导图社区 高等数学
- 81
- 9
- 3
- 举报
高等数学
张宇考研高数全书知识点，一本书掌握整个考研高等数学！附带详细解释和图标、每个知识点附带巩固题目，掌握高数，吃透这个就够了！
编辑于2023-04-21 09:52:21 山东省- 张宇
- 附带题目
- 相似推荐
- 大纲
高等数学
第一章：函数
基本函数
函数类型
函数
设工与y是两个变量, D是一个给定的数集,若对于每一个r∈D,按照一定的法则f,有一个确定的值y与之对应,则称y为工的函数,记作y= f(z).称工为自变量,y为因变量.称数集D为此函数的定义域,定义域一般由实际背景中变量的具体意义或者函数对应法则的要求确定.
反函数
设函数y=f(z)的定义域为D,值域为R.如果对于每一个y∈R,必存在唯一的r∈D使得y=f()成立,则由此定义了一个新的函数工=q(y).这个函数就称为函数 y= f(z)的反函数，一般记作α=f'(y),它的定义域为R，值域为D.相对于反函数来说,原来的函数也称为直接函数.以下两点需要说明. 第-一,严格单调函数必有反函数﹐比如函数y=r(r∈[o,＋oo))是严格单调函数,故它有反函数z=√5. 第二,若把.α=f '(y)与y=f(z)的图形画在同一坐标系中,则它们完全重合.只有把y=f(z)的反函数工= f'(y)写成y=f '(z)后,它们的图形才关于y=x对称,事实上这也是字母α与y互换的结果.
复合函数
标注
函数性质
有界性
连续函数导数有界，则原函数有界
增减
推广
对任意 工,∈D,工≠工,有 f(工)是单调增函数=(工,一工z)[fz)一 f(zz)]>0; f(工)是单调减函数=(z-z:[fz)一f(z;)]<0; f工)是单调不减函数白(z 一工:)； f(z,)一f(z:)]≥0;f(z)是单调不增函数=(z一工:Lfz;)一f工z)]≤0.
奇偶
奇数导数是偶数
偶数倒数是奇数
奇函数原函数是偶函数
偶函数原函数是奇函数
周期性
周期函数导数是周期函数
周期函数一个周期积分是0，原函数是周期函数
函数图像
直角坐标
常见函数
常函数
标注
幂函数
标注
指数函数
标注
对数函数
标注
三角函数
正弦余弦
标注
正切余切
标注
正割余割
标注
反三角函数
标注
反正切、反余切函数
标注
分段函数
标注
图像变换
平移
水平
竖直
对称
x轴对称
标注
y轴对称
标注
原点对称
标注
y=x对称
标注
|f(x)|
标注
f(|x|)
标注
伸缩
水平伸缩
标注
垂直伸缩
标注
极坐标
描点法描绘图像
心形线
下面画出心形线r=a(l-cos 0)(a>0)的图形.
玫瑰线
下面画出三叶玫瑰线r=asin 30(a>0)的图形.
阿基米德螺线
下面画出r=a8(a>0,0≥0)的图形.
