五上数学思维导图（北师大版）

一本书，一张图，五上数学思维导图整理了小数除法、倍数与因数、分数的意义、轴对称和平移、多边形的面积、组合图形面积、可能性的内容，一起发现数学之美。

五上数学

• 第1单元 小数除法
  • 1.精打细算 2.打扫卫生
    • 除数是整数
      • 从被除数的最高位除起，除到哪一位就在那一位上写商，商的小数点要与被除数的小数点对齐。例：26.5÷5；11.5÷5
        • 课后提升
          • 小数点移位：左缩右扩，一位10倍；灵活应用被除数、除数或商移位运算 例：乐乐和悠悠一共有896.5元，乐乐的钱数的小数点向左移动一位，他的钱数就和悠悠一样多，请问两人的钱 896.5/（10+1）=81.5 81.5*10=815. 或者 x+10x=896.5 x=81.5 10x=815 合计896.5.分别是81.5和815.
          • 消元思想：二元一次方程组中两个未知数，如果消去其中一个，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，就可先求出一个未知数，然后再求出另一个，这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫消元思想； 消元方法：1.代入消元法 2.加减消元法
          • 方法运用：消元法解决差倍问题 例：一个小数，如果把它的小数部分扩大3倍，这个数变成4.2,； 如果扩大7倍，这个数变成5.8。这个数是多少 （5.8-4.2）÷（7-3）=0.4 小数部分是0.4， 4.2-0.4*3=3 整数部分是3，这个数是3.4
        • 重点提示：
          • 整数部分除完，商应先点上小数点，然后把被除数十分位上的数落下来继续除，除到被除数的哪一位商就写在哪一位的上面。
      • 从被除数的最高位除起，除到被除数的末位仍有余数的，就在余数的后面添加“0”继续除 例：18.9÷6；26÷4
      • 从被除数的最高位除起，如果商的中间哪一位上不够商1，就在那一位上用“0”占位 例：12.6÷12；43.23÷6；
        • 课后提升
          • 方法运用：消元法解解方程 例：学校上午买了4个足球和2干篮球，共付436.8元；下午买了同样的1个足球和2个篮球，共付人民币237元。一个篮球和一个足球各多少元？ （ 436.8-237）/（4-1）算出一个足球的钱。就可解了
          • 思维开放：用画线段解决平均分 例：甲、乙、丙三人各拿出同样多的钱买气球。甲拿到的气球比乙拿到的气球少6个，乙、丙拿到的气球同样多。这样，乙、丙每人要给甲0.8元。每个气球的售价是多少钱？
      • 整数除以整数，如果商的整数部分不够商1，那么要在商的个位用0占位，并在0的后面点上小数点，同时在被除数个位的后面也点上小数点，添加0继续除；例：18÷24；2.6÷5；2.52÷36
  • 3, 谁打电话的时间长
    • 除数是小数
      • 1、移动除数的小数点，使它变成整数； 2、除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位； 3、位数不够的，在被除数的末尾用0补足；然后按整数除法计算 例：5.28÷1.2；5.76÷0.03；8.4÷0.56；67.85÷0.25；56÷0.14
      • 重点提示： 除数是小数的小数除法，商的小数点应与移动后的被除数的小数点对齐，而不是与移动前的被除数的小数点对齐。
        • 课后提升
          • 商不变定律：被除数和除数同时乘(或除以)相同的数(0除外)，商不变。例：5.1÷0.3=51÷3 54÷7.2=540÷72
            • 方法运用：用转化法解决小数位多的除法 例：0.00000247÷0.000000013=2470÷13
          • 商变化规律： 被除数不变，除数扩大几倍，商缩小同样倍数。除数缩小几倍，商扩大同样倍数 被除数不变，商和除数相反变化 除数不变，被除数扩大几倍，商扩大同样倍数，被除数缩小几倍，商缩小同样倍数 除数不变，商和被除数相同变化
            • 方法应用：用商的变化规律解决错解题 例：小明在计算一个三位小数除以一个数时,漏掉了被除数的小数点,得到错误的商是68.09，请算出正确的商？ 被除数扩大1000倍，商扩大1000倍，68.09/1000=0.06809.
