方差、 相关系数等