伯努利双扭线
在极坐标系中,伯努利双纽线的极坐标方程常写成r=acos 20(a>0)
直角坐标系观点画极坐标图像
根据直角坐标画出极坐标方程图像
参数方程
摆线
标注
星形线
标注
常用基础知识
数列}
等差数列
标注
等比数列
标注
常见的前n项和
标注
三角函数
三角函数基本关系
标注
诱导公式
标注
重要公式
倍角公式
标注
半角公式
标注
和差公式
标注
积化和差
标注
和差化积
标注
万能公式
标注
指数运算法则
标注
对数运算法则}
标注
常考
标注
一元二次方程组基础
标注
因式分解
标注
阶乘和双阶乘
标注
常用不等式
标注
标注
标注
标注
标注
题库
1. 题库一
解释什么是函数，每个x能对应多少个y，每个y对应多少个x
什么是反函数，其和函数的关系是
解释什么是复合函数
函数有哪四个性质
如果连续函数的导数有界，则原函数有界吗
解释什么是增减性
奇数的导数一般是（奇偶性）
周期函数的导数是周期函数吗
周期函数的一个周期积分是0，原函数是？
描述一下常见函数有哪几种类型、其图像分别为
三角函数的正切、余切如何计算，描绘图像
正割余割如何计算，描绘图像
反三角函数（正弦余弦）如何计算、描绘其图像
反正切余切如何计算，描绘其图像
图像变换如何操作可以水平、垂直移动
讲解如何实现x、y、原点、y=x对称
讲解如何实现水平和垂直伸缩
图像有哪三种类型
极坐标描绘图像有哪两种方法
两种方法的思想是什么
参数方程的思想是什么
什么是摆线和星形线，其用什么描述？
数列包含哪几种类型
等差数列的通项公式是，前n项和是
等比数列的通项公式是，前n项和是
正割、余割如何计算
讲述二倍角、三倍角公式
讲述半角公式
讲述和差角公式
讲述和差化积公式
讲述积化和差公式
讲述万能公式
讲述指数的加减、乘、除、指数公式
讲解对数函数的加、减、倍数公式
如何判断一元二次方程零根、一根、二根的判别式
如何求一元二次方程的解
两个数，和差的平方如何拆分
两个数，和差的立方如何拆分
平方的和差如何拆分
立方的和差如何拆分
双阶乘如何计算
复述基本不等式
2. 题库二
解释什么是函数，每个x能对应多少个y，每个y对应多少个x？
什么是反函数，其和函数的关系是什么？
解释什么是复合函数？
函数有哪四个性质？
如果连续函数的导数有界，则原函数有界吗？
解释什么是增减性？
奇数的导数一般是什么奇偶性？
周期函数的导数是周期函数吗？
周期函数的一个周期积分是0，原函数是什么？
描述一下常见函数有哪几种类型、其图像分别为什么？
三角函数的正切、余切如何计算，描绘图像？
正割余割如何计算，描绘图像？
反三角函数（正弦余弦）如何计算、描绘其图像？
反正切余切如何计算，描绘其图像？
图像变换如何操作可以水平、垂直移动？
讲解如何实现 x、y、原点、y=x 对称？
讲解如何实现水平和垂直伸缩？
图像有哪三种类型？
极坐标描绘图像有哪两种方法？
两种方法的思想是什么？
参数方程的思想是什么？
什么是摆线和星形线，其用什么描述？
数列包含哪几种类型？
等差数列的通项公式是什么？前 n 项和是什么？
等比数列的通项公式是什么？前 n 项和是什么？
正割、余割如何计算？
讲述二倍角、三倍角公式？
讲述半角公式？
讲述和差角公式？
讲述和差化积公式？
讲述积化和差公式？
讲述万能公式？
讲述指数的加减、乘、除、指数公式？
讲解对数函数的加、减、倍数公式？
如何判断一元二次方程零根、一根、二根的判别式？
如何求一元二次方程的解？
两个数，和差的平方如何拆分？
两个数，和差的立方如何拆分？
平方的和差如何拆分？
立方的和差如何拆分？
双阶乘如何计算
数列
什么是等差数列，其通项公式是什么，常见的前n项和公式有哪些？
什么是等比数列，其通项公式是什么，常见的前n项和公式有哪些？
三角函数
三角函数的基本关系是什么？
什么是诱导公式，有哪些常见的诱导公式？
什么是三角函数的重要公式，有哪些常见的重要公式？
指数和对数运算
什么是指数运算法则，有哪些常见的指数运算法则？
什么是对数运算法则，有哪些常见的对数运算法则？
常见的对数恒等式有哪些？
一元二次方程组基础
什么是一元二次方程组，其基本形式是什么？
什么是二元二次方程组，其基本形式是什么？
因式分解
什么是因式分解，有哪些常见的因式分解方法？
阶乘和双阶乘
什么是阶乘，双阶乘的定义和计算方法是什么？
常用不等式
什么是基本不等式，有哪些常见的基本不等式？
什么是柯西不等式，有哪些常见的柯西不等式？
什么是均值不等式，有哪些常见的均值不等式？
什么是AM-GM不等式，有哪些常见的AM-GM不等式？
什么是RMS-AM-GM-HM不等式，有哪些常见的RMS-AM-GM-HM不等式？