      • 验算：小数除法的验算方法与整数除法的验算方法相同，都是利用“商×除数=被除数”或“被除数÷商=除数”
  • 4人民币兑换
    • 积/商近似值
      • 近似值： 1、积的近似值：先算出准确的积，再根据题目或生活习惯用四舍五入取近似值/ 2、商的近似值：先看保留几位小数，根据要求多除一位，再用四舍五入取近似值 3、四舍五入口诀：保留哪位看下位，拿它和5做比对;4舍5入要记牢，还有等变约等号
        • 课后提升
          • 保留位末尾若是0，不能去掉 例：1.904保留两位≈1.90
          • 求商的近似值时用“≈”约等于号连接。
      • 近似值解决货币兑换和汇率问题： 明确兑换关系（货币汇率），最终结果算到千分位，然后保留两位小数（特殊要求除外，默认都保留两位小数：元 . 角分） 例：妈妈用600元人民币可兑换多少美元(1美元兑换人民币7.61元)？ 600/7.61
      • 商与被除数大小关系：当被除数大于0时， 若除数大于1，商比被除数小； 除数>1, 商<被除数 大小 除数等于1，商与被除数相等； 除数=1，商=被除数 相等 除数小于1大于0，商大于被除数； 0 <除数<1，商>被除数 小大
        • 例题
  • 5.除的尽吗？
    • 循环小数
      • 循环小数：一个数的小数从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。 例：73÷3=24.3333...；9.4÷11=0.85454...；但3.8888不是循环小数。注意写法区分
        • 拓展提高
          • 纯循环小数和混循环小数 1、纯循环小数：循环节是从小数部分第1位开始的小数叫做纯循环小数。例：5.333... 2、混循环小数：循环节是不是从小数部分第1位开始的小数叫混循环小数 例：7.1454545...
      • 循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复的数字，叫做这个循环小数的循环节。 例："3"是24.3333...的循环节；"54"是0.85454...的循环节。
        • 用循环节求循环小数指定位数上的数字 例：2÷13的商的小数点后第1000位上的数字是几？ 2/13=0.153846153846153846...，因为循环节是153846是6位，所以1000/6=166....4,第4位是153846中的8的位置。所以第1000位是8
      • 用四舍五入法取循环小数的近似值 1、取循环小数的近似值时，如果需要保留的小数位比“..."前面的小数位少，那么可以直接取近似值。 2、如果需要保留的小数位超过了”...“前面的小数位数，那么应该把重复出现的数字依次写出几位，直到超过需要保留的小数位数，然后取近似值。
        • 例：0.85454... 保留两位小数。 需要看第三位的上数字，因为第三位是4，所以需要舍去。0.85454...≈0.85 保留三位小数： 需要看第四位，第四位是5，所以要入上，0.85454..≈0.855
        • 循环小数在书写时,一定不要漏写"...",取近似值时，要用“≈”连接。
      • 循环节的简便写法：可只写一次循环节，然后在其首位、末位数字头上各点一个圆点 例： 0.8543543543...，读作：零点八五四，五四三循环；写作：
  • 6.调查“生活垃圾”
    • 四则混合运算
      • 加减乘除混合算，明确顺序是关键；同级运算最好办，从左到右依次算。 两级运算都出现，先算乘除后加减；遇到括号怎么办，小括号里要优先。 例：8.5-3.5÷5;
        • 除法运算性质简算: 一个数连续除以几个数，可除以后几个数的积，也可调换除数位置，商不变。例：8.1÷18=8.1÷(9x2)；1.38÷0.125÷8=1.38÷（0.125x8） 即：a÷b÷c=a÷(bxc)
        • 只有乘法和除法的算式里，要想改变运算顺序必须加上小括号 1.2÷5x12=1.2÷(5x12)
• 第3单元 倍数与因数
  • 1.倍数和因数
    • 倍数因数意义及关系
      • 意义：如果a x b= c(a,b,c均为非零的自然数)，那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数 若a x b x c x ...=m 那abc...都是m的因数，m是abc...的倍数，不能单独说a是倍数，或因数
      • 关系：倍数和因数是乘法算式中积和乘数的关系，是两个不同但又相互依存的概念，没有倍数就不存在因数，没有因数也就不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数，应该说谁是谁的倍数或因数，就像父子关系。
      • 倍和倍数的区别：
        • 倍的概念比倍数广，倍适用于小数、分数、整数；而倍数只是相对于因数而言的，只适用于0除外的自然数；例：0.9x2=1.8不存在倍数和因数的关系
        • “倍”是数量之间的关系，是乘法概念的基础上。例： 公鸡有10只，母鸡有3个10只，可以说母鸡的只数是公鸡的3倍。 “倍数”是数与数之间的关系，建立在整除的概念基础上 例：30能被6整除，那么30是6的倍数。
      • 0的特殊性：在自然数中，0是一个特殊的数，0乘以任何数都等于0，0是任何一个非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。所以一般排除。只在自然数（零除外）范围内研究因数和倍数
    • 找倍数
      • 找倍数
        • 列乘法算式找倍数 例：7,14,17,25,77哪些数是7的倍数？ 用7分别和自然数1，2，3...相乘，所得到的积都是7的倍数
          • 方法：用这个数和任意一个自然数（零除外）相乘，所得的积，都是这个数的倍数
          • 判断：判断两个数是否成倍数关系的方法：（1）列乘法算式，用积判断（2）列除法算式，如果商是非零自然数且没有余数，那么就成倍数关系，否则就不成倍数关系。
          • 找一个数的倍数，用“列乘法算式”的方法简单； 判断一个数是不是另一个数的倍数，用“列除法算式”方法简单
        • 列除法算式找倍数 例：7,14,17,25,77哪些数是7的倍数 用上面的数分别除以7，能整除的那个数就是7的倍数（有余数就不是倍数关系）
          • 课后提升
            • 用归纳法解决倍数问题：如果两个数是同一个数的倍数，那么这两个数的差或和也是这个数的倍数 例：36是6的倍数，24是6的倍数，36与24的差(和)是6的倍数吗？
            • 用于倍数知识解决实际问题 例：五一班进行队列表演，每行12人或16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，你能算出这个班多少人吗？（12的倍数：12,24,36,48,60，...,16,的倍数：16,32,48,64，... 因为不超过50人，所以是48人）
      • 倍数表示法：
        • 1.列举法：从这个数本身写起，从小到大，逗号分隔，末位省略号代替 例：7的倍数：7，14，21，28，35，...
