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人教版八年级数学全册全部知识点例题解析注意事项
人教版八年级数学全册，涵盖全部知识点 经典例题解析 考点注意事项，内容过于庞大无法全部展开显示，可自行展开
编辑于2023-06-29 14:37:05 山东省
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人教版八年级数学全册 全部知识点+经典例题+注意事项
上册第十一章三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，所组成的图形
例题
判断三角形
三角形的基本元素
边、角、顶点、对边和对角
三角形的表示方法
顶点为A 、B 、C的三角形,记作△ABC读作:三角形ABC
例题
判断三角形的个数并用符号表示
三角形按边的关系分类
不等边三角形
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形
等腰三角形
一般的等腰三角形
等边三角形
各个内角都等于60°
等边三角形是特殊的等腰三角形
例题
计算周长尤其要注意腰与底，要分类讨论 同时也不要忽略三角形存在的条件
三角形按角的关系分类
锐角三角形
三个角都为锐角的三角形
直角三角形
有一个角为直角的三角形
钝角三角形
有一个角为钝角的三角形
三角形三边的关系
较小两条线段之和大于第三条，两边之差小于第三边
例题
第三边的范围
判断是否能够成三角形
由周长判断边的取值范围
思考：如果底边的取值范围？
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
高
概念
通过三角形的顶点，向其对边做垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高
锐角、直角、钝角三角形的高的交点及其特性
锐角
三条高都在三角形的内部
三条高交于三角形内部同一点
直角
一条在内部，两条为直角边
直角三角形的三条高交于直角顶点
钝角
一条在内部，两条在外部
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
例题
会画三角形的高，特别是钝角三角形
通过高线特性判断三角形的类别（角）
中线
概念
在一个三角形中，连接顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线
三角形的中线将原三角形分成的两个三角形的面积相等
例题
例题
利用中点求周长
角平分线
概念
在一个三角形中，内角的角平分线与对边的交点与内角顶点之间的线段，叫做角平分线
无论什么角的三角形，其三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部
11.1.3 三角形的稳定性
概念
只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性
三角形与四边形稳定性的判断
例题
四边形不稳定性的应用
例
图形探索
11.2与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
任意一个三角形的内角和等于180°
度量法
拼合法
推理证明法
利用平行线的性质
例题
计算角的度数
注意在没有图的情况下，考虑问题要全面
三角形内角和的实际应用
11.2.2 三角形的外角
概念
三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
例题
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
例题
三角形的外角和是360°
综合例题
利用内外角与三角形的线（角平分线）求或证明角度
利用内外角性质求多个分散角的和
11.3多边形及其内角和
11.3.1 多边形
概念
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做 n 边形
多边形的内角
概念
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
多边形的外角
概念
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
多边形的对角线
计算公式n（n-3）/2
多边形的分类
凸多边形
没有特别说明,我们研究的多边形都是指凸多边形
凹多边形
正多边形
在平面内，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形
11.3.2 多边形的内角和
n（n≥3）边形每增加一条边,内角和的度数就增加180°
n边形分成n-2个三角形
n边形的内角和为（n-2）*180
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补
例题
例题
求多边形的内角和
利用内角和求边数
方程思想求内外角
内角和的实际应用
上册第十四章因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1同底数幂的乘法
乘方
求几个相同因数的积的运算叫做乘方
同底数幂
我们把底数相同的幂称为同底数幂
例题
识别幂、指数以及底数
同底数幂的乘法公式
同底数幂相乘，底数不变，指数相加am · an=a（m+n） (当m、n都是正整数)
拓展
底数为负数时，先用同底数幂的乘法法则计算，再根据指数的奇偶，最后确定结果的正负
例题
同底数幂相乘及拓展应用
含有负数或负号的运算
同底数幂乘法的逆运算
14.1.2 幂的乘方
幂的乘方公式
幂的乘方，底数不变，指数相乘
拓展
例题
幂的乘方计算
直接进行幂的乘方运算
注意
负号的位置
例题
利用幂的乘方比大小
幂的乘方法则的逆用
例题
计算代数式的值
求字母的值
14.1.3 积的乘方
概念
积的乘方,等于把积的每一因式分别乘方,再把所得的幂相乘
拓展
例题
积的乘方计算
积的乘方的扩展训练
积的乘方法则的逆用
例题
利用逆运算进行简便计算
利用逆运算求字母的值
混合运算
例题
注意
运算顺序是先乘方，再乘除， 最后算加减
14.1.4单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘法则
单项式乘以单项式的结果仍是单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
例题
简单的相乘运算
先运算再求字母的值
14.1.5单项式与多项式相乘
多项式
概念
几个单项式的和叫做多项式
运算法则
用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
运算步骤
按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式
根据单项式的乘法运算
例题
直接运算
化简求值
14.1.6多项式乘多项式
运算法则
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
例题
直接运算
先化简，再求值
先化简，再根据要求求值
形如(x+p)(x+q) = x2 + (p+q) x + pq样式的多项式计算
多项式相乘找规律
14.1.7同底数幂的除法
同底数幂的除法公式
同底数幂相除，底数不变，指数相减
任何不等于0的数的0次幂都等于1