什么是托勒密不等式，有哪些常见的托勒密不等式？
什么是齐次不等式，有哪些常见的齐次不等式？
什么是察必丹诺夫不等式，有哪些常见的察必丹诺夫不等式？
什么是杨辉不等式，有哪些常见的杨辉不等式？
什么是弦切不等式，有哪些常见的弦切不等式？
什么是加权平均不等式，有哪些常见的加权平均不等式？
什么是加权均值不等式，有哪些常见的加权均值不等式？
第二章：数列极限
基础
定义
标注
性质
如果数列收敛，则任意子列都是收敛的，并且和数列的收敛值相同
用性质(收敛数列）
唯一性
给出数列{xn},若limr, =a(存在).则a是唯一的。
有界性
若数列{xn}极限存在,则数列xn有界。
保号性
设数列{a.}存在极限a.且a>0(或a<0),则存在正整数n,当n>N时,有a>0
用运算规则
设limr.=a.limy. =b.则
①lim(x.土y.,)=a士b;
②lim xn*yn, = ab;
③若b≠0.y.≠0,则lim xn/yn=a/b
运算规则可以推广至有限个数列情形。
用夹逼准则
标注
用单调有界性准则
单调有界，必有极限
题库
讲述什么是数列的极限
如果数列收敛，子数列是否收敛？如果是，则收敛值为？
数列极限的三个性质是？分别解释
数列极限存在，一定有界吗
什么是数列的保号性
数列极限有几种常见的方法，分别是？
数列的极限可以进行加减乘除吗
什么是数列的夹逼准则，用于什么场景？
讲述什么是单调有界准则
第三章：函数极限和连续性
基本概念
邻域
x附近的一个区间
一维是线
二维是圆
定义
性质
唯一性
极限存在则唯一
局部有界性
若存在极限，则存在领域使得函数有界
局部保号性
极限点存在邻域具有保号性
计算方法
夹逼准则
洛必达准则
0/0或者无穷/无穷型的计算
泰勒公式
常见公式
标注
归结原则
无穷小比阶
无穷小定义
趋于0，无穷小
趋于无穷，无穷大
比阶无穷小
无穷小运算规则
无穷小常见公式
标注
连续和简断
连续点的定义
在x0某一临域内都存在，函数值等于极限，则在x0邻域连续
间断点的定义和分类
第一类间断点
可去间断点
某个点丢失
跳跃间断点
某个点的左极限、右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点
某个点的极限为无穷
震荡间断点
某个点的值不确定，是震荡的（比如三角函数）
题库
什么是邻域
什么是函数极限
函数极限的性质有哪些
函数极限的有界限和保号性和数列极限有什么区别和联系
函数极限有五种常见方法，分别是
大致介绍这五种方法
无穷小比阶有几种情况，等价无穷小和同阶无穷小有什么区别和联系
什么是函数的连续
间断有几种类型，分别是
第四章：一元函数微分
概念
引例
微分=斜率=正切值=变化率
导数的概念：切线的斜率
微分的概念：割线斜率
导数和微分的计算
四则运算
标注
加减乘除的求导
分段函数的导数
思路是划分为x0左边，和x0右边分别求导计算
复合函数的导数和微分形式的不变性
剥洋葱求导法
反函数的导数
一阶导
标注
二阶导
标注
参数方程确定的函数的导数
标注
隐函数求导法
对等式两边分别求导计算
对数求导法
对于开放、乘方、阶乘的式子，先对数再求导计算
幂指函数求导法
标注
高阶导数 （阶数大于等于2）
归纳法
标注
莱布尼茨公式
标注
泰勒公式
1.抽象展开
标注
2.具体展开
标注
3.求无穷导的方法
变限积分求导公式
标注
基本求导公式
标注
题库
导数和正切、斜率、变化率是什么关系
微分的定义是什么的斜率
导数和微分有什么关系和区别
四则运算的导数如何求
分段函数的导数遵循什么原则
反函数的一阶导、二阶导分别是什么
参数方程求导的规律
隐函数如何求导，其思想是
对数求导的思路是
幂指函数如何求导
高阶导数有几种常见方法
归纳法的思想史
什么是莱布尼茨公式
泰勒公式的抽象展开公式是
变现积分如何求导
第五章：一元函数微分学的几何应用基础知识
极值和最值的概念
极值
标注
最值
标注
单调性和极值的判断
单调性判断
导数大于0或者小于0
判极值的必要条件
导数为0
极值点的充分条件
一阶
标注
二阶
标注
三阶
标注
凹凸性和拐点的概念和判别
凹凸性
标注
拐点
标注
凹凸性和拐点的判别
判别凹凸性
标注
判别拐点
必要条件
标注
充分条件
条件一
标注
条件二
标注
条件三
标注
渐近线
铅锤渐近线
标注
水平渐近线
标注
斜渐近线
标注
最值或取值范围
标注
在闭区间【a,b]上求
①求出f(x)在(a,b)内的可疑点一驻点与不可导点，并求出这些可疑点处的函数值;
②求出端点的函数值f(a)和f(b);
③比较以上所求得的所有函数值,其中最大者为f(x)在[a,b]上的最大值M,最小者为f(x)在[a,b]上的最小值m.
