导图社区 多边形的面积（五上）
苏教版数学五年级（上）第二单元多边形的面积，核心考点：面积公式的综合应用、求组合图形的面积、用添补法解题、等积变形的应用。
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苏教版数学五年级（上）第二单元多边形的面积
平行四边形
运用转化的思想比较图形的面积
面积
物体表面或平面图形的大小叫作面积
转化思想
把不规则图形通过割补、平移等方法转化成长方形或正方形的过程体现了转化思想。
转化是一种重要的解决问题的策略。
基本方法：割补、平移、旋转是实现转化的基本方法。
转化之后的图形，更容易比较。
转化成长方形
长方形
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。而有一个角是直角的平行四边形叫作长方形。
方法
沿高把平行四边形分成几个部分，通过割补、平移或旋转都可以把平行四边形转化成长方形。
三个方法
剪直角平移、剪梯形平移和过左右两边中点剪下两个小直角三角形然后旋转180°。
面积公式推导
过程
先将平行四边形转换成正方形，然后按正方形的面积公式推出其面积公式。
公式
平行四边形面积=底×高，用字母表示为 S=a×h。（S要大写，a、h是小写字母）
提示
底、高、长、宽应用长度单位，面积应用面积单位。当长度单位不统一时，一定要先统一单位。
平行四边有两组对边，每组对边上都有无数条高，求平行四边形面积时，一定要注意底和高的对应即用底乘其对应的高。
应用
找平行四边形对应的底和高
平行四边形的边都可以作为底，但互相垂直的一组底和高才是一对。
综合应用面积公式解决问题
题型：一个平行四边形，如果高增加8厘米，底不变，那么面积增加320平方厘米；如果高不变。底增加6厘米，那么面积增加90平方厘米。原来平行四边形的面积是多少平方厘米？
图形的扩大或缩小，求原来的面或现在的面积，要用画图法找出相应的关系，再套用公式解决问题
原来平行四边形面积为：40×15=600（平方厘米）
底、高变化与面积的关系
面积的扩大的倍数是底和高扩大到的倍数的积。底扩大到3倍，高扩大到6倍，那么平行四边形的面积扩大了18倍。
长方形框架拉成平行四边形
周长不变，面积减少（高变小了）
三角形
基本概念
定义
由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连），叫作三角形。三角形内角180°。
底和高
从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条边叫作三角形的底。有3条底和对应的3条高。
高的位置
锐角三角形的三条高都在三角形内。
直角三角形有一条高在三角形内，还有两条高就是它的直角边。
钝角三角形有一条高在三角形内，还有两条高子在三角形外。
分类
按角分
锐角、直角、钝角三角形
按边分
普通、等腰、等边三角形
通过和与它等底等高的平行四边形面积关系的分析研究来推演除三角形面积的公式。
任何一个平行四边形沿对角线剪开，都可以分成两个完全一样的三角形，其中每个三角形的面积都是所在平行四边形面积的一半。
用割补法推导三角形的面积。三角形的面积=长方形的面积；长方形的高=三角形的高；长方形的底=三角形底的一半。所以：长方形边面积=三角形的高×（三角形的底÷2），三角形面积=底×高÷2 。
三角形面积=底×高÷2 用字母表示：S=a×h÷2
直接应用
略
公式的逆用
确定钝角三角形的高求出面积
与平行四边形关系应用
等底等高的三角形和平行四边形，三角形的面积是平行四边形面积的一半。
等底等面积的三角形和平行四边形，三角形的高是平行四边形高的2倍。
等高等面积的三角形和平行四边形，三角形的底是平行四边形底的2倍。
综合应用
通过其他已知条件找出隐含条件，然后解决问题。
梯形
只有一组对边平行的四边形叫梯形。
上底下底
互相平行的一组对边中，较短的边叫作梯形的上底，较长的边叫作梯形的下底。
腰
梯形中不平行的那组对边叫作梯形的腰。
高
从梯形一条底边上的一点向另一条底边作垂线，这一点到垂足间的线段叫作梯形的高。
底角
梯形的底与两腰的夹角叫梯形的底角。
一般梯形
等腰梯形
两腰相等的梯形
直角梯形
有一个角是直角的梯形
探究
把两个完全相同的梯形拼在一起来研究
把梯形转化成两个三角形来研究1
把梯形转化成一个三角形来研究2
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2， 用字母表示为S=(a+b)×h÷2
公式应用
套用公式时，要统一单位，再用公式计算。
应用典型
已知梯形的上底（a),下底（b），高（h）和面积（s）四个量中的任意三个量，都可以求出第四个量：h=SX2÷（a+b）；a=S×2÷h-b ； b=S×2÷h-a.