        • 2.集合法：画一个椭圆，在椭圆上或下面写上“*的倍数”表示它的倍数的集合，椭圆内和列举法一样的写法
      • 倍数的特征：一个数的倍数的个数无限，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数
  • 2.2，5的倍数的特征
    • 倍数的特征
      • 个位是2,4,6,8,0的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；
        • 一个数的末两位数是4的倍数，这个数就是4的倍数，如24，124 一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数。如148，1104
          • 4,8的倍数特征
        • 一个数的末两位数是25的倍数，这个数就是25的倍数。如75，475，550 一个数的末三位数是125的倍数，这个数就是125的倍数。如375,6375.
          • 25,125的倍数特征
        • 课后提升
          • 用集合法解决找倍数问题 例：用0，5，6组成的三位数中，2的倍数的数有哪些？5的倍数的数有哪些？既是2的又是5的倍数有哪些？(每个数字只能用一次)(506,560,650；560,650,605；560,650)
          • 根据特殊数字的倍数特征解决复杂找数问题。例：同时是2、3、5、9的倍数的两位数是( 90 )，最小的三位数是(180 )
          • 运用列表法解决组数问题 例：5口口0是有两个相同数字的四位数，它同时是2，3，5的倍数，这个四位数最大时多少？最小是多少？（5880，5010）
    • 奇数和偶数
      • 定义：是2的倍数(能被2整除)的数叫偶数，可用2a(a是自然数)表示，不是2的倍数的数叫奇数，可用2a+1表示
      • 自然数中，最小的偶数是0；最小的奇数是1，没有最大的偶数和奇数，偶数和奇数的个数都是无限的
      • 1.在连续自然数中，奇、偶数不断交替出现的；两个连续自然数中必有一个奇数和一个偶数 2.奇数+奇数=偶数；偶数+奇数=奇数；偶数+偶数+...+偶数=偶数。奇数-奇数=偶数；偶数-奇数=奇数；奇数-偶数=奇数。 3.相邻的两个偶数（或奇数）相差2。 4.n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是偶数；算式中有一个是偶数，则乘积是偶数 5.奇数的个位是1、3、5、7、9；偶数的个位是0、2、4、6、8 6.奇数除以2余数为1
        • 课后提升
          • 运用相邻偶数排列特点解决实际问题。例：五个连续偶数的和是100，其中最大的一个偶数是多少？ （n-2-2）+（n-2）+n+（n+2）+（n+2+2）=100 n=20 最大的偶数：20+2+2 =24）
          • 运用奇偶数排列规律解决实际问题 例：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，求前100个数中，有多少个偶数？（100/3=33个）
  • 3、3，9的倍数的特征
    • 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数((能被3整除))，这个数就是3的倍数； 一个数各个数位上的数字之和是9的倍数((能被9整除))，这个数就是9的倍数; 一个数是9的倍数，那么这个数一定是3的倍数，但是3的倍数不一定是9的倍数
    • 拓展提高：3的倍数的几种常见性的
      • 1、3个连续的奇数或偶数及3个连续的奇数或偶数与0组成的数都是3的倍数，例：135,246,1035,1350,1305,4680
      • 2、3个连续的自然数及3个连续的自然数与0组成的数都是3的倍数。如：234,567,2340,7089
      • 3、3个相同的数及3个相同的数，与,0组成的数都是3的倍数。如：222,555,8088,9990
  • 4、找因数
    • 找因数的方法：
      • 利用拼长方形的方法（面积=长x宽）类推出找因数的方法
        • 即：哪两个整数相乘的积是这个数。例如：18的因数是几？可以想：□×□=18 像哪两个数相乘是18.
