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人教版九年级数学全册知识点思维导图总结
人教版九年级数学全册，涵盖全部知识点 经典例题解析 考点注意事项，如一元一次方程指含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
编辑于2023-06-29 14:29:34 山东省
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人教版九年级数学全册 全部知识点+经典例题+注意事项
上册第二十一章一元一次方程
21.1 一元二次方程
方程的概念
含有未知数的等式叫做方程
方程的种类
一元一次方程
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程
区别一元一次函数
二元一次方程
含有2个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做二元一次方程
分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程
例题
能够判断一元二次方程
一元二次方程的判断方法
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断
根据概念求字母的值
注意
用方程或其根的定义求待定系数时忽略a≠0
一元二次方程的一般形式
例题
能够识别二次项、一次项、常数，系数等概念
一元二次方程的根
概念
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）
例题
根据根的概念求代数式的值
整体带入思想
根据根的概念求字母的值
使用观察法求方程的根
常见的特殊根0、±1、±2
21.2 解一元二次方程
21.2.1配方法
21.2.1.1直接开平方法
概念
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法
方法
把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0)的形式
根的情况
例题
21.2.1.2配方法
概念
通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法
方法
在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能从x2+2bx+b2的形式化为（x+b)2=p的形式，然后将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解
注意
在二次项系数为1的前提下进行的
根的情况
例题
利用配方法解方程
完全平方式中的配方
求最值或证明代数式的值为恒正（或负）
利用配方构成非负数和的形式
21.2.2 公式法
求根公式的推导
配方法
概念
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根
求解过程
化
化简为一般形式
定
定系数
求
求
判
利用b2-4ac的正负判断根的个数
代
代入公式
一元二次方程根的判别式
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“  ”表示，即 = b2-4ac.
利用判别式判断根的情况
例题
21.2.3 因式分解法
概念
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法
基本步骤
一移
方程的右边=0
二分
方程的左边因式分解，一般利用十字相乘法
三化
方程化为两个一元一次方程
四解
写出方程两个解
例题
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理
证明使用求根公式
前提条件
b2-4ac≥0，也就是说方程有根是前提
例题
熟记几个关于两根和两根差的变换公式
例题
根据两根关系求字母的值
已知一根，求系数，求另一根
求两根的和差化积
合理使用解方程方法
21.3 实际问题与一元二次方程
21.3.1传播问题与一元二次方程
传染病、病毒、电脑病毒
注意事项：不要忽视传染源的二次传染，因此第一轮传染有x+1个人
例题
主干长支干、细胞分裂
细胞分裂要注意题意是分裂出，还是分裂成
例题
比赛问题、握手问题
注意要除以2
例题
互送礼物、照片问题
21.3.2平均变化率问题与一元二次方程
增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
增长率与销量问题
例题
21.3.3几何图形与一元二次方程
封面问题
例题
三角形边的移动问题
例题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移聚零为整方便列方程
例题
上册第二十二章二次函数
22.1二次函数
22.1.1二次函数
函数
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数
概念
形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项
判断一个函数是不是二次函数
先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等
例题
二次函数定义的应用
例题
求系数或系数的取值范围
一些应用题
二次函数的值
例题
求系数与二次函数的值
二次函数的应用题
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
二次函数y=ax2的图象
图像
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线
作图
列表
描点
连线
图象性质
1. 顶点都在原点
2. 图像关于y轴对称
3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下
例题
根据函数图像求字母的值
根据图像判断点的位置
二次函数y=ax2 的性质
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小，也就是图像越陡
关于y轴对称
例题
根据性质求字母的值
根据性质求取值范围
根据对称性求阴影面积
与一次函数的联合问题
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
22.1.3.1二次函数y=ax2+k的图象和性质
二次函数y=ax2+k的图象
二次函数y=ax2+k的性质
二次函数y=ax2+k的图象及平移
上下平移规律
平方项不变，常数项上加下减.