求靠围墙围成的直角梯形的面积
找准高，即与上底下底垂直的那条边。当求不除上底和下底具体的量，可求两者的和来解决问题。
求逐层加的堆放残料的数量
常用计算方法：总格数=（顶层的个数+底层的个数）×层数÷2，层数=底层的个数-顶层的个数+1
应用与三角形的关系
在梯形和三角形等高的情况下，梯形上底和下底之和是三角形底的几倍，梯形的面积就是三角形面积的几倍。
公顷和平方千米
平方米
1平方米=100平方分米；1平方分米=100平方厘米；1平方米=10000平方厘米
公顷
一般相邻面积单位之间的进率是100，但平方米与公顷是10000
概念
测量或计量土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。
换算
1公顷=10000平方米
表达方式
公顷可以写成hm²，hm表示百米，hm²的含义就是百米的平方，也就是10000平方米。
平方千米
测量或计算大面积土地，通常用平方千米作单位。平方千米可以写成km²
边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米
1平方千米=1000000平方米
1平方千米=100公顷
典型应用
单名数、复名数的比较
比如 9公顷50平方米和95平方千米比较，首先要面积单位进行换算统一。9公顷50平方米=90050平方米，95平方千米=95×1000000（进率）=95000000平方米。
运用多边形面积公式
首先搞清是什么图形，再正确运用公式，并注意单位的统一。
图形面积的增加问题
画图示意增加部分，观察变化情况，确定解题思路。
单位统一、周长与边长的区别
简单组合图形和不规则图形
组合图形面积的计算
在同一个平面内，由两个或两个以上的简单图形组合成的图形交作组合图形
分割法
可以将组合图形分割成若干个学过的简单图形，然后求各个简单图形的面积之和。
添补法
可以将组合图形添补成一个学过的简单图形，然后计算这个简单图形的面积减去添补的图形的面积。
列式
可以单独逐一计算出每个简单图形的面积，然后求和或差，也可列综合算式计算。
不规则图形面积的估算
思路
求不规则图形的面积，可以用数小方格的方法进行估算。
数方格法：估算时，先数整格的，再数不满整格的，不满整格的按半格计算，最后把两个结果相加。
剔除法：也可以只数整格和超过半格的，把超过半格的也当作整格数，不足半格的不计。
求图中阴影面积
关键是如何通过分割、添补、旋转等方法将图形简单化。要善于在多种方案中选择简单方便的方案。
组合图形的面积
先转化成简单图形面积的差或和，再综合应用学过的面积公式求解。
不规则图形面积
转化成规则图形，再计算
核心考点
面积公式的综合应用
能够发现图形之间的联系，找出或算出隐含的条件，从而找到解题途径。
求组合图形的面积
仔细观察，用多种角度去思考，寻找简便的方法解决问题
用添补法解题
在原图上添补一部分，构成新的图形，进而找出原来图形与新图形的内在联系，从而使问题得以解决。
等积变形的应用
在求不规则图形的面积时，可以通过等积变形，寻找它与规则图形之间的关系，从而解决问题。
方法规则
演绎推理
从一般的前提出发，通过推导，即“演绎”，得出个别或特殊的结论。探索平行四边形面积公式的基础是长方形的面积公式，这个过程涉及演绎推理。
画图法
根据组合图形的特征和已知条件把它分割成几个学过的简单图形，再计算这几个简单图形面积之和。
将组合图形添补成一个学过的简单图形，再用这个简单图形的面积减去添补的图形的面积。
苏教版数学五年级上册知识与方法思维导图（2）
