三角函数

三角函数的思维导图，内容有正弦函数的图像与性质、余弦函数的图像与性质、函数y=Asin(ωx+φ)的图像、正切函数的图像与性质，一起来看。

三角函数

• 7.1 正弦函数的图像与性质
  • 正弦函数的图像
    • 绘制方法：五点法
      • 五点为：0、π/2、π、3π/2、2π
  • 正弦函数的性质
    • 周期性
      • 定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有x+T∈D，且成立f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做周期函数，而这个非零常数T就叫做函数y=f(x)的一个周期
      • 一般的，函数y=sin(ωx+φ)，x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的最小正周期为t=2π/ω
      • 解题方法：用三角恒等变形的公式及方法化为标准模式，再求解
    • 值域与最值
      • 值域为[－1，1]，其最大值为1，最小值为－1
      • 当且仅当x=2kπ+π/2，k∈Z时，y=sinx取得最大值1，当且仅当x=2kπ+3π/2，k∈Z时，y=sinx取得最小值－1
      • 解题方式
        • 1、形如y=asinx+bcosx可用辅助角公式求值域
        • 2、形如y=asin²x+bcosx+c，可用倍角公式降次，将其转化为y=msin2x+ncos2x+k,再用辅助角公式求解
        • 3、形如y=asin²x+bcosx+c，可用sin²x+cos²x=1化为sinx或cosx的二次式，从而转化为在闭区间[-1,1]上的最值问题
        • 4、形如y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c，可利用(sinx±cosx)²=1±2sinxcosx化为关于sinx±cosx的二次式，进而求解
    • 奇偶性
      • 对任意给定的x∈R，等式sin（－x）=－sinx都成立，因此，正弦函数y=sinx是一个奇函数，从而其图像关于原点中心对称
      • 解题方式
        • 证明f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，得出该函数为奇函数或偶函数或既是奇函数又是偶函数或是非奇非偶函数
    • 单调性
      • 由于正弦函数y=sinx的最小正周期是2π，因此正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2，2kπ+π/2]（k∈Z）上是严格增函数；在[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]（k∈Z）上是严格增函数
      • 解题方式
        • 将函数式化为y=Asin(ωx+φ）的形式，再利用单调区间并通过ωx+φ计算x的范围
• 7.2 余弦函数的图像与性质
  • 余弦函数的性质
    • 周期性
      • 余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）均是它的周期，而2π是它的最小正周期
    • 值域与最值
      • 值域
        • 余弦函数y=cosx的值域是[－1，1]
      • 最值
        • 当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，y=cosx取得最大值1；而当且仅当x=2kπ+π（k∈Z）时，y=cosx取得最小值－1
    • 奇偶性
      • 余弦函数y=cosx是偶函数，其图像关于y轴对称
    • 单调性
      • 余弦函数y=cosx在区间[2kπ，2kπ-π]（k∈Z）上是严格增函数，而在区间[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）上是严格减函数
• 7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
  • 这是一个正弦函数的图像，其中A表示振幅，ω表示角频率，φ表示初相位。具体的图像形状取决于这些参数的具体取值。一般来说，振幅A越大，图像的波峰和波谷的差距就越大；角频率ω越大，图像的周期就越短；初相位φ则决定了图像的水平偏移量。如果需要具体的图像，可以在数学软件或在线绘图工具中输入函数表达式，生成对应的图像。
  • 求解析式的方式
    • 1、根据图像求解析式
      • ①A=ymax-ymin/2，b=ymax+ymin/2
      • ②ω=2π/T
      • ③用代“谷点”或“峰点”的方法求或者“五点发”求出φ
    • 2、根据函数性质求解析式
      • ①奇偶性要注意f（0）的取值
      • ②根据区间长度要注意周期范围
      • ③注意波峰波谷、零点之间、对称轴之间的最小距离
• 7.4 正切函数的图像与性质
  • 正切函数的性质
    • 周期性
      • 由诱导公式tan（x+π）=tanx可知，正切函数是周期函数，kπ（k∈Z，k≠0）均是它的周期，π是它的最小正周期
    • 值域
      • 由正切函数y=tanx的定义可以得到，正切函数y=tanx的值域是实数集R，它既没有最大值，也没有最小值
    • 奇偶性
      • 由诱导公式tan（－x）=－tanx可知，正切函数y=tanx是奇函数。因此，其图像关于坐标原点对称
    • 单调性
      • 正切函数y=tanx在区间（kπ－π/2，kπ+π/2）（k∈Z）上是严格增函数