例题
例题
同底数幂的除法运算
由已知条件求同底数幂除法的值
14.1.8单项式除以单项式
运算法则
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
例题
14.1.9多项式除以单项式
运算法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
例题
14.2 乘法公式
14.2.1平方差公式
概念
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
一定要看是否具备公式的结构特征，找准ab
ab扩展
例题
例题
使用公式进行计算
进行数值的简便运算
运用公式求值
平方差的规律探究
14.2.2完全平方公式
概念
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式
例题
完全平方公式的应用
进行数值简便运算
、
根据完全平方系数特点求字母的值
完全平方公式的变化形式
变式练习
14.3 因式分解
14.3.1因式分解
概念
在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解与整式乘法是互逆变形关系
公因式
概念
一个多项式各项都含有的相同因式, 叫做这个多项式各项的公因式
提公因式
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法
提取公因数的方法
定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数
定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母
定指数： 相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂
提公因式法分解因式的步骤
确定公因式
用公因式去除多项式的各项得另一因式
写成这两个因式的积的形式
例题
分解因式
先分解因式再求值
证明是否能被某一个数值整除
14.3.2公式法分解因式
平方差公式
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反
例题
利用平方差公式分解因式
利用平方差公式计算
完全平方公式
完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限
例题
利用完全平方公式分解因式
将已知条件带入利用完全平方求值
14.3.3其他因式分解的方法
14.3.3.1因式分解——十字相乘法
概念
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法
适用范围
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，即q=ab而且一次项系数p又恰好是a、b的和，即p=a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。
符号规律
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
例题
当平方项系数为1时
当平方项系数不为1时
当未知数为一个整式时
14.3.3.2分组分解法
通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的
例题
14.3.3.3拆项添项法
需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性
例题
14.4数学活动
十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积规律
原十位上的数字加上1，再与自己相乘得到的结果乘以100 ，再加上25
例题
十位数字相同，个位数字之和等于10 的两位数相乘的积的规律
十位数加1，再乘以十位数的得数写在结果的千位和百位，两个个位数相乘的得数写在结果的十位和个位
例题
上册第十三章轴对称
13.1轴对称
13.1.1轴对称
轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴
对称轴问题
有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条
例题
对称轴通常画成虚线，是直线，不能画成线段
例题
判断轴对称图形
两个图形成轴对称
概念
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形完全重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称或者说这两个图形成轴对称
成轴对称的两个图形的性质
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
例题
判断成轴对称图形
13.1.2线段的垂直平分线的性质
概念
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线
轴对称图形的性质
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
成轴对称的两个图形的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线
线段垂直平分线的性质
线段平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
例题
利用垂直平分线性质求周长
线段垂直平分线的判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
例题
作轴对称的图形的对称轴
例题
会画简单图形的对称轴
13.2画轴对称图形
轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程
轴对称变换的特征
由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样
新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚
找点
确定图形中的一些特殊点
画点
画出特殊点关于已知直线的对称点
连线
连接对称点
直角坐标系中的对称
关于x轴对称的点的坐标的特点
横坐标相等,纵坐标互为相反数
关于y轴对称的点的坐标的特点
横坐标互为相反数,纵坐标相等
例题
根据已知点写出其轴对称点或计算字母的值
会画已知图形的轴对称图形
13.3等腰三角形
13.3.1等腰三角形
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
例题
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
例题
利用定理求周长
等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是高、角平分线和高所在的直线
13.3.2等边三角形
13.3.2.1等边三角形
概念
三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。也叫正三角形。
等边三角形的性质
等边三角形的三条边相等