例题
根据性质回答基本问题
根据对称性求点坐标
注意
考虑问题要全面
一次函数与二次函数的图像判断问题
22.1.3.2二次函数y=a（x-h)2的图象和性质
二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的图像
二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
左右平移规律
括号内左加右减；括号外不变
例题
根据对称轴的位置判断点坐标值的大小
根据平移的性质求新函数
22.1.3.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
二次函数y=a（x-h）2+k的图象
二次函数y=a（x-h）2+k的性质
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
两次平移
左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减
例题
一次函数与二次函数的图像判断问题
根据函数性质求字母关系
根据实际问题求解析式
22.2二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=定值时为一元二次方程，
利用二次函数深入讨论一元二次方程
利用二次函数求一元二次方程的近似解
一元二次方程的图象解法
步骤
1.如果二次函数有解，那么一元二次方程的根必为函数值产生正负变化的点的位置2.根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根 3.估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确
例题
二次函数与一元二次不等式的关系
利用函数图像也即与X轴的交点个数求不等式的解集
例题
根据交点情况求字母的取值范围
根据图像求取值范围
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
22.1.4.1二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图象
化为y=a(x-h)2+k
步骤
“提”：提出二次项系数；
“配”：括号内配成完全平方
“化”：化成顶点式

二次函数y=ax2+bx+c的性质
顶点坐标
对称轴
二次函数字母系数与图象的关系
例题
利用函数性质求字母的取值范围
二次函数字母系数与图象的关系
由函数图像判断abc系数的正负及其关系，一般要用到对称轴，特殊点坐标，如±1、0以及顶点坐标
22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式
一般式法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法
例题
顶点法
设顶点式的形式y=a(x-h)2+k
例题
交点法
设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)
例题
特殊条件的二次函数的表达式
非一般形式
y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等
22.3 实际问题与二次函数
22.3.1几何图形的最大面积
求二次函数的最大（或最小）值
例题
注意
二次函数的最值除了a的正负，还要考虑函数的自变量的取值范围
二次函数与几何图形面积的最值
例题
注意
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围
22.3.2商品利润最大问题
例题
如何定价利润最大
注意
涨价:要保证销售量≥0；降件：要保证单件利润≥0.
22.3.3拱桥问题和运动中的抛物线
拱桥水位问题
例题
子主题
喷泉问题
例题
利用二次函数解决实物抛物线形问题
例题
注意
建立恰当的直角坐标系
22.4二次函数中的存在性问题
二次函数中特殊三角形的存在性问题
例题
二次函数中特殊四边形的存在性问题
例题
与面积相关的存在性或最值问题
例题
上册第二十三章旋转
23.1 图形的旋转
23.1.1旋转的概念与性质
旋转的概念
定义
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转
三要素
旋转中心
被绕着旋转的这个定点
旋转角
对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角
旋转方向
分为顺时针与逆时针
例题
判断旋转三要素
判断旋转角
确定旋转中心，找到对应边
注意
①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换
旋转的性质
1.对应点到旋转中心的距离相等;
2.两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等
3.旋转中心是唯一不动的点
4.旋转不改变图形的形状和大小
正n边形的旋转对称性
其旋转对称角为360/n
例题
根据旋转的性质求角度
根据性质证全等
利用旋转图形求旋转中心
旋转中心位于旋转对应点的垂直平分线上
借助旋转性质4求面积
旋转中心P的位置的求法
找到两条对应点连线段的垂直平分线的交点
23.1.2旋转作图
简单的旋转作图
步骤
（1）明确旋转三要素：
（2）找出关键点;
（3）作出关键点的对应点;
（4）作出新图形;
（5）写出结论.
例题
旋转设计作图
例
平移与旋转
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
中心对称的概念及性质
概念
如果把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180º，它能够与另一个图形(如△CDO)重合，那么就说这两个图形△ABO与图形△CDO关于点O的对称或中心对称，点O就是对称中心
性质
1.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.（即对称点与对称中心三点共线）
2.中心对称的两个图形是全等形
作图
应用1：作中心对称图形；
应用2：找出对称中心.
例题
判断图像是否是中心对称
找对应点，看对应点连线是否能交于一点（对称中心）
根据中心对称的性质求高
根据中心对称的性质进行简便计算
23.2.2中心对称图形
定义
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心
例题
判断图形是否为中心对称图形
探究中心对称图形的性质
中心对称图形上的每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分
过对称中心的直线可以把中心对称图形分成面积相等的两部分
例题
根据性质求阴影部分面积
注意
中心对称图形是指一个图形
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标关系特点
横坐标、纵坐标的符号都互为相反数
关于x/y轴对称的点的坐标关系特点
关于谁，谁不变，关于原点都改变
例题
能够快速说出点的对称点
利用关于原点对称的点的坐标关系作图
先求出对称点的坐标再描点画图
步骤
(1) 写出图形顶点坐标； (2) 写出图形顶点关于原点的对称点的坐标； (3) 描点； (4) 顺次连接； (5) 下结论.
