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高等数学
函数、极限与连续
函数的概念与特性
函数的概念
定义
邻域
邻域中心
邻域半径
去心邻域
函数的几种特性
有界性
单调性
奇偶性
周期性
初等函数
基本初等函数
常值函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
正割函数
y=sec x=1/cos x sec2x=tan2x+1
余割函数
y=csc x=1/sin x csc2x=cot2x+1
反三角函数
y=arcsin x y=arccos x y=arctan x y=arccot x
复合函数
初等函数
有限次复合，有限次四则
极限的概念
函数极限
性质
唯一性
有界性
保号性
无穷大与无穷小
无穷小
无穷小量
极限值为零的量称为无穷小量
性质
两个无穷小的和是无穷小
无穷小与有界函数的乘积还是无穷小
两个无穷小的积是无穷小
无穷大
无穷大量
极限值为无穷大的量称为无穷大量
关系
无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大
极限的运算
极限的四则运算
常见极限求法总结
直接代入法
0/0型未定式
分解因式；分子（分母）有理化
分子分母同时除以最高次幂
化成除法，通分或有理化
无穷小
分段函数在分界点处的
两个重要极限
夹逼准则
单调有界准则
无穷小阶的比较
高阶
低阶
同阶
等价
x→0时常见的
等价无穷小替换定理
在自变量的同一变化过程中，设A~A'，B~B'， 且limB/A存在，则limB/A=limB'/A'
注意：替换只能在因式情况下
函数的连续性
连续的概念
点连续
区间连续
函数的间断点
第一类（左右极限存在）
可去（左右极限存在，并相等，极限存在）
跳跃（左右极限存在，但不相等，极限不存在）
第二类
无穷
震荡
其它
初等函数的连续性
一切基本初等函数在其定义域内都是连续的
一切初等函数在其定义区间也都是连续的
闭区间上连续函数的性质
最值定理
闭区间上的连续函数一定有最值
有界性定理
闭区间上连续函数一定有界
零点定理
子主题
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a，b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0.
介值定理
介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间
习题
一元函数积分学
不定积分的概念
原函数的定义
原函数存在定理
连续函数一定有原函数
不定积分的定义
基本积分公式
不定积分的性质
换元积分法
凑微分法
与积分公式相比较
复合函数*内导
第二换元法
两种类型
分部积分法
公式
结论
分部积分具有降幂的作用
分部积分具有去掉对数、去掉反三角函数的作用
口诀
反、对、幂、三、指，谁在后谁先凑
定积分的概念
定义
定积分存在的条件
性质
微积分基本公式
牛顿莱布尼兹公式
定积分的积分方法
分部积分法
定积分的应用
微元法
平面图形的面积
习题
微分方程
微分方程的概念
概念
微分方程的解
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
一阶线性微分方程
小结
微分方程的应用
习题
一元函数微分学
导数的概念
函数的求导法则
导数的四则运算
复合函数的求导法则
微分 高阶导
微分的定义
微分的几何意义
中值定理洛必达
洛必达
洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法（尤其是等价无穷小）结合使用，效果更好
未定式的求法
转化为0/0型和无穷/无穷型
单调性与凹凸性
极值与最值
函数图形的描绘
习题