导图社区 第二单元 实数（知识点全解）
初中数学《实数》知识点大全详细解析。包括定理、法则、推论、性质等详细列表、易错点及注意提示，欢迎大家学习。
第一单元有理数（知识点全解）的思维导图，正整数、0 、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
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实数
平方根与立方根
01平方根
(1)算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。非负数a的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。 规定：0的算术平方根是0。
(2)平方根的定义
一般地，如果一个数的平方等于a， 那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方根) ，即如果x²= a ，那么x就叫做a 的平方根。 任何数的平方都不可能为负数，所以负数没有平方根
(3)平方根的表示方法
非负数a的平方根表示为±√a，读作" 正、负根号a”， 其中a 叫做被开方数。
(4)平方根的性质
①正数有两个平方根，它们互为相反数;0 的平方根是0; 负数没有平方根。
②√a具有双重非负性， 即√a≥ 0 且a≥ 0.
③√a²=|a|
(5)平方根与算术平方根的比较
见表格

(6)开平方
求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中数a 叫做被开方数。 平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系
(7)平方根的求法
①被开方数是完全平方数， 可以通过开平方运算求平方根
②被开方数不是完全平方数，可用计算器求正数的算术平方根， 所得的值是近似值
02立方根
(1)立方根的定义
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根(或三次方根)，即如果x³=a，那么x叫做a的立方根
(2)立方根的表示方法
a的立方根(或三次方根)表示为³√a，其中a为被开方数，“³√”中的3为根指数(根指数3不能省略);³√a读作“三次根号a”或“a的立方根”
(3)立方根的性质
①正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
②任何数的立方根只有一个.
③³√-a=-³√a
(4)平方根与立方根的比较
联系
a.都与相应的乘方运算互为逆运算，开平方与平方互为逆运算， 开立方与立方互为逆运算.
b . 都可以归结为非负数的非负方根来研究：平方根主要是通过算术平方根来研究; 而负数的立方根也可以通过³√-a=-³√a转化为正数的立方根来研究.
c. 零的平方根和立方根都是它本身
区别
a. 在用符号表示平方根时，根指数2 可以省略不写;而用符号表示立方根时，根指数3 不能省略.
b. 平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，如- 125 没有平方根，但有立根-5.
c. 正数的平方根有两个，而正数的立方根只有1个，如3 的平方根是±√3，而立方根只有³√3.
(5)开立方
求一个数α 的立方根的运算叫做开立方。 开立方运算与立方运算是互为逆运算。
拓展
①负数(在实数范国内)不能开平方，但可以进行开立方运算
②立方根等于本身的数是0，±1
③(³√3)³=³√3³=a.
(6)立方根的求法
①被开方数是立方数的，可通过开立方运算求立方根
②被开方数不是立方数，用科学计算器开立方
实数的相关概念及运算
01无理数
(1)无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数.如；√2，π
注意
a.现在遇到的无理数有三类： 开方开不尽的数，如，√3,-√5等； 特定结构的数，如0.3030030003…； 特定意义的数，如π。 b.无理数是无限小数，但无限小数并不是无理数的本质特征，因为有理数中也有无限小数——无限循环小数 c.许多带根号的数是无理数，如，√5,√7等，但带根号也并不是无理数的本质特征，因为像√4,√9等都是有理式。
(2)无理数的大小比较
无理数是无限不循环小数， 它是写不完的， 我们至多能写出它的近似值. 因此无理数的大小比较，常常是比较它们的近似值.若能把根式有理化成为有理数之间的大小比较， 就更方便.
①无理数与有理数的和、差仍是无理数，无理数与非零有理数的积、商仍是无理数;
②无理数与无理数的和、差、积、商不一之是无理数;
③ 若a， b 是有理数，√m 是无理数，且a + b √m = 0 ，则 a =0，b =0
④若a， b ， c ， d 都是有理数.√c， √d是无理数，且a +√c = b +√d，则有a= b ， c =d
02实数的概念及其分类
(1)实数的概念
有理数和无理数统称为实数
(2)实数的两种分类
按定义分类
有理数
正有理数
负无理数
有限小数或者无限循环小数
0
无理数
正无理数
无限不循环小数
按大小分类
正实数
正整数
正分数
负实数
负有理数
负整数
负分数
(3)整数部分与分数( 小数) 部分
设有一实数a，不超过a的最大整数称为a 的 整数部分， 记作[ a ] ， a - [ a ] 称为a 的分数(小数)部分，显然有 [ a ] ≤a < [ a ] + 1 如[ 3 ] =3 ， [ 5.4 ] =5 ， [-3. 2 ] = - 4
03实数的性质
(1)相反数
实数a的相反数为- a ; 零的相反数是其本身; 若α 与b 互为相反数， 则a+ b = 0 ， 反之亦然。
(2)倒数
实数a的倒数为1/a(a≠0 ) ; 若a 与b互为倒数，则ab = 1 ，反之亦然
(3)绝对值
实数a的绝对值表示为|a| ，正实 数的绝对值是它本身，零的绝对值是零， 负实数的绝对值是它的相反数， 即|a|=
(4)实数与数轴上的关系
数轴上每一个点都表示一个实数; 反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示
数的范围从有理数扩充到实数以后，实数中的 相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相 反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
04实数的运算
(1)交换律
a+b =b+ a ， ab = ba
(2)结合律
(a+b) +c= a + (b +c ) ， ( ab) c =a( bc)
(3)分配律
a(b +c ) = ab + ac
1、实数和有理数一样，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算，有理数范围内的运算律、运算法则 在实数范围内仍适用。 2、在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相 应的近似有限小数代替无理数，再进行计算. 注意： 计算过程中取无理数的近似值时，要比最后结果要求的精确度多保留一位
05实数大小的比较
1. 一般方法
①性质比较法； 正数大于0 ，负数小于0 ，正数大于任何负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小
②数轴比较法； 将实数用数轴上的点来表示， 右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
③差值比较法； 设两任意实数分别为a和b ， 若a - b> 0 ， 则a> b; 若a - b<0 ， 则a<b ; 若a - b =0 ， 则a= b .
④商值比较法； 此方法只适用于a 与b 都是正实数的情况， 若a/b 〉l ，则a>b ; 若a/b〈l ，则a <b；
2. 特殊方法
①平方法： 因为由a>b >0 ， 可得√a >√b， 所以我们可以把√a与√b的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题.
②倒数比较法： 两个正数，倒数大的反而小。
③除了上面的方法外，还有其他方法，如指数比较法、估算法、中间值法等等
06实数中的非负数
（1） 非负数的定义
定义
在实数范围内，正数和零统称为非负数。
常见三种形式
①任何一个实数a 的绝对值是非负数， 即la l≥ 0;
②任何一个实数a的平方是非负数， 即a^2≥0;
③任何非负数的n次算术根是非负数，ⁿ√a≥0(a≥0)，常用的是√a≥0(a≥0).
（2） 非负数的性质
①在数轴上原点和原点右边的点表示的数是 非负数;
②最小的非负数是0 ，没有最大的非负数;
③非负数大于一切负数
④若干个非负数的和、积、商(除数不为0 ) 仍是非负数;
⑤如果若干个非负数的和为0 ，那么这若干个非负数都必为零.即若a≥0 ， b≥0 ， c≥0 ， 且a + b+c = 0 ， 则必有a = b = c =0.