例题
23.3 课堂学习 图案设计
分析图案设计
分清基本图形
知道形成过程
设计方法
利用图形变换
轴对称
平 移
旋 转
动手设计
上册第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
圆的旋转定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
圆心
固定的端点O叫做圆心
半径
线段OA叫做半径，一般用r表示
圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合
确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置； 二是半径，半径确定其大小
同心圆
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
圆的基本性质
同圆半径相等
例题
圆的有关概念
弦
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦
直径
经过圆心的弦，直径是最长的弦
证明
弧
半圆
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
劣弧
小于半圆的弧叫做劣弧
优弧
大于半圆的弧叫做优弧
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
例题
24.1.2 垂直于弦的直径
圆的对称轴
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴
垂径定理及其推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧——垂直必平分
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧——平分必垂直
例题
垂径定理及其推论的计算
垂径定理的证明应用
垂径定理的实际应用
例题
通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解
垂径图形的几个图形
24.1.3 弧、弦、圆心角
圆心角的定义
顶点在圆心的角,叫圆心角
圆心角、弧、弦之间的关系定理
在同圆和等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆和等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等
在同圆和等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等
例题
根据关系定理及推论判断
等弧的概念中就包括同圆和等圆中
与关系定理及推论有关的计算与证明
注意
弦长等于半径的弦所对的圆心角等于60°
24.1.4 圆周角
定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半
会证明
圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等
圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
例题
根据直径对的圆周角为90°构建直角三角形解题
圆内接四边形
概念
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆
性质
圆的内接四边形的对角互补
例题
推论
圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角
24.2点和圆、直线和圆 的位置关系
24.2.1点和圆的位置关系
点和圆的位置关系
点在圆内，点在圆上，点在圆外
数形结合
例题
会判断点与圆的位置关系
使用点与圆的位置关系做等腰三角形
特别注意p4
过不共线三点作圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆
例题
会通过不共线的三点作圆
过三点作圆的实际应用——拿玻璃问题
距离相等问题
思考
此处的距离相等与两点之间直线最短作图的联系？
三角形的外接圆及外心
定义
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心
作图
三角形三边中垂线的交点
性质
到三角形三个顶点的距离相等
例题
会画不同三角形的外接圆，并判断外心的位置
与圆周角、圆心角结合的计算问题
反证法
概念
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法
步骤
假设命题的结论不成立 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
例题
24.2.2 直线和圆的位置关系
24.2.2.1 直线和圆的位置关系
相交、相切和相离
切线与切点
概念
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点
判断方法
公共交点的个数
数量关系
例题
判断直线与圆的关系
根据数量关系判断位置关系
与垂径定理相结合问题的计算
24.2.2 .2 切线的判定与性质
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法
1.定义法
直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线
2.数量关系法
圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切
3.判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
见切点，连半径，得垂直.