      • 列乘法算式找因数，从自然数1找起，一对一对的找，看看那两个数的乘积是这个数，它们就是这个数的因数。
      • 列除法算式找因数，看看这个数可以被哪些数整除，这些除数和商就是这个数的因数
    • 因数表示法：
      • 1.列举法：把该数的因数按从小到大的顺序排列起来，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完后加句号例：18的因数：1，2，3，6，9，18
      • 2.集合法：画一个椭圆，在椭圆上或下面写上“*的因数”表示它的因数的集合，椭圆内和列举法一样的写法，但末尾不加句号。
    • 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身
      • 课后提升
        • 用因数和倍数知识解决问题(先找出全部因数，再从因数中找倍数) 例：有一个数，既是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是？(5,10,20,40)
      • 一个数的因数的个数与这个数的大小无关
  • 5.质数和合数
    • 定义：
      • 非零自然数分为三类：质数、合数和1；
      • 1. 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）如2，3，5，7 2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，如4，6，8，10 3. 1既不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数
      • 最小的偶数是0, 最小的奇数是1；最小的质数是2, 最小的合数是4；
      • 质数不都是奇数，如2 是偶数，奇数不都是质数，如9是合数
      • 2是质数中唯一的偶数，除2外，其他质数都是奇数。
    • 判断一个数是质数还是合数的方法：
      • 1.看这个数的因数的个数，只有1和它本身两个因数的数是质数，其他的是合数； 2.用所有比这个数小的质数从小到大依次去除这个数，若有余数就是质数，否则就是合数
        • 课后提升
          • 根据质数特征解决实际问题 例：用0,1,4,5这四个数字组成两个质数，每个数字只能用一次，求这两个质数分别是？(5, 401)
          • 根据质数和奇偶数的关系解决知和求积问题。例：三个不同的质数相加的和是82，这三个质数相乘的积最大时多少？(2x37x43=3182) 82-2=80
    • 分解质因数： 每一个合数都可以由几个质数相乘得到，把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫分解质因数，例：30=2x3x5，其中2，3，5每个质数都是30这个合数的因数，叫做这个合数的质因数；如果合数是偶数(质数相乘的积)，那么它的这几个相乘的质因数里一定有2
      • 课后提升
        • 用分解质因数的知识解决实际问题： 例：刘小华是一名五年级学生,他参加数学竞赛，赛后小华说:"我的分数和名次、年龄都是质数,它们的乘积是2134,"你知道他的成绩和名次各是多少吗? （2134=2*11*97）
    • 质数×质数=合数；合数×合数=合数；质数×合数=合数； 除2以外所有的质数都是奇数；除2以外任意两个质数的和都是偶数
      • 100以内质数歌
        • 二三五七和十一； 十三后面是十七； 还有十九别忘记； 二三九,三一七； 四一四三,四十七； 五三九,六一七； 七一,七三,七十九； 八三,八九,九十七
• 第5单元分数的意义
  • 1.分数的意义
    • 整体1的含义：一个物体或者一些物体都可以看作一个整体，这个整体可用自然数1表示，叫做整体1，既可以表示一个物体或一些物体，又可以表示一个计量单位
    • 分数意义：把一个整体平均分成若干份，其中一份或几份可用分数表示，写作1/m或n/m(m,n为自然数且m≠0)；分母表示把这个整体1平均分成的总份数，分子表示所取的份数，分数线表示平均分，
    • 根据分数所表示的数量可以求出对应的整体数量，分母是几，整体就被平均分成几份； 同一个分数对应的整体越大，表示的具体数量就越大； 同一个分数表示的具体数量大，对应的整体就大；表示的具体数量小，对应的整体就小；
      • 判断分数所表示的具体数量大小时，除了要看分数本身的大小，还要看所对应的整体1的大小；例：有甲乙两个正方形，乙正方形面积的1/2一定大于甲正方形面积的1/4吗？
      • 整体1的变换。整体1不同，相同分数所表示的具体数量也不同。例：小红看一本书，第一天看了它的1/4，第二天看了剩下的1/4，她两天看的页数一样多吗？哪天看的多？
  • 2.分数单位
    • 分数单位定义：把整体1平均分成若干份，取其中的一份的数，叫做分数单位, 即分子是1，分母是正整数的分数，又叫单位分数，记为1/m
    • 分数单位的大小：分母越大，分数单位越小；分母越小，分数单位越大
      • 大小相等的分数，不代表分数单位也相等，如六分之二与三分之一是相等的，但六分之二的分数单位是六分之一，三分之一的分数单位就是三分之一，相较之下，三分之一的分数单位更大。
      • 最大的分数单位是二分之一，没有最小的分数单位。
      • 分母相同的分数，其分数单位相同；分母不同的分数，分数单位不同
    • 一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，这个分数里就有几个分数单位
      • 画线段解分数问题，例：小明邮票数的1/4是8张，小刚邮票数的1/3是9张，那谁的邮票多？
  • 3.真/假分数
    • 真分数：分子小于分母的分数是真分数，0<真分数<1
    • 假分数：分子大于或者等于分母的分数是假分数，假分数>1或=1；
      • 任何非零的整数都可以写成分母是1的假分数：8=8/1,21=21/1，或1=6/6,8/8,13/13...