两个点
驻点
一阶导等于零
不可导点
一阶导不存在
在开区间(a,b)上求
①求出f(x)在(a,b)内的可疑点一驻点与不可导点,并求出这些可疑点处的函数值.
②求(a ,b)两端的单侧极限:若a,b为有限常数,则求limf(x)与limf(x);若a为一∞,则求lim f(x);若b为十∞,则求lim f(x).记以，上所求左端极限为A,右端极限为B.
③比较①,②所得结果,确定最值或取值范围.
做函数图形
标注
①确定函数f(x)的定义域,并考查它是否有奇偶对称性;
②求出f'(x),f"(x),用 f(x)的无定义点,f'(x)=0的点,f(x)不存在的点,f"(x)=0的点,f"(x)不
存在的点,将定义域划分为若干子区间，确定函数图形在各个子区间上的单调性与凹凸性，进而确定函数
的极值点和拐点;
③确定渐近线(如果有的话);
④作出函数图形.
题库
什么是极值和最值，二者的区别是
如何判断单调性（使用导数
极值的必要条件是
极值的充分条件有几个，分别是
什么是凹凸性，怎么判断呢
什么是拐点
拐点判断的必要条件是
拐点判断的充分条件是
渐近线有几种类型，分别是
如何判断水平、垂直、斜渐近线？（通过导数
概述使用导数求最值和画图象的思路
第六章：十大定理及其使用
函数相关
定理1——有界与最值定理
标注
定理2—一介值定理
标注
定理3—-平均值定理
标注
定理4--零点定理
标注
导数相关
定理5-费马定理
标注
定理6——罗尔定理
标注
定理7——拉格朗日中值定
标注
定理8--柯西中值定理
标注
定理9-泰勒公式
标注
题库
什么是有界和最值定理
什么是介值定理
什么是平均值定理
什么是零点定理
费马定理和极值点的必要条件之间，是社么关系
什么是罗尔定理
什么是拉格朗日中值定理
什么是柯西中值定理
什么是泰勒公式
第七章:零点问题和微分不等式
零点问题
零点定理(证明存在性
标注
单调性(证唯一性
标注
罗尔原话
标注
实系数奇次方程至少有一个实根
标注
微分不等式
用函数性态证明不等式（单调性、凹凸性等等）
标注
用常数变量化证明不等式
标注
用中值定理证明不等式
标注
题库
什么是零点存在定理
通过单调性能判断的零点方案是
罗尔原话是
什么是实系数技次方程，其根的情况如何
什么是函数性态，通常有哪几种性质证明的方案
什么是常数变量化证明不等书
常见证明不等式的中值定理有哪些
第八章：一元函数积分
不定积分
原函数
标注
不定积分
标注
不定积分存在定理
标注
标注
定积分
概念
标注
精准定义
定积分存在定理
充分条件
标注
必要条件
标注
定积分的性质
标注
标注
标注
变现积分
概念
标注
性质
标注
求导公式
标注
反常积分
反常积分的概念和通俗理解
含有无穷区间或者无界函数的积分，其值可能不存在
无穷区间
定义域指向无穷
无界函数
某个点值域为∞
无穷区间上反常积分的概念与敛散性
标注
无界函数的反常积分的概念与敛散性
标注
计算
不定积分
基本积分
标注
凑微分
标注
换元
标注
分部积分法
标注
有理积分法
标注
定积分
积分还元
标注
分部积分法
标注
题库
什么是原函数
什么是不定积分
定积分的定义是什么（公式），以及常见如何计算
定积分和不定积分的区别是
不定积分存在定理是哪两个
定积分存在的必要条件是
函数连续，则定积分是否存在
函数单调，则定积分是否存在
函数有界，则定积分是否存在
上面三个属于定积分的充分还是必要条件
什么是积分的线性性质
什么是积分的可加减性
什么是积分的保号性
什么是积分的估值定理
什么是积分的中值定理
什么是变现积分，其和定积分的区别是
如果函数可积，则变现积分____
如果函数连续，则变现积分____
变现积分求导公式是