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
等边三角形的判定
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
例题
13.3.2.2含有30°角的直角三角形
性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
证明方法为倍长法
例题
根据性质计算边长
根据性质证明线段关系
13.4最短路径问题
将军饮马问题
利用垂直平分线与两之间距离最短解决
例题
架桥问题
沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．，An,平移距离分别等于各自河宽，AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...，连接M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1,此时所走路径最短
例题
上册第十二章全等三角形
12.1 全等三角形
定义
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形
表示方法
全等”用符号“  ”来表示，读作全等三角形
全等三角形的性质
对应边相等
对应角相等
例题
能够判断全等三角形的对应角及对应边
、
利用全等三角形的性质求角的度数
识别对应边求周长
12.3角平分线的性质
概念
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线
尺规作图
三角形全等的思路证明角相等
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
其证明也可以用三角形全等证明
例题
利用角平分线的性质求距离
角平分线的逆定理
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等
例题
角平分线的交点之修路问题
外角平分线之距离相等
距离相等作图问题
周长等于线段长问题
辅助线问题
见角平分线就作两边垂线段
12.2 三角形全等的判定
12.2.1SSS
三边分别相等的两个三角形全等，可简写为“边边边”或“SSS”
12.2.2SAS
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）
12.2.3ASA和AAS
两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）
例题
三角形全等的证明
有关角相同的证明
有对顶角
有平行关系
有角平分线
角有公共部分
有关边相等的证明
边有公共部分
添加辅助线证全等
等腰三角形三线合一的证明
全等三角形的应用
拿玻璃问题
12.2.4直角三角形全等的判定
概念
我们把直角△ABC记作Rt△ABC
判定
普通三角形的全等判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”题
例题
根据全等证线段相等
下册第十五章分式
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
分式的概念
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式。其中A叫做分式的分子，B为分式的分母
例题
会根据分式定义判断分式
注意
π是圆周率，它代表的是一个常数而不是字母
分式有意义的条件
分式的分母不等于零
例题
根据分式有意义，判断字母的取值范围
分式无意义的条件
分式的分母等于零
分式的值为零的条件
分式的分子等于零，且分母不等于零
例题
分式为0的条件
直接解题
含有绝对值，注意分母不为零
说明题
求字母的值
分式的值为正或负的条件
同号得正，异号得负
例题
根据分式值的正负讨论取值范围
例题
分式有无意义以及为0的综合判断
注意
考虑问题要全面，尤其注意带根号和绝对值的分式
15.1.2 分式的基本性质
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式 ，分式的值不变.
分式的约分
概念
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分
约分的步骤
若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去分子、分母相同字母的最低次幂
若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式
注意
化简分式时,通常要使结果成为最简分式或者整式
分式的通分
概念
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式变形叫做分式的通分
通分的步骤
如果各分母都是单项式，最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、不同字母都写在积里
如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后把每个因式当作一个整体，再按照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求
例题
根据分式的性质填空
分子与分母的各项系数都化为整数
化符号问题
分子与分母都不含“-”号
分子分母最高次幂化为正
分式约分
分式通分
简单分式的通分
先通分再代入求值
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
分式的乘法法则
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，能约分的要约分
分式的除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
分式的乘方法则
分式乘方要把分子、分母分别乘方
15.2.2 分式的加减
分式的加减法法则
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减
分式的加减运算步骤
（1）分母是多项式时，能分解因式的要先分解因式； （2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误； （3）分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）
分式的混合运算顺序
先乘方；再乘除；最后加减；有括号先做括号内
例题
分式的乘除
分式的直接乘除计算
先化简再代入
分式的乘方计算
分式的加减
分式的直接加减计算
先化简再代入
分式的混合运算
分式的混合运算
先化简再求值
观察数字特征使用换元思想进行计算
该值为1/2
15.2.3整数指数幂
负指数的意义
一般地，当n是正整数时，
例题
根据负指数的意义转换分式形式
负指数的运算
运算法则
同底数的幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数的幂的除法、商的乘方都适用于负指数的运算
负指数的计算
负指数的分式运算
负指数的数值计算
利用负指数求值
科学计数法
用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10- n的形式，其中n是 正整数，1≤∣a∣＜10.