      • 例：用数字1，4，8，9分别组成最大/最小的带分数，最大/最小的真分数(不重复)
      • 例：一个分数，分子和分母的和是30，分子增加8后，分数值就等于1，原分数是
    • 带分数(也是假分数)：由整数(≠0)和真分数合成的数是带分数，带分数是假分数的另一种书写形式，读作几又几分之几；分数只分两类：真分数、假分数
  • 4.分数与除法
    • 分数与除法关系：分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值就是商
      • 分数不但可以表示部分与整体的关系，也可表示具体数量，表具体数量要加单位
    • 带分数化为假分数：用整数与分母的乘积,再加上原来的分子作为分子，分母不变. 假分数化为带分数：分子除以分母，如果没有余数就化为整数，如有余数，化为商又余数/分母
      • 逆推法接分数互化：例：一个带分数，它分数部分的分子是3，把它化成假分数后，分子是28，这个带分数可能是
    • 求一个数是另一个数(≠0)的几分之几：用一个数除以另一个数得到的商就表示两个数的关系，没有单位名称
      • 求每份是多少？用总数量除以平均分成的份数。 求每份是总数量的几分之几？，平均分成几份，每份就是总数量的几分之一
    • 除法和分数虽然有一定联系，但代表的意义不同，不能说两者意义一样或者相同，比如3÷5是除法算式，3/5表示一个数。意义不同。
      • 分析法解周期排列问题：有红、白、黑三种颜色的珠子共89颗，按1颗红、3颗白、2颗黑的顺序循环排列，三种珠子数量各占全部珠子的几分之几？
  • 5.分数基本性质
    • 分数基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数，分数的大小不变，
      • 解分数值不变问题：一个分数是16/20,如果把它的分子减去12，要使它大小不变，那么分母应该减去多少？
    • 根据分数基本性质，可把一个分数化成无数个和它相等的分数
      • 逆推法解复杂分数：一个分数，分母比分子大25，分子分母同时除以一个不为零的数后得4/9，原分数是?25÷(9-4)=5->20/45
  • 6.找最大公因数
    • 定义：几个数相同的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫作它们的最大公因数
      • 运用转化法解分物问题（求几个数的公因数，最大或最多的份数，就是求这几个数的最大公因数） 例：若把110块糖平均份给全班同学，则多出5块；若把210块糖平分给全班同学，则正好分完，若把240块糖平均分给全班同学，则少5块，那该班最多多少人(105,210和245的最大公因数35)
      • 用最大公因数和植树策略：例：桥头公园有一个三角形的喷水池（三条边分别是48dm、72dm、56dm），设计师想在喷水池的三条边上等距离地插红旗(三个订单各插一面)，至少要准备多少面旗？(间距是三边的最大公因数(48+72+56)÷8=22)
    • 方法：先分别找出它们各自所有的公因数，再从中找出两个数的公因数，其中最大的一个就是它们的最大公因数
      • 用短除法求两个数的最大公因数
    • 意义：
      • 每个数的因数的个数是有限的，因此两个数或多个数的公因数的个数也是有限的，最小公因数是1，有最大公因数。
      • 最大公因数一定是这两个数其他公因数的倍数
      • 若干个连续的自然数的公因数只有1，它们的最大公因数也是1，如15 16 17这三个数的最大公因数是1.
      • 当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数，如3和9的最大公因数是3，5和15的最大公因数是5。
    • 公因数表示 1.例举法：12和18的公因数有1，2，3，6；12和18的最大公因数是6； 2-集合法：
    • 作用：最大公因数主要是分数约分做准备
      • 在做题中遇到至少或者最少，一般求的是最大公因数。反之则是求最小公倍数
    • 最大公因数和最小公倍数的关系
      • 最大公因数是最小公倍数的因数。最小公倍数是最大公因数的倍数。最小公倍数比最大公因数大并且比原来的两个数大。
        • 两个数乘积=两数的最大公因数×两数的最小公倍数21××××
        • 最小公倍数是最大公因数的倍数
  • 8.找最小公倍数
    • 定义：几个数的公有倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个叫作它们的最小公倍数；
      • 用转化法求最小公倍数；例：小朋友分组做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次分组每组5人也余下2人，那最少有多少人做游戏？(22)
      • 用最小公倍数解实际问题；例：马路的一侧从头到尾有106棵树，原来每相邻两棵树之间距离是9m，现在改成相邻两棵树间距为15m，那有多少树不需要移动？(945÷45+1=22)