例题
切线的证明
有交点，连半径,证垂直
无交点，作垂直,证半径
借助角平分线定理
角平分线上的任意一点到两条边的距离相等
证明为证全等
利用弦切角证切线
根据切线性质构造直角三角形进行判断
24.2.2.3 切线长定理
切线长的定义
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长
切线长定理
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角
证明为证全等
例题
利用切线长定理寻找相等关系
利用切线长定理构建直角三角形解长度
三角形的内切圆及作法
几个概念
内切圆
与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆
内心
三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心
外切三角形
这个三角形叫做这个圆的外切三角形
做法
三角形内心的性质
三角形的内心在三角形的角平分线上
例题
三角形的内心到三角形的三边距离相等
直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为（以含a、b、c的代数式表示r）
例题
24.3 正多边形和圆
正多边形的对称性
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形
正多边形的性质
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆
正多边形的半径
外接圆的半径叫作正多边形的半径
边心距
内切圆的半径叫作正多边形的边心距
中心角
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360/n
正多边形的有关计算
圆内接正n边形面积公式
利用中心角求角度
利用中心角的探究角度问题
总结
24.4 弧长和扇形面积
24.4.1弧长和扇形面积
与弧长相关的计算
弧长公式
例题
运用弧长公式求弧的长度
利用弧长逆求圆心角
与扇形面积相关的计算
扇形
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形
扇形面积公式


弓形的面积公式
例题
例题
利用面积公式求扇形面积
利用面积公式求不规则扇形面积
24.4.2圆锥的侧面积和全面积
圆锥及相关概念
圆锥的母线
我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线
圆锥的高
从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高
母线、高与底面半径的关系
圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是扇形
圆锥的侧面积计算公式

圆锥的全面积计算公式

例题
母线、高与底面半径的关系计算
根据公式求展开图的面积
根据展开面积反求母线等
综合例题
圆中利用转化思想求角度
利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
例题
构造圆内接四边形转化角
例题
利用直径构造直角三角形转化角
例题
利用特殊数量关系构造特殊角转化角
例题
切线证明的常用方法
有切点，连半径，证垂直
例题
无切点，作垂直，证半径
例题
上册第二十五章概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
必然事件
一定条件下，事先知道其一定会发生的事件
不可能事件
一定不会发生的事件
随机事件
无法确定在一次试验中会不会发生的事件
随机事件的可能性的大小
随机事件的特点
1.随机事件发生的可能性是有大小的； 2.不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
例题
例题
会判断必然事件，不可能事件和随机事件
25.1.2 概 率
定义
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）
简单概率的计算
等可能事件
(1)每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； (2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等 在这些试验中出现的事件为等可能事件
一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为
例题
25.2 用列举法求概率
25.2.1运用直接列举或列表法求概率
用直接列举法求概率
定义
把事件可能出现的结果一一列出
适用
用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件
例题
用列表法求概率题
定义
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法
怎样列表格？
列表法中表格构造特点
一个因素所包含的可能情况
另一个因素所包含的可能情况
表格的数目确定
如果第一个因素包含2种情况；第二个因素包含3种情况；那么所有情况n=2×3=6.
适用对象
两个试验因素或分两步进行的试验
例题
涉及到小球问题要区分放回与不放回
25.2.2画树状图法求概率
概念
按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果
画树状图求概率的基本步骤
（1）明确一次试验的几个步骤及顺序； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果； （3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n； （4）用概率公式进行计算.
适用
当事件要经过多个(三个或三个以上)步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率
例题
注意
1）弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步； 2）在摸球试验一定要弄清“放回”还是“不放回”
25.3 用频率估计概率
用频率估计概率
通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率
大数定律
概念
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律
事件发生的概率
一般地，在大量重复试验中，随机事件A发生的频率 (这里n是实验总次数，它必须相当大，m是在n次试验中随机事件A发生的次数）会稳定到某个常数P.于是，我们用P这个常数表示事件A发生的概率，即 P（A）=P.
例题
根据频数求概率
根据概率推测整体
综合题
注意题目中的（以去掉损坏的柑橘），也就是说坏的不能卖
下册第二十六章反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
反比例函数的概念
概念
一般地，形如（k为常数，k≠0)的函数，叫做y是x的反比例函数.其中x是自变量，y是函数.