例题
把小数用负指数的形式表示
用负指数表示微小单位
15.3 分式方程
概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
为什么方程会产生无解？
分式方程两边同乘一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解完分式方程时一定要代入原分式方程或最简公分母进行检验
解分式方程的一般步骤
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4.写出原方程的解.
一化二解三检验
例题
求方程的解
根据解的性质求字母值
分式方程的应用
工程问题
路程问题
利润问题
下册第十六章二次根式
16.1 二次根式
16.1.1二次根式的概念
二次根式的概念
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “  ”称为二次根号，a叫做被开方数.
例题
判断二次根式
二次根式的实质
表示一个非负数（或式）的算术平方根
二次根式有意义
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可. 若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零
例题
二次根式有意义的字母取值
二次根式的双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
例题
与绝对值、和差的完全平方连用求代数式的值

16.1.2二次根式的性质
一般地，  ＝a (a ≥0).
例题
一般地，
例题
代数式的定义
概念
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式
初中阶段所学的代数式主要有整式、分式和根式
16.2 二次根式的乘除
16.2.1二次根式的乘法
二次根式的乘法法则
算术平方根的乘积等于各个被开方数积的算术平方根.
拓展法则
 
例题
计算二次根式的乘积
二次根式的乘法性质
例题
注意二次根式的性质2
16.2.2二次根式的除法
二次根式的除法法则
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
拓展法则
例题
二次根式的除法性质
例题
分母有理化
概念
把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化
方法
有理化因式确定方法:形如 的有理化因式是,形如的有理化因式是
例题
子主题
最简二次根式
概念
被开方数中不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式
例题
识别最简二次根式
16.3 二次根式的加减
16.3.1二次根式的加减
二次根式的加减法法则
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
例题
二次根式的加减
16.3.2二次根式的混合运算
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用
互为有理化因式
概念
两个含二次根式的代数式相乘，它们的积不含根式，这样的两个式子，叫做互为有理化因式.有理化方法是二次根式化简的一种重要方法
例题
二次根式的混合运算
整式乘法公式应用于二次根式的乘法运算
求代数式的值
或者先因式分解，再带入求值
下册第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
17.1.1勾股定理
概念
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理
例题
使用勾股定理求边长
注意
在直角三角形中，已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
17.1.2勾股定理在实际生活中的应用
勾股定理的应用举例
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤
用勾股定理巧证明“HL”
例题
用勾股定理在数轴上表示无理数
利用勾股定理表示无理数的方法
利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边
以原点O为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数
例题
17.2 勾股定理的逆定理
17.2.1 勾股定理的逆定理
概念
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数
概念
像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数
勾股数拓展性质
一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数
勾股数一定是正整数
记住几个常用的勾股数
奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等 偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；等等
互逆命题与互逆定理
题设与结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理
例题
能够写出命题的逆命题并判断是否成立
17.2.2勾股定理的逆定理的应用
例题
勾股定理涉及的几大例题
勾股定理与分类讨论思想
直角边、斜边不明求长度或周长
例1：如果三条线段的长分别为3cm,xcm,5cm,这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x等于__________ 例2：已知一个直角三角形的两边长为6cm和8cm，则这个直角三角形的周长为__________________
动点位置不明求长度
例2：在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6，若点P在直线AC上（不与A、C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为________________
腰不明，与勾股定理结合求长度或周长
例3：在等腰三角形ABC中，已知其中两边长为6cm和8cm，则等腰三角形ABC中高的长为：__________cm 例4：在等腰三角形ABC中，已知其中两边长为4cm和6cm，AD为△ABC底边上的高，则△ADC的周长为_______________cm
三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度或周长
例4：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm， 则BC＝_________. 例5：△ABC中，AB＝10cm，AC＝17cm，BC边上的高线AD＝8cm，求△ABC的周长？
勾股定理与格点三角形
求线段的长度
如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为______
判断三角形形状
如图2所示为一个6×6的网格，在△ABC、△A′B′C′、△A′′B′′C′′三个三角形中，直角三角形有 
求格点三角形内角的度数
如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF=（ ）
勾股定理与面积问题
求出相应边长度，利用公式求面积
1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
巧妙分割，构造直角三角形求面积
例2.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积
求“勾股树”形图形的面积
如图所示，AB为Rt△ABC的斜边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，四边形RFHN是长方形，若BC=3，AC=4，则图中空白部分的面积是 . 
