《线性代数》矩阵与线性方程

《线性代数》矩阵与线性方程，本图内容具体有矩阵、矩阵的运算、矩阵的初等变换、逆矩阵、矩阵的秩、矩阵的分块运算。

矩阵与线性方程

• 矩阵
  • 矩阵的概念
    • 由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵
  • 几种特殊矩阵
    • 三角形矩阵
    • 对角矩阵
    • 数量矩阵
• 矩阵的运算
  • 矩阵的相等
    • 矩阵同型且对应元素相等
  • 矩阵的加法
  • 矩阵的数乘
    • 矩阵的k倍数乘，本质是在矩阵的每个元素上乘了一个k
  • 矩阵的乘法
  • 矩阵的转制
• 矩阵的初等变换
  • 初等变换
    • 性质1：行列互换（即转置），行列式不变。
    • 性质2：一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式
    • 性质3：如果行列式中有两行相同，那么行列式为0，所谓两行相同，即两行对应的元素都相等
    • 性质4：如果行列式中，两行成比例，那么该行列式为0
    • 性质5：把一行的倍数加到另一行，行列式不变
    • 性质6：对换行列式中两行的位置，行列式反号
  • 初等矩阵
    • 定义
      • （1）交换中某两行（列）的位置
      • （2）用一个非零k乘以矩阵的某一行（列）
      • （3）将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去
    • 性质
• 逆矩阵
  • 逆矩阵的概念
    • 设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得: AB=BA=E，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵
  • 可逆矩阵的判定以其逆矩阵的求法
    • 可逆矩阵的判定以其伴随矩阵
    • 用初等变换求逆矩阵
• 矩阵的秩
  • 矩阵秩的概念
  • 利用初等行变换求矩阵的秩
  • 矩阵秩的性质
    • 定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
    • 定理：初等变换不改变矩阵的秩。
    • 定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。
    • 定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
    • 引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
• 矩阵的分块运算
  • 矩阵的分块
  • 分块矩阵的运算
    • 分块矩阵的加法、数乘、转置
    • 分块矩阵的乘法
  • 分块对角矩阵
• 一般线性方程组的解