反常积分有哪两种常见类型，哪种一般有可能计算机积分值
无穷区间上返程积分如何判断收敛
无界函数的反常积分如何判断收敛
计算积分有几种常见的方法，分别是
介绍凑微分的算法思想
介绍换元的算法思想
介绍分布积分的公式
介绍有理积分的算法思想
第九章：元函数积分学的几何应用基础知识结构
平面图形面积
几条直线围城图形的面积
标注
曲线围成图形的面积
标注
旋转体体积
标注
函数平均值
标注
题库
积分学有哪些常见的应用
求平面图形的算法思想是
求旋转体体积的算法思想是
求函数平均值的算法思想是？其和平面图形面积有何联系和区别
第十章：积分等式与积分不等式
积分等式
求积分的值
中值定理
标注
夹逼定理
标注
用积分法
用公式直接计算
用积分直接计算，转化
积分不等式
函数单调性
用单调性来进行不等式的比较
l拉格朗日中值定理
看到导数，想到拉格朗日中值定理
泰勒公式
积分法
题库
积分的等式包含哪些
解释什么是积分的中值定理
解释如何使用夹逼准则来计算积分等式
积分不等式包含哪四种方法
单调性的思路如何求解积分不等式
解释拉格朗日中值定理和泰勒公式
积分法如何求解积分不等式
第十一章：多元函数微分学
基本概念
平面点的基本概念
标注
邻域
标注
边界
内点
外点
边界点
区域
有界集
标注
无界集
如果不是有界集，则是无界集
开集
每个点都是内点
闭集
边界上的点也在区域，则是闭集
联通集
任意两点都可以联通起来
区域
开区域
联通的开集
闭区域
联通的闭集
聚点
在点集上的某个点，随便画圈（邻域）都与点集相交，则该店是聚点
孤立点
在点集上的某个点，随便画圈（邻域）都与点集的交集都是该点本身，则该点是聚点
极限
标注
连续
标注
方法一
任意点在某个临域内，函数值之差都无限趋近于零
方法二
一阶导在某个邻域可微
偏导数
标注
可微
标注
标注
偏导数的连续性
判断步骤
多元函数微分法则
链式求导法则
标注
隐函数存在定理（公式法）
用来求y对x的关系
多元函数极值和最值
多元函数极值
标注
多元函数最值
标注
无条件极值
隐函数
显函数
二元函数取极值必要条件
标注
二元函数取极值充分条件
标注
条件极值和拉格朗日乘数法
求很多元极值的方法
求值方法
标注
题库
什么是二元函数的邻域
什么是内点、外点、边界点
什么是有界集和无界集
什么是开集和闭集，二者的区别是
什么是联通集
什么是开区域和闭区域，二者的区别是
开区域和闭区域，跟开集、闭集的区别是
什么是聚点和孤立点，二者的区别是
什么是二元函数的极限，如何理解
如何求出二元函数的极限
二元函数连续的定义是什么
二元函数的偏导数怎么求
二元函数的可微如何定义
如何判断二元函数的偏导数是否连续
讲述链式求导法则的思路和细节
讲解什么是隐函数
讲解隐函数存在定理，如何求出隐函数
什么是多元函数的极值和最值
二元函数取极值的必要条件是
二元函数取极值的充分条件有哪三个，A、B、C的求法是，▲的球法是
什么条件下该点是取极大值，极小值
什么条件下该点是非极值
讲解拉格朗日数乘法的思想和细节
第十二章：二重积分
概念、性质与对称性
几何背景
求体积
性质
标注
对称性
普通对称性
标注
如果f(x,y)关于某个对称轴对称，则等于一个区间的倍数
轮换对称性
标注
把x,y对换，不影响积分值
计算
直角坐标系
标注
极坐标系
需要先积r
极坐标系和直角坐标系选择地一般原则
看能否转化为适合极坐标的形式
极直转化
极坐标转化为直角坐标
积分次序
积分的次序可以调换，借此来实现更高效的运算
用二重积分处理一元积分地问题
题库
二重 积分的几何背景和主要用途是
解释什么是可积函数必有界
什么是积分的线性性质
什么是积分的可加性
什么是积分的保号性