    • 方法： 1-列举法：先写出这两个数各自的倍数，再从中找出它们的公倍数和最小公倍数； 2-试除法：先写出这两个数中较大数的倍数，再用这些倍数从小到大的依次除以较小数，第一个除以较小数没有余数的的数就是它们的最小公倍数，例：找10,15的最小公倍数(30)
    • 意义：
      • 因一个数的倍数的个数是无限的，所以若干个数的公倍数也是无限的，只有最小的公倍数，没有最大的公倍数；
      • 当较大数是较小数的倍数时，这两个数的最小公倍数是那个较大的数,例：3和24的最小公倍数是24
      • 几个数的公倍数是这几个数最小公倍数的倍数，几个数的最小公倍数是这几个数的公倍数的因数，如：4和6的公倍数是12和24,36,48,...,其中12是最小公倍数，其他24,36,48都是公倍数，24,36,48是最小公倍数的倍数，12是24,36,48的因数。
    • 公倍数表示： 1-列举法：4和6的公倍数有12,24,36,... 4和6的最小公倍数是12； 2-集合法：
    • 作用：最小公倍数主要是为异分母分数加减法通分做准备
  • 7.约分与最简分数
    • 定义 约分：把一个分数的分子、分母同时除以它们的公因数，分数的值不变，这个过程叫约分
    • 定义 最简分数：分子、分母只含有公因数1，不能再约分了，这个分数就是最简分数； 在以后的计算中，如没有特殊要求，计算结果一般都要化成最简分数
      • 拓展：分子和分母是两个相邻自然数(≠0)d的分数一定是最简分数； 分子和分母是两个不同质数的分数一定是最简分数
    • 约分的方法： 逐次约分法：用分子和分母的公因数(1除外)逐次去除分子和分母，直到得出最简分数 一次约分法：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母，直接得到在最简分数
      • 约分 书写 格式
    • 约分技巧： 1.当分数的分母是分子的倍数时，分子和分母同时除以分子，约分得到分子是1的最简分数 2.当分数的分子和分母都是整百、整十数时，可先划去分子、分母末尾同样多的0，再约分 3.当分数的分子和分母比较大，难以一次约分时，可考虑能否用2,3,5,7逐次约分 4.遇到带分数约分时，整数部分不变，只把它分数部分约分即可
      • 当分数的分子、分母加上或减去同一个数时，分子和分母的差不变： 例：分数5/13的分子、分母加上同一个数，约分后得到1/2，加上的这个数时多少(3)
      • 逐步倒推法解约分还原： 例：把一个分数约分，用2约了两次，用5约了一次，约成最简分数5/6，求原分数(100/120)
  • 9.分数大小与通分
    • 两个异分母分数比较大小方法
      • 1-画图比较大小；2-化成同分母分数比较大小
      • 用相比较的几个分数分母的最小公倍数，做公分母可以使计算简便
    • 通分含义：把分母不相同的分数化成和原来分数相等且分母相同的分数，这个过程叫通分， 根据分数的基本性质可知，通分目的是统一分数单位，不改变分数的大小。
      • 用通分逆推面积大小(注：占哪个图形的面积越大，这个图形的面积反而越小) 例：一个正方形的面积占一个三角形面积的4/11，占梯形面积的1/8，占平行四边形面积的8/9，请比较这四个图形的大小？(正<平<三<梯)
    • 通分方法：用原来几个分数分母的公倍数作为公分母，通常选用最小公倍数作公分母(最小公分母)，再把每个分数都化成用这个最小公倍数作分母的分数
      • 当分子和分母比较大且分数值接近1时，可用'1'减的方法比较分数大小；例：比较大小
    • 通分和约分的异同点： 1-相同点：都是根据分数的基本性质，保持分数的大小不变； 2-不同点：约分是对一个分数进行的，通分至少对两个分数进行；约分是分子分母同除以一个不为0的数，通分是分子分母同乘一个不为0的数
• 第二单元：轴对称和平移
  • 1、轴对称再认识（一）
    • 定义：平面内，一个图形沿一条直线对折后，折痕两侧的部分能够完全重合的图形就叫轴对称图形；折痕所在的直线叫做对称轴。 特点：1、轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条 2、沿对称轴对折后，对称轴两侧图形可以完全重合 3、对称点到对称轴的距离相等 轴的画法：对称轴画为虚线，且两端超过图形。 鉴别：轴对称图形是指平面内，例如小鸟，人体等是具有对称性的物体，而不是对称图形
      • 课后提升
        • 利用列表法解决纸张多次对折问题：把一张长方形的纸沿着同一个方向连续对折n次，折出的小长方形的个数就是n个2相乘的乘积： 例：把一张长方形的纸沿着同一方向连续对折5次，在中间剪下一个正方形，那么展开后这张纸上有多少个正方形（32）
  • 2、轴对称再认识（二）
    • 轴对称图形的画法
