导图社区 多元积分
考研高数-多元积分各种积分应对方法（张宇），内容有三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲线积分、第二型曲面积分。
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教育学考研：教育学原理第八章教学内容整理
多元积分
三重积分
意义
以f为密度的空间物体质量
f为1表示体积
性质
轮换对称性和普通对称性
计算方法
将dv拆成二重积分和一重积分
直角坐标系
先一后二，投影穿线
先二后一，定限截面
柱面坐标系
将直角坐标系两种方法中求二重积分的中间过程带入极坐标系求解
球面坐标系
1、拉着一扇门往后转 2、喇叭花开花 3、一条射线穿出去
换元法
应用
体积
质量
重心（形心）
转动惯量
引力
第一型曲线积分
f为密度的细杆质量
f为1表示曲线长度
将弧微分化为定积分：一投二代三计算
平面
参数方程
若空间曲线用方程组给出
极坐标
第一型曲面积分
f为密度的曲面片质量
将曲面微分dS化为二重积分：一投二代三计算
第二型曲线积分
沿曲线做功
不同于以上，不考察
二维
基本方法
注意起点与终点的对应
当y或x有一个为常数，可以直接代入计算
格林公式
第二型线积分转二重积分
使用条件
一阶连续偏导
L取正向
左手，逆时针
封闭曲线
考察方法
直接用
平面封闭曲线有奇点
平面无旋场
替换封闭路径，例如
基本上看到有分母，分母不能为0
替换路径时要搞掉奇点，一般设圆搞掉分母
替换路径与原先方向一致
非封闭曲线
替换非封闭路径
替换路径时要搞掉奇点且尽可能好做，一般设圆或者直线（折线法）
旋度不为0
补线法进一步使用格林公式 补的是直线因此补上的积分易求
路径无关等价问题
PQ已知
求第二型曲线积分
上述封闭曲线或非封闭曲线替换路径进行求解
凑微分法带入起点终点
求二元函数u【一般最后带常数C】
折线法
凑微分法
PQ未知
建立方程
两个曲线积分的关系
三维
当另外两个变量为常数可直接代入计算
斯托克斯公式 （第二型曲线积分转第二型曲面积分）
一阶偏导连续
右手定则确定曲面法向量方向
曲面可以随意选择，一般取平面即可
空间无旋场则换路径
第二型曲面积分
通过曲面的通量
不考
投影转为二重积分
预处理
投影为值线为0
有两点投影重合则将平面拆分
计算
确定在XOY投影区域Dxy
将z的方程带入f，消去字母z
确定符号
方向与z轴成锐角取正号
投影转化法
投影到XOY面非直线、没有投影重合的两点
如果有一面垂直于XOY则需要投到其他面或者进行切分
高斯公式 转化为三重积分
封闭曲面
外侧为正，内侧为负
考法
直接使用
封闭曲面有奇点
散度为0
换一个封闭曲面进行积分
非封闭曲面
换一个非封闭曲面进行积分
方向要一致
散度不为0
补上曲面使用高斯公式
建立（微分）方程
题给条件说明对于单连通区域G内任意封闭曲面的曲面积分为0
两个曲面积分的关系