勾股定理与折叠问题
折叠直角三角形
一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若∠B=30°，AC=√3 ，求DC的长
折叠长方形
如图所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长
构造直角三角形利用勾股定理
利用分割法构造直角三角形
例1：如图，在四边形ABCD中，AB= ,AD= ,BC=1，求CD的长
作垂线构造直角三角形
构造合理的直角三角形：（难点） （1）绝不破坏已知角 （2）尽量不破坏已知边 （3）见特殊角作高构造直角三角形 （30°,45°,60°,120°,135°,150°） （4）无图时，考虑问题要全面，分类讨论。
例：在△ABC中，∠C=45°，AB=5,AC= 4√2，求BC的长。 在△ABC中，∠C=135°，AC=√2 ,BC=2， 求AB的长
借助勾股定理求最值
化曲为直
如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺
化折为直
如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是
利用对称求最值(两点之间线段最短)
如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（ ）
下册第十八章平行四边形
18.1平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
18.1.1.1平行四边形的边、角特征
概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作：□ ABCD读作 平行四边形ABCD
例题
根据概念判断平行四边形的个数
性质
对边平行且相等
例题
注意
没有图形的时候要各位小心，使用分类讨论
对角相等，邻角互补，且内角和等于360°
例题
根据基本性质计算边角大小
两条平行线间的距离
两条平行线之间的平行线段相等
两条平行线间的距离相等
例题
18.1.1.2平行四边形的对角线的特征
平行四边形的对角线互相平分.
例题
对角线平分的四个三角形面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一
18.1.2 平行四边形判定
18.1.2.1平行四边形的判定（1）
定义法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
证明：从四边形的内角和360°，同旁内角为180°进行证明
对角线互相平分的四边形是平行四边形
例题
根据判定定理判断是否为平行四边形
根据定义法构造平行四边形求长度
18.1.2.2平行四边形的判定（2）
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
例题
利用判定定理证明四边形为平行四边形
根据公共边的传递性
18.1.2.3三角形的中位线
概念
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半
证明
综合例题
连接构造三角形将中位线放在三角形中
取中点构造三角形（取中点做平行）
构造斜边上的中线（直角三角的斜边中点）
注意
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
四边形（连接对角线构三角形）
综合例题
四边形中动态问题
图形中点的变化问题
图形平移旋转变化问题
四边形中求最值
利用垂线段最短求最值
利用两点之间线段最短求最值
一般2动点使用垂线段最短，1个动点使用两点之间线段最短；但是都要利用对称关系
18.2特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
18.2.1.1矩形的性质
概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
证明
性质
1.矩形的四个内角都是直角.
2.矩形的对角线相等.
