高等数学-数列极限

高等数学-数列极限知识点，以a为中心，ε为半径的开区间(a-ε,a+ε),不管这个区间的半径多小，总能找到一个N，在N项之后的所有点(无穷多项)都落在这个区间内，只有有限项(最多前N项)落在这个区间之外。

数列极限

• 概念
  • 内容
    • 称xn收敛于a,记作(xn→a)(n→∞)
  • 注意点
    • ε的作用
      • 刻画数列的项与a的接近程度
      • ε的任意性是为了保证数列的项与a可以无限接近
    • N的作用
      • 为了刻画n可以充分大
    • 几何意义
      • 以a为中心，ε为半径的开区间(a-ε,a+ε),不管这个区间的半径多小，总能找到一个N，在N项之后的所有点(无穷多项)都落在这个区间内，只有有限项(最多前N项)落在这个区间之外
    • 数列的极限与前有限项无关
• 性质
  • 唯一性
  • 有界性
    • 内容
      • 收敛➡️有界
    • 注意点
      • 收敛️️️️有极限→存在N,其后的无限项落在一个区间内→这无限项有界，前面的有限项也有界→收敛数列一定有界
      • 有界不一定收敛，如
      • 无界→发散
  • 保号性
    • 内容
    • 注意点
      • 对于第一条,改成a>=0推出 xn>=0是错误的，反例为
      • 对于第二条,改成xn>0推出 a>0是错误的，反例为
  • 和子列的关系
    • 内容
    • 注意点
      • xn有两个子列收敛于不同极限,则xn是发散的
• 存在准则
  • 夹逼准则
  • 单调有界准测
    • 单调有界数列必有极限
      • 单调增、有上界的数列必有极限(单增必下有界)
      • 单调减、有下界的数列必有极限(单减必上有界)
• 运算法则