三角函数

• 7.1 正弦函数的图像与性质
  • 正弦函数的图像
    • 绘制方法：五点法
      • 五点为：0、π/2、π、3π/2、2π
  • 正弦函数的性质
    • 周期性
      • 定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有x+T∈D，且成立f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做周期函数，而这个非零常数T就叫做函数y=f(x)的一个周期
      • 一般的，函数y=sin(ωx+φ)，x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的最小正周期为t=2π/ω
      • 解题方法：用三角恒等变形的公式及方法化为标准模式，再求解
    • 值域与最值
      • 值域为[－1，1]，其最大值为1，最小值为－1
      • 当且仅当x=2kπ+π/2，k∈Z时，y=sinx取得最大值1，当且仅当x=2kπ+3π/2，k∈Z时，y=sinx取得最小值－1
      • 解题方式
        • 1、形如y=asinx+bcosx可用辅助角公式求值域
        • 2、形如y=asin²x+bcosx+c，可用倍角公式降次，将其转化为y=msin2x+ncos2x+k,再用辅助角公式求解
        • 3、形如y=asin²x+bcosx+c，可用sin²x+cos²x=1化为sinx或cosx的二次式，从而转化为在闭区间[-1,1]上的最值问题
        • 4、形如y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c，可利用(sinx±cosx)²=1±2sinxcosx化为关于sinx±cosx的二次式，进而求解
    • 奇偶性
      • 对任意给定的x∈R，等式sin（－x）=－sinx都成立，因此，正弦函数y=sinx是一个奇函数，从而其图像关于原点中心对称
      • 解题方式
        • 证明f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，得出该函数为奇函数或偶函数或既是奇函数又是偶函数或是非奇非偶函数
    • 单调性
      • 由于正弦函数y=sinx的最小正周期是2π，因此正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2，2kπ+π/2]（k∈Z）上是严格增函数；在[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]（k∈Z）上是严格增函数
      • 解题方式
        • 将函数式化为y=Asin(ωx+φ）的形式，再利用单调区间并通过ωx+φ计算x的范围
• 7.2 余弦函数的图像与性质
  • 余弦函数的性质
    • 周期性
      • 余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）均是它的周期，而2π是它的最小正周期
    • 值域与最值
      • 值域
        • 余弦函数y=cosx的值域是[－1，1]
      • 最值
        • 当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，y=cosx取得最大值1；而当且仅当x=2kπ+π（k∈Z）时，y=cosx取得最小值－1
    • 奇偶性
      • 余弦函数y=cosx是偶函数，其图像关于y轴对称
    • 单调性
      • 余弦函数y=cosx在区间[2kπ，2kπ-π]（k∈Z）上是严格增函数，而在区间[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）上是严格减函数
• 7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
  • 这是一个正弦函数的图像，其中A表示振幅，ω表示角频率，φ表示初相位。具体的图像形状取决于这些参数的具体取值。一般来说，振幅A越大，图像的波峰和波谷的差距就越大；角频率ω越大，图像的周期就越短；初相位φ则决定了图像的水平偏移量。如果需要具体的图像，可以在数学软件或在线绘图工具中输入函数表达式，生成对应的图像。
  • 求解析式的方式
    • 1、根据图像求解析式
      • ①A=ymax-ymin/2，b=ymax+ymin/2
      • ②ω=2π/T
      • ③用代“谷点”或“峰点”的方法求或者“五点发”求出φ
    • 2、根据函数性质求解析式
      • ①奇偶性要注意f（0）的取值
      • ②根据区间长度要注意周期范围
      • ③注意波峰波谷、零点之间、对称轴之间的最小距离
• 7.4 正切函数的图像与性质
  • 正切函数的性质
    • 周期性
      • 由诱导公式tan（x+π）=tanx可知，正切函数是周期函数，kπ（k∈Z，k≠0）均是它的周期，π是它的最小正周期
    • 值域
      • 由正切函数y=tanx的定义可以得到，正切函数y=tanx的值域是实数集R，它既没有最大值，也没有最小值
    • 奇偶性
      • 由诱导公式tan（－x）=－tanx可知，正切函数y=tanx是奇函数。因此，其图像关于坐标原点对称
    • 单调性
      • 正切函数y=tanx在区间（kπ－π/2，kπ+π/2）（k∈Z）上是严格增函数