例题
判断反比例函数
根据概念求字母的值
反比例函数的三种表达方式


自变量x的取值范围以及其实际意义
对于反比例函数本身，自变量x 的取值范围为全体非零实数，但在实际应用中要考虑其实际意义
确定反比例函数的解析式
步骤
设
先设其解析式为y=  （k≠0）
代
已知x（或y）的值，将其代入解析式中即可求得相应的y（或x）的值
求
求出K值，写出函数表达式
例题
求反比例函数的解析式
建立简单的反比例函数模型
例题
注意区别成反比例与反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
26.1.2.1反比例函数的图象和性质
画反比例函数
步骤
列表
描点
连线

图像
由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与x轴、y轴都不相交
性质
在每个象限内，y随x的增大而减小

图像
由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交
性质
在每个象限内，y随x的增大而增大
例题
根据K值判断图像象限
根据反比例函数的性质求字母的值
其他性质
反比例函数y=1/x的图象关于直线y=±x对称
随着|k|的增大, 反比例函数y=kx-1图象的位置相对于坐标原点是越来越远
综合例题
根据函数图像和性质比大小
在一定区域的x取值范围求y的取值范围
注意x是否跨0点
26.1.2.2反比例函数的图象和性质的综合运用
用待定系数法求反比例函数的解析式
例题
反比例函数解析式中k的几何意义
反比例函数的面积不变性
若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
例题
例题
根据反比例函数求图形面积

注意平移补面积的使用
根据图形面积求反比例函数解析式
注意
图像所在的象限，也就是K的正负
动点、规律型问题
反比例函数与一次函数的综合
例题
求交点
根据系数判断函数的图像
自变量的取值和解集问题
看图像画阴影，判断解集
实际问题应用
反比例函数和二次函数的综合问题
根据已知条件互相求系数
由交点求解析式
26.2 实际问题与反比例函数
26.2.1实际问题中的反比例函数
应用
（1）列实际问题的反比例函数解析式时，一定要理清各变量之间的关系，还要根据实际情况确定自变量的取值范围 （2）实际问题中的两个变量往往都只能取非负值 （3）作实际问题中的函数图像时，应该注意横、纵坐标的单位，其单位长度不一定相同
例题
动点问题
注意要用到平行线等分线段或相似三角形的知识
使用反比例函数解决实际问题
26.2.2其他学科中的反比例函数
反比例函数在力学中的应用
例题
力臂
这里我们默认动力与阻力与力臂垂直，是一个简单的数学模型
压力与压强
F=PS
反比例函数与电学的结合
例题
电压、电流和电阻
子主题
下册第二十七章相似
27.1 图形的相似
相似图形的概念
形状相同的图形叫做相似图形
相似图形的关系
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到
相似多边形与相似比
概念
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形
特征
相似多边形的对应角相等，对应边成比例
相似比
相似多边形的对应边的比叫作相似比
任意两个边数相等的正多边形都相似
例题
判断相似形
会计算相似比或根据相似比求对应边的长
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
27.2.1.1平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例
平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例
相似三角形的引理
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
例题
根据性质定理求线段长
根据引理求对应关系
27.2.1.2三边成比例的两个三角形相似
证明使用平行线分线段成比例定理的推论和全等
例题
根据相似求角度
证明三角形相似
注意对应关系
最长边与最长边对应，最短边与最短边对应
27.2.1.3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
证明
证明使用平行线分线段成比例定理的推论和全等
例题
证明三角形相似
注意直角三角形中做高线之后有三组相似三角形
根据相似求边长
27.2.1.4两角分别相等的两个三角形相似
两角分别相等的两个三角形相似
证明
证明使用平行线分线段成比例定理的推论和全等
例题
证明三角形相似
根据相似求边长
判定两个直角三角形相似
有一个锐角相等的两个直角三角形相似
证明
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似
证明
例题
证明线段成比例
证明线段成比例就是证线段所在三角形相似，有时根据相等关系转换相应边
见比例式等积式的证明
27.2.2 相似三角形的性质
1. 对应角相等、对应边成比例 2. 对应高、中线、角平分线的比等于相似比 3.周长比等于相似比 4. 面积比等于相似比的平方
相似三角形对应线段的比
相似三角形对应线段的比等于相似比，这些对应线段包括高、中线、角平分线等
例题
根据相似比求线段长
相似三角形面积的比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
例题
根据相似比求面积
利用相似的性质解决实际问题
例题
27.2.3 相似三角形应用举例
利用相似三角形测量高度
例题
在同一时刻物高与影长成正比例
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
利用镜子的反射或反射原理测量高度
利用相似三角形测量宽度
例题
利用相似解决有遮挡物问题
例题
相似三角形与其他知识的综合
相似与四边形
相似与圆
一定要与圆的知识点联系起来，如圆周角等
相似与函数
注意
1.在做相似三角形与四边形和圆的相关题目的时候要注意相似的基本图形：“X”型图和”A”型图. 2.在做相似三角形与函数相关的题目的时候，要注意相似三角形的多解性。
相似中的动点及探究型问题
相似中的动点问题
例题
相似中的探究型问题
解题思路
角平分线的常用辅助线是过一点作平行
当给各边的数值的时候，要用成比例推平行，再构造相似
比例式、等积式的常见证明方法
找线段对应的三角形，利用相似证明
例题
简单
利用等线段代换
例题
中等
找中间比利用等积式代换
例题
难
27.3 位 似
27.3.1位似图形的概念及画法
位似图形的概念
两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心
位似图形的性质
位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
对应线段平行或者在一条直线上
例题
位似性质的应用
能将一个图形放大或缩小
根据相似比画位似图形