直角三角形斜边上中线
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
证明
例题
18.2.1.2矩形的判定
定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
当两条对角线长度相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
综合例题
矩形中的多解问题
矩形中的折叠问题
求角度
求长度
矩形中的动点问题
18.2.2 菱 形
18.2.2.1菱形的性质
概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质
四条边都相等
对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
计算
周长=边长的四倍
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例题
根据菱形的性质填空
菱形的面积计算
18.2.2.2菱形的判定
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四条边相等的四边形是菱形
例题
菱形的判定
菱形的性质
菱形的判定与性质的综合
18.2.3 正方形
18.2.3.1正方形的性质
概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形
性质
四个角都是直角
四条边都相等
对角线相等且互相垂直平分，且平分对角
例题
18.2.3.2正方形的判定
定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形
先判定是菱形，在判断有一个角是直角或对角线相等
例题
先判断矩形，在判断邻边相等或对角线垂直
例题
例题
正方形的判定
正方形的性质
正方形判定与性质的综合
下册第十九章一次函数
19.1函数
19.1.1 变量与函数
19.1.1.1常量与变量
概念
常量：数值始终不变的量
变量：数值发生变化的量
例题
会判断常量与变量
常量与变量的关系
变量与常量之间通常存在某种数量关系
例题
写出变量与常量的关系式
注意：π是一个确定的数，是常量
19.1.1.2函数
函数与函数值的概念
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值
例题
根据定义判断一个变量是否是另一个变量的函数
判定依据
是否是2个变量，是否有唯一确定的对应值
求函数值
确定自变量的取值范围
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围
求取值范围的方法
1.使函数解析式有意义
例题
2.符合实际意义
例题
19.1.2 函数的图象
19.1.2.1函数的图象
函数图象的意义
能直观地反映函数变化规律
画函数图象
列表
一般在自变量的范围内，选取一些合适的点（容易计算的点），并根据函数关系计算出对应的函数值
描点
在平面坐标系中，以x的值作为横坐标，对应的y的值作为纵坐标，将这些一一对应的数值对，依次在坐标系中描出来
连线
按照横坐标有小到大的顺序，将描出来的点，用平滑的曲线连接起来
例题
会画一些简单函数图形的图像
判断点是否在函数的图象上
通常的方法是把点的横坐标（即自变量x）的取值代入解析式求出相应的函数值y值，看是否等于该点的纵坐标，如果等于，则该点在函数图象上；如不在，则该点不在函数图象上.
例题
19.1.2.2函数的表示方法
图像法
直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律
表格法
具体地反映了函数与自变量的数值对应关系
解析式法
准确地反映了函数与自变量之间的数量关系
例题
19.2一次函数
19.2.1 正比例函数
19.2.1.1正比例函数的概念
概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
例题
根据概念判断是否为正比例函数
根据正比例函数概念求字母的值
注意
k≠0
在特定条件下自变量可能不单独就是x了，要注意自变量的变化
正比例函数的解析式的求法
设
设正比例函数
代
将x、y 的值代入设的正比例函数
求
求出系数
写
写出正比例函数的解析式
例题
19.2.1.2正比例函数的图象和性质
图像形式
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
当k＞0时，图像经过一三象限，当k<0时，图像经过二四象限
例题
根据函数图像形式所在象限求系数的取值范围
作图
由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可
例题
性质
在正比例函数y=kx中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴
例题
利用性质比较函数值大小
利用性质求正比例函数系数系数
根据图像判断正比例函数的系数大小
19.2.2 一次函数
19.2.2.1一次函数的概念
概念
一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数
一次函数与正比例函数的异同
（1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数. （2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
例题
根据概念区分一次函数与正比例函数
根据一次函数与正比例函数的异同求字母值
19.2.2.2一次函数的图象和性质
图像
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象也称作直线y=kx+b
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数y=kx的图象平移b个单位长度得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）
作图
由于两点确定一条直线，画一次函数图象时我们只需描点(0，b)和点 （-b/k，0） 或 (1，k+b)，连线即可
例题
性质
k＞0时，直线左低右高，y 随x 的增大而增大； k＜0时，直线左高右低，y 随x 的增大而减小． b>0,直线在原点上方 b<0,直线在原点下方
例题
利用性质比较函数值大小
利用性质判断函数图像
利用性质求一次函数中字母的值
19.2.2.3用待定系数法求一次函数的解析式
概念
通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法
求法
设
1. 设所求的一次函数解析式为y=kx+b；
代
2. 根据已知条件列出关于k，b的方程(组)；
求
3. 解方程，求出k，b;
写
4. 把求出的k，b代回解析式即可.
