高中数学——函数

高中数学——函数的思维导图，一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A®B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xÎA.

函数

概念

定义

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A®B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xÎA.

两个函数相等，只需要三要素中的两个要素一致即可

三要素

定义域

概念

一般情况下，当没有指明函数的定义域时，就认为它的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围

类型

简单函数

（1）分母不等于0.

（2）偶次根号下的数大于等于0.

（3）零次幂的底数不为0.

（4）对数函数的真数大于0.

（5）正切函数

（6）实际问题的定义域根据生活实际酌情判定

复合函数

抽象函数

对应关系

表示方法

解析法

用数学表达式表达两个变量之间的对应关系

列表法

列出表格来表示两个对应变量之间的对应关系

图象法

用图象表示两个变量之间的对应关系

描点法

关键点

（1）与坐标轴的交点

（2）极值点与最值点

（3）端点

性质

（1）渐近线

（2）凹凸性、单调性、奇偶性、周期性、有界性

变换法

平移变换

“左加右减”

“上加下减”

左右平移变换只针对x进行

伸缩变换

具体内容见三角函数章节

对称变换

关于y轴：（x,y）®(-x,y)

关于x轴：（x,y）®(x,-y)

关于原点：（x,y）®(-x,-y)

关于直线y=x：（x,y）®(y,x)

翻折变换

右翻左：y=f(|x|)（偶函数）

下翻上：y=|f(x)|

图象切割

先画出整个定义域上的函数图象，再根据所给定义域进行切割图象

分段函数

如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式

复合函数

按一定次序把有限个函数合成得到的函数

求解对应关系的方法

待定系数法：已知函数类型

解方程组法：可以构造方程组

对称法：已知函数的对称轴或者对称中心

赋值法：抽象函数结构

值域

概念

因变量所有取值的集合

求解方法

求值域的本质是寻找函数的上下确界

直接法：一次函数以及简单函数

配方法：二次函数

图象法：能够画出图象的基本初等函数

单调性法：能够判断函数单调性的基本初等函数

换元法：复合函数

三角换元

代数换元

判别式法：

不等式法：对勾函数型

求导法

具体内容见导数章节

函数的性质

单调性：

单调性的证明：取值、作差、变形、判断符号、得出结论

增函数

概念

图示

常用变形

（平均变化率）

减函数

概念

图示

常见变形

（平均变化率）

极值

具体内容见导数章节

对称性：

图形的对称本质上是点的对称

轴对称

概念

常见变形

偶函数

图示

中心对称

概念

常见变形

奇函数

图示

周期性

周期函数的周期不止一个，最小正周期指的是所有正周期中最小的那个数，不是所有的周期函数都有最小正周期.

概念

常见变形

有界性

概念

分类

确界

很多函数仅有上确界或者下确界

上确界

下确界

拓展内容：洛必达法则

具体内容见导数章节

最值

最大值

最小值

基本初等函数

幂函数

对勾函数

飘带函数

指数函数

对数函数

三角函数

特殊函数

反函数

数列

分布列

圆锥曲线（二元隐函数）

研究函数的一般过程

（1）定义域

（2）特殊点

（3）奇偶性、周期性

（5）单调性

（6）凹凸性

（7）最值

（8）导数

（9）图象

规律

易错点

符号f(x)的含义

（1）函数值

（2）因变量y

（3）函数三要素

（4）不是f与（x）的乘积，f(x)是一个整体符号

忘记考查函数的定义域

使用换元法忽视新变量的范围

易混点

点的平移与函数图象的平移

本质是相同的，但是表现形式不一致

点（x,y）向左平移a（a>0）个单位得点（x-a,y）

点（x,y）向上平移b（b>0）个单位得点（x,y+b）

函数y=f(x)向左平移a（a>0）个单位得y=f(x-a)

函数y=f(x)向上平移b（b>0）个单位得y=f(x)+b

函数自身的对称性与两个函数之间的对称性

一个函数可以分割成两个函数，但是两个函数不一定能合成一个函数

若函数f(x)关于直线x=a对称，则f(a-x)=f(a+x)

若函数f(x)关于点（a,b）对称，则f(a-x)+f(a+x)=2b

若函数f(x)与g(x)关于直线x=a对称，则f(a-x)=g(a+x)

若函数f(x)和g(x)关于点（a,b）对称，则f(a-x)+g(a+x)=2b

单调性

增函数+增函数=增函数

减函数+减函数=减函数

-增函数=减函数

-减函数=增函数

增函数-减函数=增函数

减函数-增函数=减函数

奇偶性

奇函数+奇函数=奇函数

奇函数-奇函数=奇函数

奇函数´奇函数=偶函数

奇函数´偶函数=奇函数

奇函数¸奇函数=偶函数

奇函数¸偶函数=奇函数

偶函数+偶函数=偶函数

偶函数-偶函数=偶函数

偶函数´偶函数=偶函数

偶函数´奇函数=奇函数

偶函数¸偶函数=偶函数

偶函数¸奇函数=奇函数

对称性与周期性

若一个函数既有对称轴，又有对称中心，则这个函数一定是周期函数

相邻两条对称轴之间的距离为半周期

相邻两个对称中心之间的距离为半周期

相邻的对称轴和对称中心之间的距离为四分之一周期

复合函数的单调性

换元法

“同増异减”

特别需要考查x的范围

若f(x)增，g(x)增，则f(g(x))增，g(f(x))增

若f(x)减，g(x)减，则f(g(x))增，g(f(x))增

若f(x)增，g(x)减，则f(g(x))减，g(f(x))减

若f(x)减，g(x)增，则f(g(x))减，g(f(x))减

求导

具体内容见导数章节