高中数学——函数

高中数学——函数的思维导图，一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A®B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xÎA.

函数

• 概念
  • 定义
    • 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A®B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xÎA.
      • 两个函数相等，只需要三要素中的两个要素一致即可
  • 三要素
    • 定义域
      • 概念
        • 一般情况下，当没有指明函数的定义域时，就认为它的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围
      • 类型
        • 简单函数
          • （1）分母不等于0.
            • （2）偶次根号下的数大于等于0.
          • （3）零次幂的底数不为0.
            • （4）对数函数的真数大于0.
          • （5）正切函数
            • （6）实际问题的定义域根据生活实际酌情判定
        • 复合函数
        • 抽象函数
    • 对应关系
      • 表示方法
        • 解析法
          • 用数学表达式表达两个变量之间的对应关系
        • 列表法
          • 列出表格来表示两个对应变量之间的对应关系
        • 图象法
          • 用图象表示两个变量之间的对应关系
            • 描点法
              • 关键点
                • （1）与坐标轴的交点
                  • （2）极值点与最值点
                    • （3）端点
              • 性质
                • （1）渐近线
                  • （2）凹凸性、单调性、奇偶性、周期性、有界性
            • 变换法
              • 平移变换
                • “左加右减”
                  • “上加下减”
                    • 左右平移变换只针对x进行
              • 伸缩变换
                • 具体内容见三角函数章节
              • 对称变换
                • 关于y轴：（x,y）®(-x,y)
                  • 关于x轴：（x,y）®(x,-y)
                • 关于原点：（x,y）®(-x,-y)
                  • 关于直线y=x：（x,y）®(y,x)
              • 翻折变换
                • 右翻左：y=f(|x|)（偶函数）
                  • 下翻上：y=|f(x)|
            • 图象切割
              • 先画出整个定义域上的函数图象，再根据所给定义域进行切割图象
        • 分段函数
          • 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式
        • 复合函数
          • 按一定次序把有限个函数合成得到的函数
      • 求解对应关系的方法
        • 待定系数法：已知函数类型
        • 解方程组法：可以构造方程组
        • 对称法：已知函数的对称轴或者对称中心
        • 赋值法：抽象函数结构
    • 值域
      • 概念
        • 因变量所有取值的集合
      • 求解方法
        • 求值域的本质是寻找函数的上下确界
        • 直接法：一次函数以及简单函数
          • 配方法：二次函数
        • 图象法：能够画出图象的基本初等函数
          • 单调性法：能够判断函数单调性的基本初等函数
        • 换元法：复合函数
          • 三角换元
          • 代数换元
        • 判别式法：
          • 不等式法：对勾函数型
        • 求导法
          • 具体内容见导数章节
• 函数的性质
  • 单调性：
    • 单调性的证明：取值、作差、变形、判断符号、得出结论
    • 增函数
      • 概念
      • 图示
      • 常用变形
        • （平均变化率）
    • 减函数
      • 概念
      • 图示
      • 常见变形
        • （平均变化率）
    • 极值
      • 具体内容见导数章节
  • 对称性：
    • 图形的对称本质上是点的对称
    • 轴对称
      • 概念
      • 常见变形
      • 偶函数
        • 图示
    • 中心对称
      • 概念
      • 常见变形
      • 奇函数
        • 图示
  • 周期性
    • 周期函数的周期不止一个，最小正周期指的是所有正周期中最小的那个数，不是所有的周期函数都有最小正周期.
    • 概念
    • 常见变形
  • 有界性
    • 概念
    • 分类
      • 确界
        • 很多函数仅有上确界或者下确界
        • 上确界
        • 下确界
        • 拓展内容：洛必达法则
          • 具体内容见导数章节
      • 最值
        • 最大值
        • 最小值
• 基本初等函数
  • 幂函数
    • 对勾函数
      • 飘带函数
        • 指数函数
          • 对数函数
            • 三角函数
• 特殊函数
  • 反函数
    • 数列
      • 分布列
        • 圆锥曲线（二元隐函数）
• 研究函数的一般过程
  • （1）定义域
    • （2）特殊点
      • （3）奇偶性、周期性
        • （5）单调性
          • （6）凹凸性
            • （7）最值
              • （8）导数
                • （9）图象
• 规律
  • 易错点
    • 符号f(x)的含义
      • （1）函数值
        • （2）因变量y
          • （3）函数三要素
            • （4）不是f与（x）的乘积，f(x)是一个整体符号
    • 忘记考查函数的定义域
      • 使用换元法忽视新变量的范围
  • 易混点
    • 点的平移与函数图象的平移
      • 本质是相同的，但是表现形式不一致
      • 点（x,y）向左平移a（a>0）个单位得点（x-a,y）
        • 点（x,y）向上平移b（b>0）个单位得点（x,y+b）
      • 函数y=f(x)向左平移a（a>0）个单位得y=f(x-a)
        • 函数y=f(x)向上平移b（b>0）个单位得y=f(x)+b
    • 函数自身的对称性与两个函数之间的对称性
      • 一个函数可以分割成两个函数，但是两个函数不一定能合成一个函数
      • 若函数f(x)关于直线x=a对称，则f(a-x)=f(a+x)
        • 若函数f(x)关于点（a,b）对称，则f(a-x)+f(a+x)=2b
      • 若函数f(x)与g(x)关于直线x=a对称，则f(a-x)=g(a+x)
        • 若函数f(x)和g(x)关于点（a,b）对称，则f(a-x)+g(a+x)=2b
  • 单调性
    • 增函数+增函数=增函数
      • 减函数+减函数=减函数
        • -增函数=减函数
          • -减函数=增函数
            • 增函数-减函数=增函数
              • 减函数-增函数=减函数
  • 奇偶性
    • 奇函数+奇函数=奇函数
      • 奇函数-奇函数=奇函数
        • 奇函数´奇函数=偶函数
          • 奇函数´偶函数=奇函数
            • 奇函数¸奇函数=偶函数
              • 奇函数¸偶函数=奇函数
    • 偶函数+偶函数=偶函数
      • 偶函数-偶函数=偶函数
        • 偶函数´偶函数=偶函数
          • 偶函数´奇函数=奇函数
            • 偶函数¸偶函数=偶函数
              • 偶函数¸奇函数=奇函数
  • 对称性与周期性
    • 若一个函数既有对称轴，又有对称中心，则这个函数一定是周期函数
      • 相邻两条对称轴之间的距离为半周期
      • 相邻两个对称中心之间的距离为半周期
      • 相邻的对称轴和对称中心之间的距离为四分之一周期
  • 复合函数的单调性
    • 换元法
      • “同増异减”
        • 特别需要考查x的范围
        • 若f(x)增，g(x)增，则f(g(x))增，g(f(x))增
          • 若f(x)减，g(x)减，则f(g(x))增，g(f(x))增
        • 若f(x)增，g(x)减，则f(g(x))减，g(f(x))减
          • 若f(x)减，g(x)增，则f(g(x))减，g(f(x))减
    • 求导
      • 具体内容见导数章节