小学数学五年级下苏教版：因数与倍数

小学生数学学习思维导图，一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它的本身。（最大和最小是一组）即：一个数的因数都等于或小于它本身。

小学数学五年级下苏教版3单元：因数与倍数-

• 因数与倍数
  • 概念
    • 意义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。整数：像.....-3、-2、-1、0、1、2、3、.....这样的数统称为整数。
    • 因数和倍数的关系：相互依存，二者不能单独存在，不能单独说某个数是因数或倍数。。
    • 0的特殊性：在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。
    • 自然数：像0、1、2、3、4、6..........，这样的数是自然数。是整数的一部分，也叫非负整数。自然数的单位为“1”。最小的自然数为0.
    • 倍数和倍的区别：是两个不同的概念。倍数指的是数与数之间的关系，只适用于非0的自然数，严格控制在整除范围内的。倍指的是数量关系，适用于整数、小数和分数，只体现在乘法概念中。
    • 乘法算式中的因数：是算式的组成部分，可以是整数、小数、分数；而一个数的因数 是相对于倍数而言的，只能是非0的自然数。
  • 找一个数的因数
    • 思路:把一个数表示为两个自然数相乘的形式，只要找到所有的乘法算式，就可找到这个数的全部因数。（当两个因数相等时，就作一个因数看待）。
    • 方法：（1） 列举乘法算式；（2）列举除法算式。一般从自然数1开始，一组一组地找）
    • 表示：表示一个数的因数的方法有列举法、集合法。
  • 因数的特征
    • 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它的本身。（最大和最小是一组）即：一个数的因数都等于或小于它本身。
  • 找一个数的倍数
    • 方法：通常用这个数依次与非0自然数相乘，说得的积都是这个数的倍数。
    • 表示：列举法、集合法
  • 倍数的特征
    • 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数。
  • 应用
    • 选数组算式，说出因数和倍数
      • 不可选0,
    • 指出一组数中某个数的因数和倍数
      • 列举法 （按从小到大的顺序）
    • 实际应用：先准确找出因数，再根据题意选择符合题意的数字
• 5、2、3倍数的倍数的特征
  • 5、2倍数的特征
    • 个位上是0或5的数是5的倍数。
    • 个位上是0或2、4、6、8的数是2的倍数
    • 个位上是0的数既是5的倍数，又是2的倍数。
  • 偶数和奇数
    • 偶数：整数中，不是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），也叫作双数。包括正偶、负偶数和0.
    • 奇数：在整数中，不是2的倍数的数叫作奇数，也叫单数。包括正奇数、负奇数。
    • 性质
      • 偶数±偶数=偶数 奇数±奇数=偶数 偶数±奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数 （记忆：乘法中只要有偶数积就是偶数，加减中相同的加减都是偶数）
      • 偶数和奇数的个数都是无限的，没有最大的偶数或奇数。
      • 一个非0自然数不是偶数就是奇数。
      • 相邻两个奇数或偶数都相差2.
  • 3的倍数的特征
    • 如果一个数各位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
  • 拓展
    • 2、3的倍数特征：如果一个数的个位上数字是0、2、4、6或8，并且各位上的数的和是3的倍数，那么这个数既是2的倍数，又是3的倍数。
    • 2、5的倍数特征：如果一个数的个位上是0，那么这个数既是2的倍数、又是5的倍数。
    • 2、3、5的倍数特征：如果一个数的个位上数字是0，并且各位上的数的和是3的倍数，那么这个数既是2和5的倍数，又是3的倍数。
    • 6的倍数特征：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
    • 9的倍数的特征：一个数的各位上数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
  • 应用
    • 按要求写数：按要求写出数的倍数的特征，按顺序写出。
    • 5、2、3的倍数特征应用：物品装袋问题、装车、装船等，没有余数，正好装完，即是倍数。
    • 奇偶数应用：在解决生活中来回跑、按开关、渡河等实际问题时，当进行到奇数次时，与原来状态相反；当进行到偶数次时，与原来状态相同。
• 质数、合数、分解质因数
  • 意义
    • 质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（或素数），如2、3、5、7、11、13都是质数。质数中最小的质数是2，也只有2是偶数，其余均是奇数。