什么是二重积分的估值定理和介值定理
二重积分的对称性有哪两种，分别是？
普通对称性对偶函数，和奇函数的 区别是
什么是轮换对称性
直角坐标、极坐标的二重积分计算思路是？二者的区别是（极坐标需要增加一个？
如何判断使用极坐标还是直角坐标
如何把极坐标转化直角坐标
调整积分次序的目的是
第十三章：常微分方程
微分方程地概念
微分方程
未知函数、及其导数、自变量三者关系的等式
常微分方程
未知函数是一元函数的方程
微分方程地阶
最高阶导数即微分方程的阶
微分方程地解
使得等式恒成立得函数
微分方程地通解
解中独立常数得个数等于阶数
初始条件和特解
标注
一阶微分方程的而求解
变量可分离型
标注
可化为变量可分离型
标注
一阶线性微分方程
标注
二阶可将解微分方程的求解
子主题
标注
子主题
标注
高阶线性微分方程的求解
概念
二阶常、变系数线性微分方程
标注
标注
齐次方程
标注
非齐次方程
标注
解的结构
子主题
子主题
子主题
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
标注
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
标注
n阶常系数齐次线性微分方程的解
标注
题库
什么是微分方程
什么是常微分方程，二者有什么区别和联系
什么是微分方程得阶
什么是微分方程得解
什么是微分方程得通解
什么是微分方程得初始条件和特解
什么是异界微分方程
变量可分离型如何求解
什么样得函数可以化为变量可分离型
什么是一阶线性微分方程，其通解方程为
二阶微分方程得类型有哪两种
两种求解的大致思路是
什么是二阶常系数微分方程
什么是齐次方程和非齐次方程
二阶常系数微分方程的解的结构有哪三种
二阶常系数齐次线性微分方程的通解、特解如何求
什么是n阶常系数齐次微分方程的解
第十四章：无穷级数
常数项级数
常数项技术的概念和性质
引言
概念及其敛散性
性质
技术敛散性的判别方法
正向级数及其敛散性判别
收敛原则
比较判别法
比较判别法的极限形式
比值判别法
根值判别法
交错级数及其敛散性判别
莱布尼茨判别法
任意项级数及其敛散性判别
绝对收敛
条件收敛
收敛级数的性质
幂级数
幂级数及其收敛域
概念
阿贝尔定理
收敛域的求法
幂级数求和函数
概念
运算法则
性质
重要展开
函数展开成幂级数
概念
求法
直接法
间接法
题目
1. 常数项级数：
引言
问题：什么是常数项级数？常数项级数有哪些性质？
概念及其敛散性
问题：什么是常数项级数的概念？如何判断常数项级数的敛散性？
性质
问题：常数项级数有哪些性质？如何证明？
正向级数及其敛散性判别
问题：什么是正向级数？如何判断正向级数的敛散性？什么是比较判别法？什么是比值判别法？什么是根值判别法？
交错级数及其敛散性判别
问题：什么是交错级数？如何判断交错级数的敛散性？什么是莱布尼茨判别法？
任意项级数及其敛散性判别
问题：什么是任意项级数？如何判断任意项级数的敛散性？什么是绝对收敛？什么是条件收敛？
收敛级数的性质
问题：收敛级数有哪些性质？如何证明？
2. 幂级数：
幂级数及其收敛域
问题：什么是幂级数？如何求解幂级数的收敛域？什么是阿贝尔定理？
幂级数求和函数
问题：什么是幂级数求和函数？幂级数求和函数有哪些运算法则和性质？
重要展开
问题：哪些函数的展开式是重要的幂级数展开式？
函数展开成幂级数
问题：什么是函数展开成幂级数？如何使用直接法和间接法进行展开？
第十五章：数学一数学二专题内容
一元函数微分学应用
物理应用
相关变化率
几何应用
一元函数积分学应用
物理应用
遍变力沿直线做工
抽水做工
水压力
几何应用
平面上的曲边梯形的形心坐标公式
