高中几何浅梳理

高中几何浅梳理的思维导图，知识点1：解析几何，知识点2：空间元素的位置关系，知识点3：利用空间向量研究直线、平面的位置关系.

高中几何梳理

• 解析几何
  • 直线方程
    • 方程类别
      • 点斜式(k存在)
        • y-y1=k(x-x1)
      • 斜截式(k存在)
        • y=kx+b
      • 两点式（x2≠x1，y1≠y2）
        • (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)
      • 截距式（a≠0，b≠0）
        • x/a + y/b=1
  • 圆的方程
    • 一般方程
      • x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D²+E²-4F>0)
    • 标准方程
      • (x－a)²+(y－b)²=r²
    • 直线与圆的位置关系
      • 相交
      • 相切
    • 圆与圆的位置关系
      • 相交
      • 外切
      • 内切
      • 包含
    • 弦长公式
      • 公式一
        • 弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1k^2)+1]
      • 公式二
        • 1、y2=2px，过焦点直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 2、y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚ 3、x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2 4、x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚
      • 公式三
        • d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 -4y1y2]
  • 圆锥曲线的方程
    • 椭圆
      • 性质
        • 1、范围：焦点在x轴上-a≤x≤a -b≤y≤b；焦点在y轴上-b≤x≤b -a≤y≤a。 2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。 3、顶点：(a，0) (-a，0) (0，b) (0，-b)。 4、离心率：e=c/a。(虽然b/a也能刻画椭圆的扁平程度,但是c/a中a,c是确定的圆锥曲线的基本量,不仅可以有效刻画两个焦点离开中心的程度,而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性 ) 5、离心率范围 0<e<1。 6、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆(当e越接近1时,椭圆越接近一条直线;当e越接近0时,椭圆越接近一条圆)。 7、焦点 (当中心为原点时)（-c，0），（c，0）[椭圆躺着时]或（0，c），（0，-c）[椭圆站着时]。 8、x²/a²+y²/b²=1与x²/(ma)²+y²/(mb)²=1(a>b>0)(m为实数)为离心率相同的椭圆。 9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF₁（或PF₂）≤a+c。 10、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。 11、椭圆长轴,短轴,半焦距的关系:a²=b²+c²
    • 双曲线
      • 性质
        • 1、取值区域：冲含x≥a，x≤-a或者y≥a，y≤-a； 2、对称性：关于坐标轴和原点对称。 3、顶点：A(-a,0)A’(a,0)AA’叫做双曲线的实轴，长2a；B(0,-b)B’(0,b)BB’叫做双曲线的虚轴，长2b等。
    • 抛物线
      • 性质
        • 1、抛物线是镜像对称的，并且当定向大致为U形，如果不同的方向，它仍然是抛物线。 2、垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。“直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。 3、抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。并且，所有抛物线都是几何相似的。
• 立体几何
  • 知识点2：空间元素的位置关系
    • 平面性质
      • • 基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
        • 推论1：经过一条直线和这一条直线外一点，有且只有一个平面
      • • 基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
        • 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面
      • • 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
        • 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面
    • 线线垂直&平行
      • 垂直
        • 1、一条直线垂直于一个平面时，则这条直线垂直于平面上的任何一条直线，简称线面垂直则线线垂直。
        • 2、由三垂线定理平面上的一条线和过平面上的一条斜线的影垂直，则这条直线与斜线垂直
        • 3、平面两直线垂直：两直线垂直即斜率之积等于-1；两直线斜率之积等于-1即两直线垂直。空间两直线垂直：所成角是直角，两直线垂直。
    • 线面垂直&平行
      • 平行
        • 判定定理
          • 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
        • 定义
          • 若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。
      • 垂直
        • 定义证明
          • 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。
        • 判定定理
          • 利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
    • 面面平行&垂直
      • 垂直
        • 在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。
        • 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 面面
        • 如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直。
      • 平行
        • 如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，则平面外的这条直线就平行于该平面
        • 如果一个平面内的两条相交直线都平行于已知平面，则这两个平面平行
  • 知识点三：利用空间向量研究直线、平面的位置关系
    • 两个基本元素
      • 方向向量
        • 空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。
      • 法向量
        • 如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。
    • 空间位置关系的向量表示
      • 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
        • l1∥l2
          • n1∥n2
        • l1⊥l2
          • n1⊥n2
      • 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
        • l∥α
        • l⊥α
      • 平面α、β的法向量分别为n，m
        • α∥β
          • n∥m
        • α⊥β
          • n⊥m