导图社区 高等代数
对高等代数部分的知识做了整体的总结，从动机出发，引出线性方程组。主要参考资料为《高等代数》——丘维声。
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这是一篇关于数值分析的思维导图，包含矩阵特征值、 误差分析、非线性方程组求根、 插值、线性方程组数值解等。
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高等代数
线性方程组的解
齐次线性方程组有唯一解时该解全为0，有无穷解时存在非0解
系数矩阵、增广矩阵的初等变换
阶梯型矩阵
简化阶梯型矩阵
主元
与解的关系
0=d
无解
0=0
非全0行数等于变量个数
唯一解
非全0行数小于变量个数
无穷解
行列式
展开式
性质
初等变换
按一行（列）展开
按多行（列）展开（拉普拉斯定理）
值非0
值为0
无解或无穷解
解的通式
克莱姆法则
向量空间
子空间
基
维数
向量组
极大线性无关组
秩
等价关系
秩相等
矩阵的秩
行秩等于列秩
初等变换不变性
解集结构
齐次线性方程组
解空间
基础解系
非齐次线性方程组
导出组
W型的线性流形（陪集）
W是导出组的解空间
特解
矩阵
运算
线性运算
乘法运算
幂运算
转置
逆矩阵
伴随矩阵
广义逆矩阵
分块矩阵
初等行（列）变换
相抵
相抵类
相抵标准形
不变量
特殊矩阵
幂零矩阵
幂等矩阵
周期矩阵
对合矩阵
实对称矩阵
特征多项式的复根都是实数
属于不同特征值的特征向量正交
高次方程的解
环
多项式
扩环
一元多项式环的通用性质
把x用t代入
整除关系
因式
最大公因式
互素关系
Bezout定理
常用定理
中国剩余定理
不可约多项式
唯一因式分解定理
重因式
域上的多项式
复数域
代数基本定理
本原n次单位根
实数域
实系数多项式唯一因式分解定理
不可约多项式的最高次数是二次
根的范围
Sturm定理
有理数域
本原多项式
Gauss引理
Eisenstein判别法
一元多项式函数环
n元多项式环
m次齐次多项式
n元对称多项式
对称多项式基本定理
字典排列法
标准分解式
结式
分式域上的多项式
除法
带余除法
在多项式环和整数环上具有唯一性
不随数域扩大而改变的性质
推导顺序从上依次往下
整除性
首一最大公因式
有无重因式
综合除法
长除法
短除法
线性空间
模的特殊情况
八条运算性质
加法交换律
加法结合律
零元
负元
单位元
纯量乘法交换律
纯量乘法分配律1
纯量乘法分配律2
线性无关
向量组等价
向量组的秩
定义
向量集S线性无关
V中每一个向量都能由S中有限多个向量线性表出
{0}的基规定为空集
极大线性无关集
证明方法
对于有限维线性空间
n个线性无关向量
线性空间中的每一个向量都能由向量组（n个向量）线性表出
线性空间的维数是n
满足任意两条即可
过渡矩阵
原空间的加法和纯量乘法限制到子空间后运算仍封闭
直和
交、和维数关系
补空间
对于任一子空间一定存在补空间
外直和
等价命题
0的表法唯一
对于有限维线性空间，
不是取并集，基可能有相同的向量
商空间
标准映射（典范映射）
余维数
具体实例
连续函数集
n阶可导函数集
函数间的线性关系
Wronsky行列式
Fourier基函数
插值多项式
线性映射
一种同态
自身性质
像
线性映射是满射时像集等于对应线性空间
核
线性映射是单射时核等于0
当线性空间是有限维，且V和V'维数相等时证明了线性映射是单射/满射可以直接得到线性映射是双射
余核
投影
与幂等变换可以一一对应
同构映射
有限维线性空间同构由维数完全决定
例子
四元数体
矩阵表示
最简表示
可对角化
对角矩阵
相似
相似类
对角化
特征值
相似标准形
正交相似
不可对角化
空间分解法
不变子空间
