上兰帝国大学高数上框架

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l = max{m,n}高数上知识框架不定积分的计算定积分与变限积分微分方程反常积分无穷限上的反常积分P积分对数P积分无界函数的反常积分(瑕积分)(期末不要求)瑕点:f(x)在x=x0的任意领域内无界反常积分敛散性的判断P积分在瑕点处拆开形式极限存在,反常积分收敛,极限不存在,反常积分发散计算无穷限上的反常积分的敛散性无界函数反常积分的敛散性(期末不要求)收敛F(t) = ∫_1^t f(x)dx 单调递增,有上界必要条件:当x趋向于无穷大的时候,被积函数趋向于0即lim┬(x→+∞) f(x) = 0判定定理比较审敛法比较审敛法的极限形式大敛小必敛小散大必散同敛散大敛小必敛小散大必散f(x)>=0f(x)<0绝对收敛定积分的应用概念一阶方程可降阶的方程(期末不要求)二阶线性微分方程方程的阶通解初值最高阶导数的阶数是解n阶方程含有n个独立常数lim┬(x→+∞)∫_a^x f(t)dt=∫_a^+∞f(t)dt ∫_1^+∞ 1/x^p dxp>1时,收敛p<=1时,发散∫_e^+∞ 1/xlnx^p dxp>1时,收敛p<=1时,发散∫_0^1 1/x^p dx0<p<1时,收敛p>=1时,发散p<=0时,为定积分,收敛可分离变量的一阶方程齐次方程一阶线性微分方程形如:y' = f(x)g(y)解法:dy/g(y) = f(x)dx形如:y' = f(y/x)解法:令y/x = u,y' =u'x + u 可化为齐次方程形如:dy/dx = a1x+b1y+C1/a2x+b2y+C2解法:令x = X+a,y = Y+b形式:y'+p(x)y = q(x)解法积分因子法公式法伯努力方程(期末不要求)形式:y' + p(x)y = q(x) y^n解法:等号两边同除以y^n,令y^(1-n) = z,化简为:z'+(1-n)p(x)z = (1-n)q(x)形式:y^(n) = f(x)不显含y解法:令y^(n-1) = p,则y^(n)=p',p' = f(x)不显含x解法:令y' = p,则y'' = p'解法:令y' = p,则y'' = dp/dy · dy/dx = p · dp/dy形如:y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 齐次形如:y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) 非齐次解的结构二阶常系数齐次线性微分方程齐次非齐次齐 + 齐 = 齐C1齐 + C2齐 = 齐非 - 非 = 齐K1非 + K2非 = (K1+K2)f(x)K1 + K2 = 0 齐次K1 + K2 = 1 非齐次K1 + K2 = 其它 其它齐 + 非 = 非非通 = 齐通 + 非特解的叠加原理形如:y'' + py' + qy = 0特征方程:r^2 + pr + q = 0解r▲>0,r1 ≠ r2y1 = e^r1x,y2 = e^r2x是特解▲=0,r1 = r2 = a令 y = C1y1 + C2y2 = C1e^r1x + C2e^r2x是齐次的解含有两个独立常数通解y1 = e^ax,y2 = xe^ax是特解令y = e^ax(C1 + C2x)▲<0,r1 = α + βi,r2 = α - βi结论:n阶常系数齐次线性微分方程若有r1 = r2 = ...rk = a,则y1 = e^ax,y2 = xe^ax...yk = x^k-1e^ax 均为齐次的解,x^ke^ax不是齐次的解y1 = e^αx · e^i(βx),y2 = e^αx · e^i(-βx)令y = e^αx (C1 cosβx + C2 sinβx)二阶常系数非齐次线性微分方程形如:y'' + py' + qy = f(x)非通 = 齐通 + 非特特解(待定系数法)是非齐次的解有两个独立常数f(x) = 指 · 多 = e^λx · Qn(x)f(x) = 指 · 三 = e^αx(Acosβx + Bsinβx)f(x) = 指 · 三 · 多 = e^αx(Am(x) · cosβx + Bn(x) · sinβx)(期末不要求)设y* = e^λx · Pn(x) · x^kλ不是根,k = 0λ是单根,k = 1λ是二重根,k = 2n代表最高幂次设y* = e^αx(acosβx + bsinβx) · x^kα+-βi不是根,k = 0a+-βi是单根,k = 1令y* = e^αx(Pl(x) · cosβx + Ql(x) · sinβx) · x^kα+-βi不是根,k = 0a+-βi是单根,k = 1求面积求体积平面曲线弧长侧面积直角坐标系极坐标系S = ∫_a^b |f(x) - g(x)|dxS扇 = 1/2 · r^2 · θl弧 = r · θds = 1/2 · r^2(θ)dθS = ∫_α^β 1/2 · r^2(θ)dθ参数方程x = x(t)y = y(t)S = ∫_a^b y(x)dx 令x = x(t)S = ∫_α^β y(t)dx(t) =∫_α^β y(t) · x'(t)dt已知截面积求体积旋转体体积V = ∫_a^b A(x)dx绕x轴绕y轴dVx = Πf^2(x)dxVx = ∫_a^b Πf^2(x)dxdVy = 2Π|x · f(x)dx|Vy = ∫_a^b 2Π|x · f(x) dx|dVy = Πx^2dyVy = ∫_c^d Πx^2dy