      • 轴对称图形的画图步骤： 1.定-端点：确定已知图形每条线段的端点 2.量-距离：数出各端点到对称轴的方格距离 3.描-对称点：在对称轴 的另一侧描出各端点的对称点 4.连-对称点：按已知图形端点的顺序依次连接各端点的对称点，画出已知图形的轴对称图形。 巧记口诀：最关键，找端点，点轴距离数格算；细心找准对称点，有序连点图形现
      • 找关键点，一般找图形的顶点，相交点或线段的端点
      • 镜面对称原理的实质是镜中物体和实际物体的左右相反，上下不变、前后不变。
  • 3、平移
    • 平移方法： 1.找出原图关键点(或关键线段) 2.按要求格数平移关键点(或关键线段)，并描出对应点（或对应线段） 3.按原图形的形状连接对应点或线段
    • 平移特点： 物体平移后大小、方向、形状都不变，只是位置发生变化
    • 注意：图形平移几格并不是指两个图形之间相距几格，而是指原图形的关键点与平移后的图形的对应点之间的距离
  • 4、欣赏与设计
    • 应用平移或轴对称设计图案，要先选好基本图案，平移要确定好平移的格式和方向；轴对称要确定好对称轴，选好关键点或线段
    • 平移、轴对称是设计图案的常用方法，可单独也可同时使用，但并不是所有的图案都一定要运用这两种方法，非对称也是一种美
  • 子主题
• 第四单元：多边形的面积
  • 1.比较图形面积
    • 数方格法： 比较图形所占的方格数量，直观但有局限性
    • 重叠法： 借助平移或沿对称轴对折，观察两个图形重叠情况，重合面积相等，否则较大图形的面积大。
    • 分割移补法： 两个图形形状不同，不能完全重合时，可以把图形进行分割、移补，变成相似的图形再比较
    • 拼组法： 把两个图形拼组在一起，看是否与其他图形相同
    • 两个图形面积的大小与它们的形状没有关系。
    • 注意：图形使用割补法可以保证图形的面积不变，但是可能会改变图形的周长
  • 2.认识底和高
    • 知识回顾
      • 点到直线的距离：从直线外一点向这条直线引垂线，这点和垂足之间的距离称为点到直线的距离
      • 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂直线段最短
    • 认识底和高
      • 梯形的底和高： 梯形中相互平行的两条边为梯形的上底和下底，上底和下底之间的垂直线段就是梯形的高，梯形有无数条高。
      • 平行四边形的底和高： 从平行四边形一条边上的任意一点向它的对边画一条垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边就是这条高所对应的底。平行四边形有无数条高；在平行四边形中，底和高是相对应的。 有两组对应的底和高。平行四边形有无数条高。
      • 三角形的底和高： 三角形每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是对应的底和高。三角形都有三条高。
        • 注意：锐角三角形三条高都在三角形的内部、 直角三角形一条高在三角形的内部，另外两条高是三角形的两条直角边 钝角三角形一条高在三角形的内部，另外两条高在三角形的外部
    • 高的画法
      • 画高时用虚线，并标上垂直符号。
      • 三角形高的画法：以任意一边为底，从底边所对的顶点，向底边画垂线，顶点和底边之间的垂直线段就是三角形的高
      • 梯形的高的画法：梯形的上底（或下底）任意找一点，从这一点向下底（或上底）画垂直线，两底之间的垂直线段就是梯形的高
      • 平行四边形高的画法：以任意一边为底，从对边上的一点向底边画垂线，两边之间的垂直线段就是平行四边形的高
      • 画给定底和高的平面图形时，先画给定的底，再根据底确定给定的高，最后画其他的边。等底等高的同一种图形可以画出无数个
  • 3.平行四边形的面积
    • 平行四边形面积的计算公式
      • 平行四边形面积=底 x 高，字母表示：S=ah；a=S÷h; h=S÷a
        • 一个平行四边形，如果形状发生了变化，周长不变，但面积会变化，因为它的高发生了变化，形状越接近长方形，面积越大
        • 在同一个平行四边形中，不同的底和它对应的高的乘积相等，都等于平行四边形的面积
        • 高相等的两个平行四边形，底是几倍关系，面积就是几倍关系。
  • 4.三角形的面积
    • 三角形面积=底 x 高 ÷ 2，字母表示：S=ah÷2； a=Sx2÷h；h=Sx2÷a；（只有大小、形状完全相同的两个三角形才能拼成一个平行四边形，面积相同的三角形并不一定可以拼成）
      • 在画钝角三角形钝角边上的高时，因高在三角形外，需画延长线延长底边，但钝角三角形的面积与底边的延长线的长度无关。
      • 三角形的高和底增加或减少时的关系： 增加(减少)的底 x 高(不变)÷2=增加(减少)的面积；增加(减少)的高 x 底(不变)÷2=增加(减少)的面积
      • 用剔除法或分割法解决图形面积问题： 例：求图中阴影面积(54平方厘米) 1、剔除法：两个正方形剔除掉两个空白三角形的面积 2、分割法：把阴影部分分割成两个三角形并计算面积后相加 解：1、6*12/2+6*6/2=54（平方厘米） 2、12*12+6*6-12*12/2-（12+6）*6/2=54平方厘米