平面曲线的弧长
旋转曲面的表面积
平行截面面积为已知的立体体积
微分方程的物理应用
牛顿第二定律
变化率问题
欧拉方程
傅里叶数学
题目
1. 一元函数微分学应用：
物理应用
问题：如何应用微积分解决物理问题？例如什么是速度、加速度、位移等？
相关变化率
问题：什么是相关变化率？如何应用相关变化率解决实际问题？
几何应用
问题：如何应用微积分解决几何问题？例如曲率、曲率半径等。
2. 一元函数积分学应用：
问题：如何应用积分解决物理问题？例如重力做功、抽水做功等。
问题：如何应用积分解决几何问题？例如曲边梯形的形心坐标公式、曲线的弧长、旋转曲面的表面积、平行截面面积为已知的立体体积等。
3. 微分方程的物理应用：
牛顿第二定律
问题：什么是牛顿第二定律？如何应用微积分解决牛顿第二定律的问题？
变化率问题
问题：什么是变化率问题？如何应用微分方程解决变化率问题？
欧拉方程
问题：什么是欧拉方程？如何求解欧拉方程？
4. 傅里叶数学：
傅里叶级数
问题：什么是傅里叶级数？如何求解傅里叶级数？
傅里叶变换
问题：什么是傅里叶变换？如何求解傅里叶变换？有哪些应用？
离散傅里叶变换
问题：什么是离散傅里叶变换？如何求解离散傅里叶变换？有哪些应用？
第十七章：多元函数积分学的基础知识
向量代数
向量及其表达形式
向量的运算及其应用
数量级及其应用
向量机及其应用
混合机及其应用
向量的方向角和方向余弦
空间平面和直线
平面方程
一般式
点法式
三点式
截距式
直线方程
一般式
点向式
参数式
两点式
位置关系
距离
直线间的关系
平面间的关系
直线和平面的关系
空间曲线和曲面
k空间曲线
一般式
参数方程
空间去现在坐标面上的投影
题目
1. 向量代数：
向量及其表达形式
问题：什么是向量？有哪些表达形式？例如坐标形式、分量形式、几何形式等。
向量的运算及其应用
问题：向量有哪些运算？例如加、减、数乘、点乘、叉乘等。如何应用向量解决实际问题？
向量的方向角和方向余弦
问题：什么是向量的方向角和方向余弦？如何计算？
2. 空间平面和直线：
平面方程
问题：平面有哪些方程形式？例如一般式、点法式、三点式、截距式等。如何求解平面的方程？
直线方程
问题：直线有哪些方程形式？例如一般式、点向式、参数式、两点式等。如何求解直线的方程？
位置关系
问题：平面和直线之间有哪些位置关系？例如距离、垂直、平行等。如何判断平面和直线之间的位置关系？
3. 空间曲线和曲面：
k空间曲线
问题：什么是k空间曲线？例如一般式、参数方程等。如何求解k空间曲线在坐标面上的投影？
第十八章：三重积分，曲线曲面积分
三重积分
三重积分的概念、性质和对成型
概念
性质
对称性
普通对称型
轮换对称性
三重积分的计算
基础方法
直角坐标系
先一后二法
先二后一法
柱面坐标系
球面坐标系
技术方法
对称性
形心公式的逆用
第一型曲线积分
概念、性质和对称性
概念
性质
对称性
普通对称型
轮换对称性
计算
基础方法——化为定积分
空间情形
参数式
平面情形
显式
参数式
极坐标形式
技术方法
边界方程带入被积函数
对称型
形心公式的逆用
题目
1. 三重积分：
三重积分的概念、性质和对称性
问题：什么是三重积分？有哪些性质和对称性？如何利用对称性简化计算？
三重积分的计算
问题：三重积分有哪些计算方法？例如直角坐标系下的先一后二法、先二后一法、柱面坐标系、球面坐标系等。如何利用技术方法简化计算？
2. 第一型曲线积分：
概念、性质和对称性
问题：什么是第一型曲线积分？有哪些性质和对称性？如何利用对称性简化计算？
计算
问题：第一型曲线积分有哪些计算方法？例如化为定积分、边界方程带入被积函数等。如何利用技术方法简化计算？