例题
待定系数法求一次函数的解析式
根据面积求一次函数的解析式
求分段函数的解析式
19.2.2.4一次函数与实际问题
一次函数
分段函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
一次函数与一元一次方程
从值上看
求一元一次方程 kx+b=0的解，就是一次函数y= kx+b中y=0时x的值
从图上看
求一元一次方程 kx+b=0的解，就是求直线y= kx+b与 x 轴交点的横坐标．
例题
一次函数与一元一次不等式
求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集，就是求y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围
不等式ax+b＞c(或<c)的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c(或<c)的对应的自变量取值范围
例题
使用一次函数与一元一次不等式的关系求解集
一次函数与二元一次方程组
解二元一次方程组就等于求对应两条直线交点的坐标
例题
由交点坐标计算方程组的解
解交点坐标
19.3 课题学习 选择方案
例题
套餐问题
旅游问题
租车问题
综合例题
动态图形与一次函数的关系
一次函数与变化的图形
一次函数中的动点问题
利用一次函数解决方案问题
利用不等式选择合理方案（两个函数）
利用一次函数的性质解决最值问题（一个函数）
一次函数与方程、不等式
观察图象，数形结合求解集
解决直线与其他图形有无交点问题
思考什么样情况下两直线没有交点？
一次函数与几何图形的结合
一次函数与三角形结合
一次函数与四边形的结合
一次函数与面积结合问题
已知解析式或坐标求面积
知面积求解析式或坐标
与面积相关的存在性问题
用待定系数法求一次函数解析式
利用已知点的坐标求解析式
利用图象求解析式
利用面积求解析式
利用平移或已知平行求解析式
利用对称求解析式
一次函数图象与图形变换及面积
一次函数图象与图形变换
2只需要求M点的坐标即可
一次函数图象相关图形面积计算
下册第二十章数据的分析
20.1
20.1.1 平均数
20.1.1.1平均数和加权平均数
平均数
一般地，对于n个数x1, x2, …, xn，我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数
算术平均数意义
反映一组数据的平均水平
例题
加权平均数
概念
一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则  叫做这n个数的加权平均数
例题
意义
数据的权能够反映数据的相对重要程度！
权的常见形式
1.数据出次的次数形式，如2，3，2，2. 2.比例的形式，如3：3：2：2. 3.百分比的形式，如10%，30%，60%.
加权平均数的其他形式
在求n个数的算术平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+…+fk=n）那么这n个数的算术平均数  也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权
例题
20.1.1.2用样本平均数估计总体平均数
组中值
概念
数据分组后，一个小组的组中值是指：这个小组的两个端点的数的平均数
组中值求平均数
根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权
例题
用样本平均数估计总体平均数
当要考察的对象很多或考察本身带有破坏性时，统计学中常常使用样本数据的代表意义估计总体的方法来获得对总体的认识
例题
20.1.2 中位数和众数
20.1.2.1中位数和众数
中位数
概念
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列： 如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数； 如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数
例题
数据中位数的计算
根据中位数的概念求某个数据的值
中位数的意义
众数
概念
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数
例题
根据众数的意义提建议
注意
一组数据的众数可能不止一个 众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数
中位数、众数综合例题
判断一组数中的众数与中位数
求一组数据的中位数与众数
20.1.2.2平均数、中位数和众数的应用
平均数：充分利用所有的数据信息，受极端值的影响
中位数：与数据的排列位置有关，不受极端值的影响
众数：一数据重复出现较多，不受极端值的影响
例题
20.2 数据的波动程度
20.2.1方 差
概念
设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 ，我们用这些值的平均数，即用  来衡量这组数据的波动大小，称它为这组数据的方差．
方差的意义
描绘数据的稳定程度。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小
例题
了解方差各参数的意义
计算方差，并比较波动程度
20.2.2根据方差做决策
方差的适用条件
当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况
方差的作用
反映数据的波动大小
运用方差解决实际问题的一般步骤
先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况
例题