固体物理 第四章金属电子理论

固体物理的第四章通常涵盖金属电子理论，这是研究金属中电子行为和性质的重要部分。 1、自由电子模型； 2、周期性势场下的能带理论； 3、费米面和费米能级； 4、能带结构； 5、电子的散射与电阻； 6、金属的热电性质； 7、电子的能带填充与导体、绝缘体、半导体的区别。

金属电子论

• 自由电子气的能量状态
  • 德鲁德模型：金属的自由电子气—经典理论
    • 两点
      • 1、德鲁德模型中的碰撞是电子与离子实的碰撞（电子-电子碰撞被忽略）。
      • 2、电子的每次碰撞都会获得新的速度与方向，方向随机，速度与碰撞发生处的温度有关，与碰撞发生前的速度与方向无关。
    • 电子碰撞方程
    • • 电场力和洛伦兹力叠加
    • 金属的直流电导率
    • 金属的交流电导率
    • 金属的热导率
      • 德鲁德模型最成功之处在于它提出了对Wiedemann和Franz经验定律的解释。
      • Wiedemann-Franz law(维德曼-夫兰兹定律)：热导率与电导率之比与温度成正比。
      • 德鲁德模型假设金属中的热流主要由传导电子决定。这种假设是建立在经验观察上的—金属的导热性能要比绝缘体的导热性能好，因此传导电子导热要比晶格导热更加重要。
      • 我们定义热流密度是与热流方向平行的矢量，其大小表示单位时间通过垂直于热流单位面积的热能。温度梯度较小时，热流与温度梯度成正比：
  • 自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。
  • 模型(索末菲)——量子理论
    • 假设
      • (1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；
      • (2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)；
      • (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。
    • 波矢空间
    • 能态密度
      • • 考虑自旋*2
      • 求法
        • 1、求金属中自由电子的能量，再求梯度，再带公式
        • 2、求单位体积内电子状态数dZ，再化简凑dE
        • 3、直接求Z，再对E求导
  • 费米能量
    • 求EF的表达式
• 电子气热容量
  • 电子气的摩尔热容量
    • 电子气摩尔热容量的讨论
      • 电子比热与晶格振动比热相比很小，如何解释呢?
      • 这是因为尽管金属中有大量的自由电子，但只有费米面附近kBT范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。所以电子的热容量很小。
      • 电子热容量可以直接提供费米面附近能态密度的信息。
  • 电子气能态密度
    • 很多金属的基本性质主要取决于能量在EF附近的电子， 从k空间看，也就是在费米面Ｅ＝ＥF附近的电子，因此研究费米面附近的状况具有重要意义。根据以上的分析知道电子的热容量可以直接提供对费米面附近能态密度的了解。
• Wigner晶格
  • 当电子气密度足够低时，电子平均动能将小于均匀恒定正电荷背景对电子的库仑吸引势，电子将不能自由运动，即电子气将发生“凝结”。凝结的电子气的分布将趋于使系统的总能量最低，即使电子间的库仑排斥能最小。电子系统将在均匀正电荷背景中形成电子晶格。这就是Wigner晶格。
• 等离子体
  • 量子力学的理想自由电子气模型阐明了费米能级、电子比热、电导率、磁致电阻、霍尔效应等一系列物理现象，但这个模型有二点局限： (1) 没有考虑晶格正离子的周期性势场，即认为所有金属的结构都相同，只是电子数密度n不同。 (2) 没有考虑电子之间的相互作用。
  • 当考虑了电子之间的相互作用后，系统就不再是理想自由电子气，各个电子的运动不再是独立的、而是相互关联的。 需要用“凝胶（jellium）”模型讨论电子系统： “金属被简化为含N个正电荷和N个电子的中性系统。但N个正电荷被看成固定的均匀带正电凝胶，充满电子所在的全空间，提供一个均匀恒定的背景势场。N个电子除了受到均匀恒定正电荷背景的库仑吸引作用以外，电子之间还存在相互库仑排斥作用。电子服从量子统计的Fermi-Dirac分布。金属的边界为一定高度的势垒”。
• Hall效应和磁阻
  • 整数量子霍尔效应
  • 分数量子霍尔效应
  • 反常Hall效应
• 纯金属的电导率和热导率
  • 电导率
  • 热导率
• 弛豫时间的统计理论
  • t(k)表达式
  • t(k)的物理意义
    • 弛豫时间就是电子的自由碰撞时间
• 玻尔兹曼方程
  • 准经典近似条件：用波包的运动来描述电子的运动时，波包应当稳定，波包的波矢范围Δk应远小于布里渊区尺度1/a，则Δr>>a，说明外场变化缓慢。
  • 几点说明：
    • 1、电子碰撞引起电子状态的变化，除满足动量守恒与能量守恒之外，还必须服从泡利原理，电子从k态跃迁到k’态时，要求k’是空态，否则这种过程不能发生；
    • 2、由于费米面内大部分电子难以获得足够大的能量跃迁到费米面外的空状态，所以对电导率有直接贡献的仅为费米面附近的电子；
    • 3、费米面附近的电子，平均速度可用费米速度来计算，而费米速度比经典理论中的电子速度要大。
  • 研究目标：
    • 非平衡状态下电子的分布函数
    • 金属中的电子，在外场作用下会产生附加运动。如在外加电场中，产生电流；在外加温度场中，产生热流。这种由外场引起的电荷或能量从一个区域到另一个区域的迁移现象称为输运现象。