  • 5、梯形的面积
    • 梯形面积=(上底+下底) x 高 ÷ 2， 字母表示：S=(a+b) x h÷2；只有完全相同的两个梯形才能拼成平行四边形
      • 运用各图形具有相同的高或底求图形面积： 例：如图阴影部分的面积是24平方厘米，求梯形面积 （38平方厘米）
      • 用代换法求梯形面积（把阴影换成可求的其他图形）： 例：三角形ABC和EFD是完全相同的直角三角形，如图把他们叠放在一起，求阴影面积（7平方厘米）
• 第六单元：组合图形面积
  • 组合图形面积算法
    • 计算组合图形面积：运用分割、割补、添补等方法，把组合图形转化成简单的规则图形，然后分别计算规则图形面积，再通过加、减计算出原图形的面积；做分割、添补时要画虚线 1.分割法：将组合图形进行合理分割，分割成几个规则的图形 2.割补法：割下组合图形不规则的部分，补在适当的位置，形成规则的图形 3.添补法：将组合图形所缺失的部分进行添补，组成规则图形
      • 采用哪种方式分割图形，要考虑是否有足够已知条件求分割后图形的面积，并要考虑哪种计算更简便
      • 用割补法求不规则图形面积 例：如图四边形ABCD的面积是25平方厘米，如果AD=CD，DE=BE，AE=2.5厘米，那四边形BCDE的面积是多少(18.75)
      • 用等量代换法求阴影面积 例：如图四边形ABCD是边长10厘米的正方形，三角形ABF的面积比三角形CEF的面积大20平方厘米，求阴影部分面积（30）
  • 面积单位公顷
    • 公顷：是测量和计算土地面积的常用单位，边长100m的正方形面积是1公顷，即1公顷=10000平方米 公顷和平方米换算：可直接移动小数点，平方米换公顷小数点向左移动四位；公顷换平方米小数点向右移动四位
  • 面积单位平方千米
    • 平方千米：平方千米是比公顷还大的面积单位，边长是1000m的正方形面积是1平方千米，即1平方千米=1000000平方米=100公顷
      • 用分割法解土地面积 例：一块长1700m,宽1500m的长方形耕地，退耕还林后长减少了500m,宽减少了300m,现在的耕地面积比原来减少了多少公顷（111公顷）用两种算法
      • 用转化法解复杂面积： 例：下图正方形ABCD和正方形DEFG是人造林地，三角形CDH这块地已经种植了松树，已知三角形AFH这块地面积是7平方千米，求说种植松树的这块地的面积是什么？（7，设两个正方形边长为a,b，通过列公式可知梯形和大三角形面积相等）
  • 子主题
• 第七单元：可能性
  • 等可能性与游戏规则的公平性
    • 等可能性：像抛硬币那样，正面和反面朝上的可能性随机且相等，即事件发生的可能性相等，就是等可能性
    • 判断一个游戏规则是否公平，可以找出所有可能出现的情况，若每种情况出现的可能性相等，则公平，否则不公平
    • 判断是否等可能性，要客观仔细，把影响可能性大小的因素考虑全面： 例：抛一枚瓶盖，盖面朝上和朝下的可能性就不相等，因为瓶盖构造不均匀，重心偏向盖面，盖面朝下的可能性更大
    • 游戏规则公平，可能性相等，但由于随机现象的不确定性，并不表示实际的结果相等 例：口袋有黑白各10枚棋子(除了颜色不同，其他完全一样)，从中任意摸出一枚，摸完后放回，虽然摸出黑棋子和白棋子的可能性是相等的，但不一定刚好摸出5枚黑棋和5枚白棋
      • 用列表法判断游戏规则是否公平；例：一班和二班进行足球比赛，两班的队长用“剪刀、石头、布”决定哪个班先开球公平吗（列表各种可能性，判断获胜、平手、失败可能性双方是否相等）
  • 可能性的大小与物体数量的关系
    • 事件发生的可能性的大小能反映出物体数量的多少，可能性越大，对应的物体数量可能就越多，可能性越小，对应的物体数量可能性就越少。
      • 用枚举法和数的奇偶性判断游戏规则是否公平；例：淘气和笑笑一起玩卡片游戏，他们把标有数字1，2，3，4的四张卡片面朝下扣在桌面并打乱，每次任意摸出两张，两张卡片上的数字相加之和是奇数算淘气胜，如果是偶数算笑笑胜，游戏规则是否公平(各个数字分别两两相加，看结果出现偶数和奇数的可能性不同，则不公平)
      • 运用分数知识解不确定问题 例：小李和小张要参加围棋比赛，小李以往历次参加比赛的总成绩是12胜7负，小张历次参加的总成绩是18胜10负，这次比赛谁获胜的可能性更大？
      • 运用列举法和排列组合解可能性大小问题 例：一个口袋里装有3条除颜色外其他都相同的手帕（1蓝、2红），闭上眼睛，从口袋一次摸出2条手帕，摸出1蓝1红的可能性大，还是摸出2红的可能性大？(1蓝1红)
    • 随机现象虽然对于个别试验无法预知结果，但如果在相同条件下进行大量的重复试验时会呈现规律性，称为随机现象的统计规律 例：盒子里有红黄两种颜色的球，但不知道哪种颜色多，可以根据重复从箱子里摸出的红球或黄球的数量统计，猜测哪个多，但只有通过大量重复试验才能推测可能性，如果只是摸一两次就判断谁多是错误的。