    • 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这个数叫作合数数，如4、6、9、10、15都是合数。最小的合数是4.
    • 质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。如120=2×2×2×3×5，其中，2、3、5本身是质数，又是120的因数，所以2、3、5是120的质因数。
  • 判断方法
    • 判断一个数是质数还是合数，只需要看这个数除以了1和它本身，是否还有第三个因数。若有，则是合数；若没有，则是质数。关键看因数的个数。
  • 分解质因数
    • 意义：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
    • 方法：（1）枝状图分解法（塔式分解法）；（2）短除法（是除法的简化，|____相当于除法中除号。）
    • 书写方法：把要分解的数写在等号的左边，把分解成的质数用连乘的形式写在等号的右边。
  • 提示
    • 1的问题：既不是质数，也不是合数。
    • 偶数和合数的联系：有一定的联系，除2外，所有的偶数都是合数，但合数不都是偶数。如：15是合数，但不是偶数。最小的合数是4，最小的偶数是2.
    • 质因数和因数区别：一个数的因数可能是质数、合数或1；一个数的因数不一定是它的质数，而一个数的质因数一定是它的因数。如：4是12的因数，但不是质因数；3是12的质因数。就一定是12的因数。
    • 质因数和质数区别：质数是就一个数的性质而言的，是独立存在的；质因数不能独立存在，只能是某个数的质因数。
    • 质因数和分解质因数的区别：质因数是就另一个数而言的，它必须满足两个条件，即”它是另一个数的因数“”它是质数“。分解质因数是把一个合数分解成几个质数相乘的形式的过程。
  • 应用
    • 数的判断：应用质数、合数、偶数、奇数的性质来判断。20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19；合数有：4、6、8、9、10、12、15、16、18、20；最小的质数：2；最小的合数：2；既不是质数，又不是合数的是：1；既是质数又是偶数的是：2；既是合数又是奇数的是：9、15。
    • 把合数写成两个质数之和的形式：先按从小到大的顺序列举其中一个加数是质数的所有式子，直到第一个加数比第二个加数大为止，再筛选出第二个加数也是质数的式子。
    • 物体分成相等的几份：总数必须是合数。
    • 分解质因数法的实际应用：先将大数分解质因数，再根据题意和实际情况进行分析和组合，从而解决问题。
• 公因数和最大公因数
  • 意义
    • 几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。公因数的个数是有限的，其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数。最小公因数是1.
  • 求两个数的公因数的方法
    • 列举法：先分别找出每个数的倍数，再找两个数的公因数。
    • 筛选法：先找出较小的倍数，再从这些倍数中找出较小数的倍数，这些倍数就是这两个数的公倍数。
  • 应用
    • 两个数的最大公因数的特殊情况：公因数只有1的两个数，最大公因数是1；成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数。
    • 求三个数的最大公因数：与求两个数的最大公因数的方法完全相同。
    • 长方形裁面大小积相同小正方形的问题：求长和宽的最大公因数，并以最大公因数为小正方形边长即可。
  • 提示：两个数的最大公因数不一定比这两个数小，如成倍数关系的两个数的最大公因数是较小数。
• 公倍数和最小公倍数
  • 意义
    • 几个数公有的倍数交作这几个数的公倍数。如6、12、18、24 既是2的倍数，又是3的倍数，它们是2和3的公倍数。
  • 特点
    • 公倍数的个数是无限的，没有最大的公倍数，但有最小的公倍数。
  • 求两个数的公倍数的方法
    • 列举法：先分别找出每个数的倍数，再找出两个数的公倍数。
    • 筛选法：先找出较大的倍数，再从这些倍数中找出较小数的倍数，这些倍数就是这两个数的公倍数。
  • 应用
    • 最小公倍数的特殊情况
      • 公因数只有1的两个数，最小公倍数是它们的乘积。如，7和12的最小公倍数是84（7乘以12）。
      • 成倍数关系的两个数，最小公倍数是较大数。如 80和20的最小公倍数是80。
    • 求三个数的最小公倍数
      • 先分别列举，然后进行筛选。
    • 已知物体分不同组多或少几个，求总数问题
      • 通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法。转化成求已知数的公倍数的问题，从而得到结果（要减去增加或加上减去的）。
  • 提示
    • 不能错误地认为两个数的最小公倍数一定比这两个数大，因为如成倍数关系的两个数的最小公倍数是较大数。（相等）
• 核心考点
  • 用短除法求两个数的最大因数和最小公倍数
  • 根据关系式，确定最大公因数和最小公倍数
  • 5、2、3的倍数的特征的综合应用
  • 最小倍数的综合应用