直和分解，
零化多项式
特征多项式
Hamilton-Cayley定理
可用于求矩阵的高次幂
特征值的代数重数等于它在Jordan标准形对角线上出现的次数
最小多项式
不可约因式都是一次
一次因式重数只有一次
含有重数大于一次的因式
幂零变换
强循环子空间
Jordan块
幂零指数等于线性空间维数时
Jordan标准形
幂零指数小于（可以证明不存在大于的情况）线性空间维数时
Jordan块数量
t级Jordan块数量
一定含l（幂零指数）级Jordan块
具体分解方法
计算特征多项式
确定对角元的情况
计算各根子空间Jordan块个数
计算各根子空间每个t对应的Jordan块个数
数出Jordan标准形
存在一次以上不可约因式
循环子空间
Frobenius矩阵
友矩阵
有理标准形
只含有理块
最小多项式是r次不可约多项式的h次幂时
有理块个数
hr级有理块个数
广义有理标准形
含Jordan块和有理块
广义Jordan标准形
其中有理块用记号表示
唯一性
零化多项式一定是最小多项式倍式
最小多项式和特征多项式在当前（或更大）的域中有相同的根
λ-矩阵法
相抵标准型（Smith标准型）
行列式因子
不变因子
初等因子
对偶空间
双重对偶空间
自然同构
线性函数
对偶基
表达式
在几何空间下是超平面
对偶映射（转置映射）
转置关系
双线性函数
基本量
度量矩阵
合同
矩阵秩
二次型
标准形
计算方法
配方
正交替换
成对初等行列变化
规范形
惯性定理
实二次型规范形唯一
完全不变量
惯性指数
符号差
个数
非退化线性替换
数域K上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵
正定矩阵
对于实数
等价条件
正惯性指数为n
合同标准形主对角元都大于0
A的特征值都大于0
A的所有顺序主子式大于0
A的所有主子式都大于0
存在n级实可逆矩阵，使得A=C'C
存在可逆实对称矩阵C，使得A=C^2
有实上三角矩阵B并且B的主对角元都大于0，使得A=B'B
Cholesky分解，可视作LU分解在正定矩阵上的细化
A,B正定时
A+B正定
AB=BA，则AB正定
A*正定
A^-1正定
应用
极值问题
Hesse矩阵
欧几里得空间
内积
双线性性
对称性
正定性
保距同构
线性同构
保持内积不变
映射只有此性质时
保持向量长度不变
一定是线性映射与单射
一定是保距同构
标准正交基
Schmidt正交化
标准正交基间的过渡矩阵是正交矩阵
正交变换
充要条件
把标准正交基映成标准正交基
在标准正交基下的矩阵是正交矩阵
不变子空间的正交补也是不变子空间
矩阵最简形式
第一类
第二类
反射变换
对称变换
标准正交基下的矩阵为对称矩阵
斜对称变换
几何量
长度
夹角
推论
Cauchy-Bunjakovski-Schwarz不等式
三角不等式
勾股定理
余弦定理
正交补
正交投影
最佳逼近元
最小二乘法
陪集距离
Fourier展开
分析性质
Fourier级数
酉空间
Heimite性
线性性1
线性性2
对第一个量
酉变换
Hermite变换
Hermite矩阵
伴随变换
正规变换
Hermite型
正交空间
辛空间
多重线性映射
张量积
一般模下的张量积可见张量积
向量的张量积
结合性
不具有交换性
线性空间的张量积
交换性
线性映射的张量积
Kronecker积
泛性质
张量类型
q秩反变张量
p秩协变张量
p秩协变q秩反变的混合张量
特殊张量
度量张量
2秩协变张量
矩阵张量
(1,1)型张量
Kronecker张量
张量代数
所有张量（空间）的外直和
张量加法
张量乘法
由张量积定义
坐标变换
符号规定
V的基指标在右下， 坐标指标在右上
V*的基指标在右上， 坐标指标在右下
Einstein求和约定