步骤
确定位似中心
分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点
根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点
顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形
例题
27.3.2平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k
当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1时，图形缩小为原来的k倍
例题
利用位似求坐标点
非原点为位似中心，则主要利用相似比的概念（非单纯的坐标比）
画平面直角坐标系中的位似图形
注意：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个
平面直角坐标系中的图形变换
例题
利用位似变换求坐标点
首先判断位似中心，根据位似图形及关于原点对称的点的坐标变换形式进行分析
根据位似变换后的图形反求位似中心
考虑位似图形在同侧与不同侧
下册第二十八章锐角三角形
28.1 锐角三角函数
28.1.1正弦函数
概念
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦（sine），记作sinA
例题
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
28.1.2余弦函数和正切函数
余弦函数
概念
在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cos α，即
cosα=sin (90°-α) sinα=cos (90°-α)
正切函数
概念
在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα
例题
求锐角三角函数
求三角函数的值
与其他图形的结合求解
与圆结合
一般使用角度转换的思想（利用圆周角）
与矩形结合
与网格结合
构造直角三角形或进行等角的转换
28.1.3特殊角的三角函数值
特殊角30°、45°、60°角的三角函数值
例题
特殊角三角函数的混合运算
通过三角函数值求角度
通过三角函数值求长度
28.1.4用计算器求锐角三角函数值及锐角
用计算器求锐角的三角函数值
例
用计算器求锐角的度数
例
利用计算器探索三角函数的性质
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
 
锐角三角函数与圆
例题
线段乘积证明——相似三角形
直接法
直接找到相似三角形
难易程度：简单
转换法
利用相等边，找到相似三角形
难易程度：中等
已知一边和三角函数值，求线段长或者三角函数值
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1解直角三角形
概念
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形
已知两边解直角三角形
例题
注意
当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论
已知一边及一锐角解直角三角形
例题
已知一锐角三角函数值与一边解直角三角形
例题
解直角三角形的思想
数形结合，注意三角函数值与勾股定理的搭配使用
28.2.2解直角三角形的简单应用
28.2.2.1利用解直角三角形解决简单实际问题
步骤
1.将实际问题抽象为数学问题； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案.
例题
28.2.2.2利用仰俯角解直角三角形
概念
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角
题型
注意当有人存在的情况下要考虑人的身高
28.2.2.3利用方位角、坡度解直角三角形
解与方位角有关的问题
概念
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角,叫做方位角
灯塔与轮船、轮船与小岛
例题
解与坡度有关的问题
几个概念
坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α
坡度
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=h/l
坡度与坡角的关系
例题
解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型
叠合式
背靠式
下册第二十九章视图与投影
29.1 投 影
29.1.1平行投影与中心投影
投影的概念
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影；照射光线叫做投影线；投影所在的平面叫做投影面
平行投影与中心投影
平行投影
概念
平行光线形成的投影叫做平行投影
太阳光
思考：太阳管为什么是平行光？
中心投影
概念
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影
路灯
题型
判断平行投影与中心投影形成的影子的形态
根据投影确定光源位置（一般为点光源）
29.1.2正投影
正投影的概念及性质
概念
投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影
性质
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同
例题
画几何体的正投影
例题
会画几何体的正投影
会判断几何体的正投影
29.2 三视图
29.2.1三视图
概念
当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图．视图也可以看作物体在某一个方向的光线下的正投影，对于同一物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可能不同
三视图的概念及关系
概念
将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图
三视图的画法
1.确定主视图的位置，画出主视图
2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”
3. 在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”
例题
由简单几何体会画三视图
能够识别复杂几何体的三视图
29.2.2由三视图确定几何体
方法
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形
例题
29.2.3由三视图确定几何体的面积或体积
表面积
几何体的总的表面积
三视图中的某一个面
体积
例题
方法
由三视图想象立体图，由立体图画出展开图
29.3 制作立体模型